Về vòng quay của một đoạn

Kvant 1973, số 4 tr. 24-28 Thẻ CP76

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

V. G. Boltyansky

Rõ ràng là một đoạn có độ dài 1 có thể quay một vòng hoàn toàn, đồng thời vẫn ở trong hình có diện tích π/4, tức là trong một đường tròn có đường kính 1 (Hình 1). Nhưng chẳng phải một đoạn có chiều dài 1 có thể quay hết một vòng khi chuyển động trong một hình có diện tích nhỏ hơn sao? Thoạt nhìn, điều này có vẻ khó xảy ra: có vẻ như đường tròn có đường kính 1 là hình “kinh tế” nhất (về mặt diện tích), trong đó một đoạn có chiều dài 1 có thể thực hiện một vòng quay hoàn toàn. Tuy nhiên, điều này không đúng!

Năm 1918, A. S. Bezikovich đã chứng minh rằng có một hình có diện tích nhỏ thích hợp, chuyển động trong đó một đoạn có độ dài bằng 1 có thể tạo thành một vòng quay hoàn toàn. Chính xác hơn, nếu chúng ta đưa ra bất kỳ số dương ε nào (ví dụ: ε = 0,000001), thì chúng ta có thể xây dựng một hình có diện tích ε, trong đó một đoạn có độ dài 1 có thể tạo thành một vòng quay hoàn chỉnh. Besicovitch đề xuất những ý tưởng hình học đơn giản mà nhờ đó chúng ta có thể chứng minh sự thật đáng kinh ngạc này. Tuy nhiên, để biến những ý tưởng này thành một chứng minh hoàn chỉnh, ông đã phải thực hiện những phép tính khá cồng kềnh, khiến toàn bộ lý luận trở nên phức tạp (chứng minh, tương tự như chứng minh của Besikovich, được đưa ra ở trang 258-263 của cuốn sách “Các hình lồi” của I. M. Yaglom và V. G. Boltyansky).

Cách đây không lâu, Viện sĩ I.M. Vinogradov đã kể cho tôi nghe một cách chứng minh ngắn gọn và hay về định lý này. Ông đưa ra cách chứng minh này ngay sau khi Besikovich nói với ông về định lý của mình và bắt đầu in nó một lần. Với sự đồng ý tốt bụng của I.M. Vinogradov, tôi sẽ trình bày bằng chứng của ông ở đây.

Trước hết, chúng ta hãy xem xét các ý tưởng hình học của A. S. Bezikovich.

Rõ ràng là chỉ cần xây dựng một hình có diện tích nhỏ, trong đó một đoạn có chiều dài 1 có thể quay được một góc 60°: sau đó áp dụng ba hình như vậy với nhau, chúng ta thu được một hình trong đó một đoạn có thể quay được một góc 180°.

Một đoạn có chiều dài 1 có thể quay được 60° bên trong một tam giác đều có chiều cao 1 (Hình 2). Bây giờ chúng ta hãy cắt hình tam giác có chiều cao này thành hai phần và đặt các phần này chồng lên nhau. Bên trong hình kết quả (Hình 3), đoạn AB có thể được xoay đến vị trí AC; Ngoài ra, đoạn DE song song với AC có thể quay đến vị trí DF. Nhưng di chuyển đoạn AB tới vị trí DF trong đoạn này

Chúng ta hãy xem hình được hiển thị trong Hình 3, các đoạn $AH$ và $DH$ và một cung có bán kính 1 với tâm $H$ , như được hiển thị trong Hình 4. Trong hình kết quả, bạn đã có thể xoay đoạn từ vị trí $AB$ sang vị trí $DF$ : cần phải di chuyển đoạn dọc từ vị trí $AC'$ $AH$ đến vị trí $HK$ , sau đó xoay nó bên trong khu vực đến vị trí $HL$ , rồi di chuyển nó dọc theo $HD$ đến vị trí $DE$ .

Kết quả là chúng ta đã nhận được gì? Diện tích của hình vẽ ở Hình 3 nhỏ hơn diện tích của tam giác đều thứ nhất (vì hai nửa của tam giác này chồng lên nhau). Khi chuyển từ Hình 3 sang Hình 4, chúng ta chỉ thêm các đoạn $AH$ , $DH$ (chúng có diện tích bằng 0) và một cung có tâm $H$ , và diện tích của cung này có thể được tạo thành một góc nhỏ (bạn chỉ cần đưa điểm $H$ ra xa sao cho góc $AHD$ nhỏ).

Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu bạn cắt một hình tam giác đều không phải thành hai mà thành bốn phần (Hình 5)? Sau đó, bằng cách thực hiện chuyển song song các phần này (sao cho chúng chồng lên nhau), chúng ta có được một hình (Hình 6), trong đó chúng ta có thể xoay một đoạn có độ dài 1 theo một góc $15^\circ$ , sau đó “nhảy” đến vị trí song song, xoay nó một lần nữa theo $15^\circ$ , sau đó lặp đi lặp lại theo $15^\circ$ . Và vì phân khúc của chúng tôi không được phép “nhảy”, nên chúng tôi sẽ phải, như trong Hình 4, thêm các phân khúc và lĩnh vực (Hình 7). Trong hình vẽ ở Hình 7, một đoạn có chiều dài 1, chuyển động liên tục, có thể quay một góc $60^\circ$ . Trong trường hợp này, tổng diện tích của các phần được thêm vào có thể được tính bằng một góc nhỏ (bạn chỉ cần lấy các điểm $H_1$ , $H_2$ , $H_3$ đủ xa). Đồng thời, diện tích của hình trong Hình 6 nhỏ hơn đáng kể so với diện tích của tam giác đều ban đầu, vì bốn phần mà tam giác này được cắt chồng lên nhau nhiều lần.

Bây giờ họ đã thấy rõ hướng đi chung của chứng minh: điều cần thiết là

những phần này có diện tích nhỏ hơn ε, trong đó ε là một số dương cho trước.

Tuy nhiên, các tin nhắn được báo cáo vẫn chưa cung cấp bằng chứng. Đây chỉ là hướng để tìm kiếm nó. Phần khó nhất còn ở phía trước: chúng ta cần tìm ra cách di chuyển các bộ phận sao cho, do có nhiều lớp chồng lên nhau, chúng ta sẽ có được một hình có diện tích đủ nhỏ. Phương pháp dịch chuyển một phần và tính diện tích do I.M. Vinogradov đề xuất như sau.

Hãy lấy một số tự nhiên m tùy ý và chia đáy của tam giác đều thành 2 $^m$ phần bằng nhau. Bằng cách nối các điểm chia với đỉnh, chúng ta thu được một phần của tam giác đều thành 2 $^m$ phần, được gọi là cliæ. Ngoài ra, chúng ta hãy vẽ các đường thẳng song song với đáy và chia chiều cao của tam giác thành m phần bằng nhau; Chúng tôi biểu thị những đường này, bắt đầu từ đỉnh, bằng $l_1, \dots, l_{m-1}$ (Hình 8).

Hãy xem xét hai hình nêm liền kề. Đường thẳng $l_1$ cắt các đoạn giống hệt nhau trong đó. Chúng ta hãy di chuyển các hình nêm này lại với nhau sao cho các đoạn này “nhảy” qua nhau (Hình 9), và bây giờ “dán” hai hình nêm này, tức là hình thu được từ hai hình nêm này sẽ được coi là một tổng thể duy nhất cho tất cả các lần chuyển song song tiếp theo. Chúng tôi sẽ thực hiện việc dán như vậy cho mỗi hai cạnh nhau

nêm: Clem thứ 1 với thứ 2, thứ 3 với thứ 4, …, (2 $^m$ —1)th với 2 $^m$ .

Hình thu được bằng cách dán hai hình nêm được chia thành các phần như sau: chúng ta chọn từ đó một hình tam giác có một đỉnh trên đường thẳng $l_1$ và bốn “đuôi”. Mỗi “đuôi” là một hình tam giác có chiều cao $1/m$ (hãy nhớ rằng chiều cao của tam giác đều ban đầu là 1). Đáy của mỗi “đuôi” bằng $\frac{a}{m \cdot 2^m}$ , trong đó $a = \frac{2}{\sqrt{3}}$ là cạnh của tam giác đều ban đầu. Do đó, tổng diện tích của cả bốn “đuôi” bằng $2 \cdot \frac{a}{m^2 \cdot 2^m}$ và vì có tổng cộng $2^{m-1}$ cặp nêm được dán nên tổng diện tích của các “đuôi” bằng $a/m^2$ . Diện tích $S_1$ của tam giác đều $\Delta_1$ , cắt khỏi tam giác ban đầu bằng đường thẳng $l_1$ (Hình 10), bằng $\frac{a}{2m^2}$ . Do đó, tổng diện tích của tất cả các “đuôi” là $2S_1$ . Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ tất cả những “cái đuôi” này khỏi phần xem xét, điền vào tổng diện tích của chúng. Với tất cả các cdw tiếp theo, tổng diện tích của các “đuôi” bị loại bỏ chỉ có thể giảm (do chồng chéo).

Các hình tam giác còn lại sau khi loại bỏ hết “đuôi” (số lượng các hình tam giác này là $2^{m-1}$ ),

Bây giờ chúng ta sẽ coi chúng như những cái nêm mới. Bằng cách di chuyển chúng lại với nhau, chúng ta thu được từ $2^{m-1}$ các hình nêm mới này một tam giác đều có chiều cao $1 - \frac{1}{m}$ (Hình 11). Bây giờ nó không còn là đường thẳng $l_1$ nữa mà là đường thẳng $l_2$ cắt khỏi nó hình tam giác đều nhỏ $\Delta_2$ , và nó rất bằng với tam giác $\Delta_1$ . Bằng cách dịch chuyển và dán các hình nêm mới theo cách tương tự như trước, chúng ta sẽ lại thu được các “đuôi”, tổng diện tích của chúng bằng $2S_1$ và các hình nêm “hoàn toàn mới”, các đỉnh của chúng nằm trên đường thẳng $l_2$ .

Từ những hình nêm “hoàn toàn mới” này, di chuyển chúng, chúng ta thu được một tam giác đều có chiều cao $1 - \frac{2}{m}$ , và bằng cách dán các hình nêm “hoàn toàn mới” lại với nhau theo cặp, chúng ta lại thu được “đuôi”, tổng diện tích của chúng bằng $2S_1$ , v.v.

Chúng ta hãy thực hiện tất cả các bước $m$ của cách xây dựng như vậy (ở bước $m$ cuối cùng, bạn sẽ chỉ có một tam giác đều bằng $\Delta_1$ , vì vậy bạn không cần phải di chuyển bất cứ thứ gì). Chúng tôi thấy rằng không có gì còn lại từ những cái nêm ban đầu đầu tiên sau khi cắt bỏ “đuôi”. Nói cách khác, diện tích của hình thu được từ các hình nêm ban đầu đầu tiên sau tất cả các lần dịch chuyển và mổ nhỏ hơn tổng diện tích của tất cả các “đuôi”, khi đó

vv ít hơn

$m \cdot 2S_1 = 2m \cdot \frac{a}{2m^2} = \frac{a}{m} = \frac{2}{\sqrt{3}m} < \frac{2}{m}.$

Bây giờ rõ ràng là bằng cách lấy $m$ đủ lớn, chúng ta có thể làm cho diện tích này thành một góc nhỏ. Bằng chứng hoàn tất!

Chưa hết, có lẽ trực giác của chúng ta sẽ không đánh lừa chúng ta? Có thể hình tròn có đường kính 1 thực sự là hình nhỏ nhất trong diện tích mà đoạn có độ dài 1 có thể quay hết một vòng, nhưng không phải trong số bất kỳ hình nào (như chúng ta đã thấy, điều này không đúng), mà là trong số tất cả chúng? Xét cho cùng, những hình vẽ có diện tích khá nhỏ, đã được thảo luận ở trên (xem Hình 7), rất “lỏng lẻo”, rải rác và trong mọi trường hợp, không lồi. Chúng ta hãy nhớ lại rằng một hình được gọi là lồi nếu cùng với hai điểm mỗi điểm, nó chứa toàn bộ đoạn nối chúng (Hình 12). Vậy có phải trong số tất cả các hình lồi có đoạn dài 1 quay được một vòng thì hình tròn đường kính 1 có diện tích nhỏ nhất?

Hóa ra điều này cũng không đúng. Hãy giải thích những gì đang xảy ra ở đây. Cho $F$ là một hình trong đó đoạn có độ dài bằng 1 có thể thực hiện một vòng quay hoàn toàn. Lấy một đường thẳng $l$ và vẽ hai đường hỗ trợ $l_1$ và $l_2$ của hình $F$ , song song với $l$ , tức là hai đường thẳng mà hình $F$ được “kẹp” (Hình 13). Vì đoạn đã hoàn thành một vòng quay hoàn toàn trong hình $F$ đến một lúc nào đó phải chiếm vị trí vuông góc với đường thẳng $l$ nên khoảng cách giữa các đường thẳng $l_1$ và $l_2$ (gọi là chiều rộng của hình $F$ theo hướng vuông góc với $l$ ) không nhỏ hơn 1. Vì vậy, các hình có chiều rộng $F$ theo bất kỳ hướng nào không nhỏ hơn 1.

Có vẻ hoàn toàn tự nhiên khi cho rằng một hình trên một diện tích nhỏ phải có chiều rộng theo mọi hướng bằng 1 (nếu không thì diện tích đó dường như sẽ lớn hơn). Hãy xem giả định này dẫn chúng ta đến đâu.

Trước hết, câu hỏi được đặt ra: hình nào có chiều rộng theo mọi hướng bằng 1? Họ thường trả lời rằng hình như vậy chỉ có thể là hình tròn có đường kính bằng 1. Tuy nhiên, điều này không đúng! Có vô số hình dạng khác nhau có chiều rộng bằng 1 theo mọi hướng; chúng được gọi là các hình có chiều rộng không đổi 1. Hình 14 cho thấy hai hình như vậy. Cả hai hình đều được giới hạn bởi hai đường tròn và khoảng cách giữa các đường thẳng này là 1. Hình đầu tiên trong Hình 14 có một cái tên đặc biệt: tam giác Reuleaux (được đặt theo tên của người thợ cơ khí lần đầu tiên quan tâm đến tính chất của hình này và cố gắng sử dụng nó trong việc thiết kế các cơ chế).