Bài toán M196—M200; F208—F212

43

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 31 tháng 5 năm 1973 đến địa chỉ: 117071, Moscow V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant».
Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant», M196, M198 hoặc “…F210”.
Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới phải được gửi trong phong bì riêng.
Chúng tôi chỉ định opprizinal bài toán được đề xuất xuất bản cùng với các giải pháp của bạn cho bài toán này (trên phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Bài toán từ các số khác nhau của tạp chí được đựng trong các phong bì khác nhau.
Nhiệm vụ có độ khó tăng dần được đánh dấu bằng dấu hoa thị.
Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Bài toán
M196-M200; F208-F212

M196. Thực hiện một số bước di chuyển trong đường tròn bán kính 1. Chứng minh rằng nếu mỗi đường kính cắt nhau không quá k hod thì tổng chiều dài của các hod nhỏ hơn lx.

A. T. Kolomov

M197. Một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột chứa mn số dương tùy ý. Hãy tìm tích các số ở mỗi cột rồi tìm tổng S của tất cả n tích đó. Chứng minh rằng nếu

$$S = 84$$
Cơm. 1.

M199. a) Chứng minh rằng tổng
$$C_n^0 - C_{n-1}^1 \frac{1}{4} + C_{n-2}^2 \frac{1}{4^2} - \cdots + (-1)^i C_{n-i}^i \frac{1}{4^i} + \cdots$$
(tổng được lấy trên tất cả các số nguyên i, $0 \leq i \leq \frac{n}{2}$) bằng $\frac{n+1}{2^n}$.

6)* Chứng minh rằng nếu p và q là các số khác nhau và p+q=1 thì tổng
$$C_n^0 - C_{n-1}^1 pq + C_{n-2}^2 p^2 q^2 - \cdots + (-1)^i C_{n-i}^i p^i q^i + \cdots,$$

44

người ta có thể ánh xạ tập hợp sáu điểm này lên chính nó theo 24 cách khác nhau sao cho cứ ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng thì được ánh xạ thành ba điểm cũng nằm trên cùng một đường thẳng.

6. Trong Hình 4, chín điểm nằm ba trên chín đường thẳng và ba đường thẳng như vậy đi qua mỗi điểm. Chín điểm và chín đường này tạo thành “cấu hình Pascal” nổi tiếng. Bằng cách nào một tập hợp chín điểm của chúng ta có thể được ánh xạ lên chính chúng sao cho mỗi bộ ba điểm nằm trên một trong chín đường thẳng của chúng ta được ánh xạ lên một bộ ba điểm nằm trên một đường thẳng nào đó từ cấu hình của chúng ta?

c) Câu hỏi tương tự đối với cấu hình Desargues (mười điểm và mười dòng) được hiển thị trong Hình 5.

A. N. Kolmodorov

F208. Lốp của chiếc máy tự động liên quan đến vụ nổ tonka. Hãy ước tính xem ô tô nên đi với tốc độ bao nhiêu để lốp không bị nhăn.

P. L. Kapitsa

F209*. Bạn có thể mô phỏng quỹ đạo của một hạt tích điện trong từ trường bằng cách đặt một dây dẫn linh hoạt cố định ở hai đầu để dòng điện chạy qua trong từ trường đều. Lực căng của sợi dây như vậy sẽ là bao nhiêu khi có dòng điện 1 A, nếu nó mô phỏng

M200. a) Hình 3 cho thấy sáu điểm nằm trên bốn đường thẳng. Chứng minh rằng

Cơm. 6.

45

Cơm. 7.

quỹ đạo của một proton có năng lượng 1 MeV bay vào từ trường vuông góc với các đường sức từ?

F210. Hai bình mở giống hệt nhau được nối với nhau bằng hai ống giống hệt nhau và đổ đầy nước lên trên. Các ống được đóng lại bằng vòi $K_1$ và $K_2$ (Hình 6). Nhiệt độ của nước trong bình được duy trì không đổi và $t_1^\circ > t_2^\circ > 4^\circ$ C. Điều gì sẽ xảy ra với nước trong bình nếu bạn mở vòi $K_2$ lần đầu tiên, sau đó (với vòi $K_2$ mở) mở vòi $K_1$?

F211. Một quá trình (chu trình) khép kín được thực hiện với một loại khí đơn nguyên tử lý tưởng, như trong Hình 7. Tại điểm $C$ khí có thể tích $V_C$ và áp suất $P_C$, và tại điểm $B - V_B = \frac{1}{2} V_C$ và $P_B = 2P_C$. Tìm hiệu suất của chu trình này và so sánh nó với hiệu suất lý thuyết tối đa của một chu trình trong đó nhiệt độ của lò sưởi và tủ lạnh lần lượt bằng nhiệt độ tối đa và tối thiểu của chu trình đang được xem xét.

M. E. Marinchik

F212. Từ một dòng sông băng trượt xuống biển dọc theo một sườn dốc hình tròn ở độ sâu 1 km, một khối băng mở ra - một tảng băng trôi (chiều cao của nó dưới 1 km). Phần nào của tảng băng trôi có thể tan chảy khi trôi nổi? Nhiệt độ của nước đá và nước là 0°C.