Bài toán Điện thế

30

Vấn đề của Pothenot

L. S. Khrenov

Nếu cho ba điểm A, B và C trên mặt phẳng (tức là đã biết vị trí tương đối của các điểm này), thì để xác định vị trí của điểm thứ tư M thường chỉ cần biết hai góc: $\angle ABM = \alpha$ và $\angle BMC = \beta$. bài toán này được gọi là bài toán Potenota. Ví dụ, nó sẽ phát sinh khi xác định vị trí của một con tàu mà từ đó có thể nhìn thấy ba ngọn hải đăng, tọa độ của chúng đã được biết, cũng như trong nhiều trường hợp khác.

Hình học lời giải bài toán Potenot

Bài toán Pothenot trùng hợp với cách dựng cung AB (Hình 1), từ bất kỳ điểm M nào trong đó đoạn AB nhìn thấy được một góc $\alpha$, và cung BC, từ điểm mà đoạn BC nhìn thấy được một góc $\beta$. Để làm được điều này, chỉ cần đặt một góc $\alpha$ khỏi đường thẳng AB và dựng AP vuông góc với đường thẳng AV thu được, đồng thời dựng đường vuông góc với đoạn AB ở giữa của nó. Điểm $O_1$ giao nhau của các đường vuông góc này sẽ là tâm của đường tròn đi qua các điểm A, B và M, còn đường thẳng AB sẽ là dây cung của cung tròn, tạo thành một góc $\alpha$. Tương tự, dựng tâm $O_2$ của đường tròn đi qua các điểm B, C và M với một BC khác được dựng cùng nhau tại $\beta$.

Giao nhau hai đường tròn dựng theo cách này và xác định vị trí của điểm M vì chúng không thể có nhiều hơn hai điểm chung. Tuy nhiên, trong số này, theo cách xây dựng, điểm B là điểm thứ hai, điểm M được tìm kiếm sẽ là điểm thứ hai. Do đó, bài toán Potenot có định nghĩa sóng và lời giải duy nhất, ngoại trừ trường hợp cả hai đường tròn hợp nhất thành một, đi qua các điểm A, B, C và M (Hình 2). Trong trường hợp này, điểm M cần tìm nằm trên đường tròn đi qua các điểm A, B và C, và để xác định vị trí của điểm M cần biết một số khoảng cách khác.

Tuy nhiên, bất chấp sự đơn giản của hình học lời giải bài toán của Potenot, nó không được sử dụng trong thực tế.

Trong thực tế, đối với lời giải bài toán Potenot, tương tự *) hoặc các phương pháp đồ họa được sử dụng bằng cách sử dụng mensula, cypregel hoặc aldada và la bàn.

*) Tương tự đầu tiên lời giải được đề xuất vào năm 1616 bởi nhà chiêm tinh và toán học người Hà Lan W. Snegl ius (1580-1626), sau đó, vào năm 1692, nhà toán học người Pháp L. Potenot (1660-1732) đã đề xuất thành công hơn một lời giải cái này bài toán, cái sau cũng được gọi chính xác là cơ sở này bài toán anh ta.

Cơm. 1. Hình 2.

31

Mensula là một bảng để vẽ một kế hoạch. Nó bao gồm một shativ và một máy tính bảng - một bảng vẽ hình vuông, được gắn trên giá đỡ. Chân đế có ba vít nâng cho phép căn chỉnh trên chân đế. Chân đế cùng với máy tính bảng được gắn vào chân máy bằng vít. Giá đỡ có thể bằng gỗ hoặc kim loại. Phuộc định tâm (xem hình) dùng để căn giữa một điểm trên bảng phía trên điểm tương ứng trên địa hình: một dây dọi được treo ở đầu dưới của phuộc, đầu trên của phuộc nằm trên cùng một đường thẳng đứng với đầu dưới.

Và vâng, vâng, tôi đã liếm nó để có thể quan sát từ điểm mặt nam đến điểm địa hình. Nó bao gồm một thước đo có khắc thang đo ngang và hai diop có khe và sợi lông; Một thước đo hình trụ thường được đặt trên thước alidade để đưa thước đo về vị trí nằm ngang. Telery, cùng với alidad và diopters, sử dụng Cypregel.

Kipregel bao gồm một thước đo có tỷ lệ và mức ngang, và một ống cọ xát quay trên trục của cột sao cho mặt phẳng được mô tả bởi trục ngắm của ống (chuẩn trực) đi qua cạnh vát của thước kipregel. Do đó, trên mặt phẳng, cần có được vị trí nằm ngang của địa hình, do đó, để thay đổi góc nghiêng, người ta tạo ra các kipregel với các vòng tròn thẳng đứng, nhờ đó các góc nghiêng được thay đổi với độ chính xác 1°. Hai sợi bổ sung (máy đo khoảng cách), nằm đối xứng quanh trục giữa, có thể nhìn thấy được trong trường nhìn của ống kipregel. Chúng được sử dụng để xác định khoảng cách trên mặt đất.

La bàn (la bàn cải tiến) dùng để định hướng la bàn theo các điểm chính. La bàn có dạng hộp tròn hoặc hình chữ nhật có vạch chia độ; một kim nam châm quay ở trung tâm. La bàn luôn được cấu tạo sao cho đường nối các phần 0°-0° hoặc 0°-180° và đi qua tâm của la bàn song song với các cạnh ngoài của hộp.

Đồ họa lời giải bài toán Potenot

Nếu có ba điểm trên bảng tỷ lệ tương ứng với các điểm đó trên địa hình (tức là nếu có, ví dụ: bản đồ khu vực), bạn có thể xác định vị trí của điểm thứ tư bằng cách chỉ quan sát trong đó, tức là giải bài toán Pothenot.

32

Đối với đồ họa lời giải bài toán Potenot, hơn 100 phương pháp khác nhau đã được đề xuất *). Chúng dựa trên sự định hướng của bảng cân. Đặt ba điểm $a, b$ và $c$ (Hình 3), tạo nên tam giác $abc$ trên bảng tỷ lệ $Q$, tương ứng với ba điểm $A, B$ và $C$ trên mặt đất. Máy tính bảng $Q$ được định hướng nếu nó được đặt sao cho $ab \parallel AB, ac \parallel AC$ và $bc \parallel BC$.

Trong trường hợp này các hướng đi qua $a, b$ và $c$ khi ngắm tại các điểm địa hình tương ứng sẽ giao nhau tại một điểm. Để chứng minh điều này, chúng ta dựng điểm $m$ làm giao điểm của các đường $Aa$ và $Bb$. Tương tự, bằng cách giảm $\Delta ABC$ để $AB$ đi vào $ab$, chúng ta nhận được $\Delta abc'$, nhưng vì $ac \parallel AC \parallel ac'$ và $bc \parallel BC \parallel bc'$, các điểm $c'$ và $c$ phải trùng nhau và các đường $Aa, Bb$ và $Cc$ đều sẽ giao nhau điểm $m$, tương ứng trên máy tính bảng với điểm $M$, từ đó chúng ta nhìn thấy các điểm $A, B, C$.

Nếu bảng tỷ lệ đặt tại điểm $M$ chỉ có hướng gần đúng thì ba hướng $aA, bB$ và $cC$ giống nhau sẽ không giao nhau tại một điểm mà tạo thành một tam giác nhỏ (Hình 4), gọi là tam giác sai số. Và việc định hướng được thực hiện càng chính xác

*) Phương án đầu tiên được đề xuất vào năm 1592 bởi Sisiutti người Mexico (Nhà khảo sát Canada, 1936).

Cơm. 3.

Cơm. 4.

Nếu thước đo được đặt ở một điểm nhất định thì kích thước của tam giác sai số sẽ càng nhỏ. Vị trí này đã được I. Lehman (1765-1811) sử dụng trong đồ họa lời giải bài toán Potenot, đề xuất một phương pháp gần đúng sử dụng chụp hình nam giới trong thực tế.

Với sự giúp đỡ của I. Leman. Mensula được lắp phía trên điểm mong muốn $M$, mặt phẳng phía trên của máy tính bảng được đưa về vị trí nằm ngang và máy tính bảng được định hướng chính xác nhất có thể *) $Q$ sao cho các đường $ab, bc$ và $ac$ trên máy tính bảng song song với các đường $AB, BC$ và $AC$ trên mặt đất. Sau đó, thông qua ba điểm cho trước trên máy tính bảng, họ quan sát các điểm tương ứng của địa hình và đi theo đường dọc theo mép thước của thiết bị quan sát (kppregel, alidade) (như Hình 3). Nếu việc định hướng của máy tính bảng được thực hiện chính xác thì theo hướng, điểm còn lại $a, b$ và $c$ khi ngắm tại các điểm tương ứng của địa hình sẽ giao nhau tại điểm mong muốn $m$.

Nếu máy tính bảng $Q$, nằm ở điểm $M$ của địa hình, không được định hướng chính xác thì các điểm khác $a, cC$ và $bB$ sẽ không giao nhau trên máy tính bảng tại một điểm mà tạo thành một tam giác lỗi.

*) Để định hướng máy tính bảng chính xác hơn, nên sử dụng la bàn.