Về nghề toán học

12

Về nghề toán học

Dưới đây chúng tôi đăng các đoạn trích từ tập tài liệu nổi tiếng của A. N. Kolmogorov “Về nghề toán học” *)
Ấn phẩm được chuẩn bị bởi M. Smolyansky và T. Kislova

1. Tầm quan trọng của các phương pháp toán học trong các ngành khoa học như cơ học, vật lý hay thiên văn học đã được nhiều người biết đến. Ai cũng biết toán học rất cần thiết trong công việc thực tế của các kỹ sư, kỹ thuật viên. Kiến thức cơ bản về hình học và khả năng sử dụng các công thức chữ cái là cần thiết đối với hầu hết mọi thợ thủ công hoặc công nhân lành nghề. Nhưng ít rõ ràng hơn đối với nhiều người là câu hỏi về ý nghĩa của việc có chuyên môn về toán học và tham gia vào toán học như một nghề chính.

Rất nhiều người tưởng tượng vấn đề theo cách mà sách giáo khoa và sách tham khảo toán học đã thu thập được một loạt các công thức và quy tắc cho lời giải tất cả các loại bài toán toán học gặp phải trong thực tế. Hơn nữa, những người có học thức cao thường bày tỏ sự hoang mang: liệu có thực sự có thể làm được điều gì mới trong toán học không?

Pozmota và các nhà toán học đôi khi được tưởng tượng là một người nhàm chán, người đã ghi nhớ một số lượng lớn các công thức và định lý, và họ tin rằng bài toán của anh ta bao gồm việc truyền lại những kiến ​​thức đã ghi nhớ, có sẵn cho người khác.

Trong tất cả những điều này, điều duy nhất đúng là thông tin toán học được truyền đạt ở trường trung học và ở giai đoạn đầu học toán ở bậc đại học đã được con người bổ sung từ rất lâu. Nhưng ngay cả những nhà toán học đơn giản này

*) A. N. Kolmogorov. Về nghề toán học. M., Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Mátxcơva, 1959.

thông tin trung thực có thể được áp dụng một cách khéo léo và sáng tạo để học sinh tự mình nhìn ra cách mình có thể tự mình tìm ra thông tin đó. Từ người đề xuất toán học ở cả trường trung học phổ thông và trung học, không chỉ cần có kiến ​​thức sáng tạo về khoa học mà người đó đề xuất. Chỉ một người đam mê nó và coi nó như một ngành khoa học sống động, đang phát triển mới có thể đưa ra một đề xuất hay về toán học. Có lẽ, nhiều học sinh trung học biết môn toán trở nên thú vị và dễ tiếp cận như thế nào đối với những học sinh như vậy.

Ở một mức độ lớn hơn, tính độc lập và khả năng tiếp cận công thức toán học của một nhiệm vụ theo một cách mới là cần thiết đối với những người áp dụng toán học vào lời giải các vấn đề kỹ thuật. Điều này áp dụng cho công việc của mọi kỹ sư. Nhưng vì điều này đòi hỏi kiến ​​thức toán học và không phải ai cũng có khả năng nên hầu hết các viện nghiên cứu kỹ thuật của chúng ta và thậm chí một số nhà máy lớn đã bắt đầu thu hút thành công các nhà toán học làm việc cùng với các kỹ sư về các vấn đề kỹ thuật.

Ý tưởng coi toán học như một môn khoa học hoàn chỉnh, từng được xây dựng trên nền tảng lý thuyết của nó, là sai lầm. Trên thực tế, toán học được làm phong phú thêm với các lý thuyết hoàn toàn mới và xây dựng lại đáp số cho các nhu cầu mới của cơ học (bánh xe phi tuyến

13

nhà tắm, cơ học tốc độ siêu âm), vật lý (phương pháp toán học của vật lý lượng tử) và các ngành khoa học liên quan khác. Ngoài ra, trong chiều sâu của toán học, sau khi tích lũy một số lượng lớn các bài toán đặc biệt khác nhau được giải bằng kỹ thuật từng phần, các lý thuyết tổng quát mới được tạo ra để làm sáng tỏ những bài toán này từ các quan điểm khác và cho phép giải chúng bằng các phương pháp đơn sắc. Ví dụ, các phương pháp “phân tích hàm” xuất hiện trước mắt chúng ta liên quan đến phân tích toán học (được tạo ra từ thế kỷ 17-18 và được dạy trong tất cả các cơ sở kỹ thuật cao hơn) gần giống như đại số liên quan đến số học. Cái gọi là “phương pháp toán tử” của giải tích hàm đã được ứng dụng rộng rãi trong vật lý và công nghệ hiện đại.

Hiện nay, đặc biệt thiếu các nhà toán học có khả năng giám sát công việc tính toán quy mô lớn.

Có nhiều bài toán yêu cầu tính toán vượt quá khả năng của một người để thu được kết quả bằng số. Việc tính toán ứng suất đàn hồi trong vật liệu dày đặc, khả năng lọc nước dưới vật liệu dày đặc, lực cản của máy bay trong quá trình bay hoặc quỹ đạo của đạn là những ví dụ điển hình của bài toán. Từ lâu, tại các viện khoa học, tổ chức thiết kế, nhà máy có nhu cầu lời giải như bài toán, các phòng tin học bắt đầu xuất hiện với hàng chục kỹ sư công nghệ cao, được trang bị máy đo số học và máy tính yêu cầu, để thực hiện các phép tính số học trên số có nhiều chữ số, chỉ cần gõ bằng phím và nhấn nút tương ứng (+, -, ×, :). Tuy nhiên, khoa học và công nghệ hiện đại đang phải đối mặt với những nhiệm vụ như vậy, đồng thời, mức độ tổ chức công việc tính toán đòi hỏi nhiều tháng, đôi khi hàng chục năm công việc tính toán. Tình trạng này đã gây ra sự phát triển nhanh chóng của “toán học máy” hiện đại.

Thiết kế và bảo trì máy tính hiện đại đã trở thành một chuyên ngành kỹ thuật rộng rãi mà sinh viên nhận được tại các khoa liên quan của trường kỹ thuật. Để làm việc trong các văn phòng máy tính kiểu cũ hoặc để nhập dữ liệu vào máy tính hiện đại, chỉ cần trình độ trung học phổ thông và đào tạo công nghiệp là đủ. Để đưa lời giải toán học bài toán lên giai đoạn sau đó chúng có thể được chuyển đến phòng máy tính hoặc máy tính để thu được kết quả bằng số, cần có nhiều người có kiến ​​thức toán học sâu sắc.

Lý thuyết về “phương pháp tính toán” của toán học hiện đã phát triển thành một ngành khoa học lớn và nhu cầu về các chuyên gia thành thạo các phương pháp này ngày càng tăng cùng với sự phát triển của “toán học máy”. Chúng ta đang phải đối mặt với một loại bài toán “lập trình”, tức là đưa quá trình tính toán về một dạng cho phép nó hoàn toàn tự động lời giải bài toán của một loại nhất định trên máy.

2. Giống như bất kỳ ngành khoa học nào, toán học trước hết đòi hỏi kiến ​​thức sáng tạo về những gì đã được thực hiện về vấn đề đang nghiên cứu. Nhưng người ta không nên nghĩ rằng trong toán học, việc đạt được khả năng làm được điều gì đó mới khó hơn các ngành khoa học khác. Kinh nghiệm lại nói lên một điều hoàn toàn khác: các nhà toán học có năng lực, theo quy luật, bắt đầu nghiên cứu khoa học độc lập khi còn rất trẻ. Nếu những khám phá toán học được thực hiện ở tuổi 16 hoặc 17 vẫn chỉ là ngoại lệ, trùng hợp với sự quan tâm đặc biệt trong nửa cuốn sách về lịch sử toán học, thì việc bắt đầu công việc khoa học nghiêm túc ở độ tuổi 19-20 tại các trường đại học trung học là đủ.

14

điển hình cho tiểu sử của nhiều nhà khoa học của chúng ta. Viện sĩ S. L. Sobolev vào năm 1933, ở tuổi 25, đã được bầu làm thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Năm 1953, nhà toán học 25 tuổi S. N. Mergelyan trở thành thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.

Tất nhiên, bề rộng của việc thiết lập bài toán thường đến muộn hơn một chút, nhưng với lời giải được nêu rõ ràng cụ thể khó bài toán những người trẻ hiện đại thường thực hiện thành công với các nhà khoa học nổi tiếng đã thành danh.

Hầu hết các khám phá toán học đều dựa trên một số ý tưởng đơn giản: một cấu trúc hình học trực quan, một bất đẳng thức cơ bản mới, v.v. Chỉ cần áp dụng đúng ý tưởng đơn giản này cho lời giải bài toán, mà thoạt nhìn có vẻ không thể tiếp cận được. Do đó, không có bức tường không thể xuyên thủng giữa nghiên cứu toán học ban đầu mới nhất và khó nhất và giải pháp bài toán, dành cho người mới bắt đầu có năng lực và đủ kiên trì trong toán học. Từ quan điểm này, thật thú vị khi đọc một số chương trong “Tác giả toán học” của nhà đại số nổi tiếng Liên Xô N. G. Chebotarev*, trong đó tác giả đặt ra lịch sử các khái niệm khoa học của mình, bắt đầu với định nghĩa đầu tiên để nói rằng nó thành công nhất với điều kiện là nhà toán học không giới hạn mình trong vai trò người thực thi “mệnh lệnh” được giao cho mình mà cố gắng thâm nhập vào các vấn đề khoa học và kỹ thuật hiện có. Các chuyên gia về toán học và vật lý lý thuyết, cơ học lý thuyết hoặc địa vật lý lý thuyết có thể chuẩn bị theo hai cách: bắt đầu học bằng cách nghiên cứu vật lý, cơ học hoặc địa vật lý, hoặc nghiên cứu toán học đầu tiên trong các khoa toán học của các trường đại học, sau đó đi sâu vào một hoặc một lĩnh vực ứng dụng khác của toán học.

Thậm chí còn có quan điểm cho rằng cách thứ hai cho kết quả tốt hơn, đó là nghiên cứu cơ học khí động học, đường kính khí, hiện tượng học hoặc khí tượng học đường kính trên cơ sở toán học vững chắc sẽ dễ dàng hơn việc chuyên sâu vào bất kỳ lĩnh vực nào trong số này để tận dụng việc thiếu đào tạo toán học. Ý kiến ​​này có thể được coi là quá cực đoan và có thể lưu ý rằng, ví dụ, sự nhấn mạnh vào kỹ thuật thực nghiệm được thấy ở những nhà toán học đã chuyển sang làm việc trong một số lĩnh vực liên quan chỉ như một ngoại lệ hiếm hoi. Nhưng phải thừa nhận rằng qua đào tạo, các nhà toán học đã đào tạo ra nhiều chuyên gia giỏi nhất của chúng ta trong các ngành khoa học liên quan.

Thật khó để tách toán học khỏi cơ học và khoa học hiện đại trong công trình của các học giả M. A. Lavrentiev và S. L. Sobolev. Trước hết, học giả M.V. Kelysh, L.I. Sedov và thành viên tương ứng được gọi là thợ máy. Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô L. N. Sretensky; với tư cách là nhà địa vật lý - thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô A. N. Tikhonov và A. M. Obukhov; là một chuyên gia về vật lý lý thuyết - Viện sĩ N. N. Bogolovov. Trong khi đó, họ đều tốt nghiệp đại học với tư cách là nhà toán học.

Có thể kể ra nhiều thành tựu cụ thể trong các lĩnh vực tự nhiên, kỹ thuật gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học, hóa ra lại là sức nặng tồn tại với những khía cạnh thực tiễn khó lường.

3. Nhu cầu về khả năng đặc biệt để học và hiểu toán học thường bị cường điệu hóa. Trong việc in ấn, sự khó khăn đặc biệt của toán học đôi khi được tạo ra bằng cách trình bày nó một cách quá hình thức.

15

trình bày phù hợp trên lớp. Khả năng tính toán trung bình của con người là khá đủ để, với sự hướng dẫn tốt hoặc những cuốn sách hay, không chỉ thành thạo môn toán trung học mà còn có thể hiểu được, chẳng hạn như sự khởi đầu của phép tính vi phân và tích phân. Tuy nhiên, khi chọn toán học làm chuyên ngành, việc kiểm tra “năng khiếu toán học” của bạn là điều hết sức tự nhiên. Rốt cuộc, không còn nghi ngờ gì nữa, những người khác nhau cảm nhận được những điều kỳ diệu của toán học, giải quyết các vấn đề toán học bài toán hoặc—ở mức độ cao hơn—đi đến những khám phá toán học mới với tốc độ, sự dễ dàng và thành công khác nhau. Và tất nhiên, chúng ta nên cố gắng đảm bảo rằng trong số hàng triệu thanh niên của chúng ta, những người làm việc thành công nhất trong lĩnh vực này sẽ trở thành chuyên gia về toán học.

Nội dung Posny nhằm phát triển năng khiếu toán học của thanh thiếu niên là một trong những bài toán vòng tròn toán học quan trọng, các cuộc thi Olympic toán học và các sự kiện khác nhằm thúc đẩy kiến ​​thức toán học và truyền bá sự quan tâm đến các nghiên cứu toán học độc lập. Không nên quá nhanh chóng trong việc tạo dựng danh tiếng “tài năng toán học” cho cá nhân giới trẻ. Nhưng cần phải chuẩn bị kịp thời cho những nhà toán học có năng lực để lựa chọn toán học làm công việc tương lai của mình với những lời khuyên hoặc tiền thưởng tại Optimida.

Những khả năng này là gì? Trước hết, cần nhấn mạnh rằng thành công trong toán học ít nhất dựa trên việc ghi nhớ một cách máy móc một số lượng lớn các sự kiện, công thức riêng lẻ, v.v. Trí nhớ tốt về toán học, cũng như bất kỳ vấn đề nào khác, đều hữu ích, nhưng hầu hết các nhà toán học nổi tiếng đều không có trí nhớ đặc biệt, xuất sắc.

Đặc biệt, những pháp sư điền vào một chuỗi dài các số có nhiều chữ số và thêm hoặc thay đổi chúng trong đầu hoàn toàn không thể coi là tấm gương về những người có khả năng toán học tốt theo nghĩa tốt của từ này.

Khả năng thực hiện các phép tính đại số, tức là khả năng biến đổi các biểu thức chữ phức tạp, tìm ra cách thành công cho các phương trình lời giải không phù hợp với các quy tắc tiêu chuẩn, v.v., đã phù hợp hơn với các khả năng thường được yêu cầu của một nhà toán học trong công việc khoa học phục vụ.

Thậm chí thật thú vị khi nghĩ rằng sự phát triển vượt bậc của khả năng tính toán như vậy hoặc đôi khi người ta nói, khả năng “thuật toán” là đặc điểm của một trong một số loại tài năng toán học cơ bản. Loại khả năng này cần thiết để vượt qua những khó khăn của đại số ở trường, và trên hết - trong việc phân tích các biểu thức đại số thành nhân tử.

Hơn nữa, ứng dụng chính của loại khả năng này trở thành phương trình lời giải. Tuy nhiên, bất cứ khi nào có thể, các nhà toán học cố gắng làm cho những khoảng trống mà họ nghiên cứu trở nên trực quan về mặt hình học. Ở trường trung học, người ta thấy khá rõ đồ thị hữu ích như thế nào trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số. Vì vậy, người đọc sẽ không ngạc nhiên trước nhận định rằng trí tưởng tượng hình học, hay như người ta nói, “trực giác hình học” đóng một vai trò to lớn trong công việc nghiên cứu ở hầu hết các lĩnh vực toán học, ngay cả những lĩnh vực quan trọng nhất.

Ở trường, thường rất khó hình dung các chức năng không gian. Ví dụ, bạn phải là một nhà toán học rất giỏi thì mới có thể nhắm mắt lại và tưởng tượng rõ ràng giao điểm của bề mặt hình lập phương với mặt phẳng đi qua tâm hình lập phương và vuông góc với nó trông như thế nào.

18

Đập của các nhà máy điện lớn chiếm không gian và thậm chí mất nhiều năm làm việc của các phòng máy tính đặc biệt. Tình trạng này đương nhiên dẫn đến nhu cầu cải tiến công nghệ máy tính. Trước hết, cùng với các máy số học thông thường, các “máy tính nhỏ” đã trở nên phổ biến, tự động thực hiện các phép tính số học trên các số có nhiều chữ số. Các biến của hai số có tám chữ số mất bốn mươi giây trên một máy như vậy.

Khi sử dụng các máy này, máy tính cũng buộc phải ghi lại kết quả của từng hành động và từ đó nhập lại vào máy. Trong hai mươi năm qua, công việc đã mở rộng rộng rãi để tạo ra những “máy tính lớn” mà không cần sự can thiệp của con người, thực hiện hàng loạt phép tính số học dài.

Chương trình vận hành của một chiếc máy như vậy được thiết lập bằng băng giấy đục lỗ. Bản thân máy thực hiện các phép tính số học theo thứ tự đã chỉ định, ghi lại kết quả của quá trình, sử dụng chúng trong các phép tính tiếp theo và cuối cùng tạo ra kết quả cuối cùng, được in trên băng hoặc thẻ hoặc thậm chí được in.

Lúc đầu, những chiếc máy tính phức tạp như vậy sử dụng các bộ phận cơ học như bánh xe của máy cộng thông thường và rơle điện từ để đóng và mở dòng điện điều khiển các bộ phận của máy. Một cuộc cách mạng hoàn chỉnh trong công nghệ máy tính đã diễn ra khoảng mười năm trước, khi người ta chứng minh rằng có thể thực hiện hoàn toàn mà không cần chuyển động cơ học của các bộ phận máy, thay thế chúng bằng các ống điện tử (hình nộm, triode, v.v.) và sự kết hợp của chúng (bộ kích hoạt, v.v.). Nhờ đó, chẳng hạn, có thể thực hiện hàng nghìn thao tác nhân các số có nhiều chữ số trong một giây. Một thời gian sau, các ống chân không bắt đầu thay thế các phần tử thu được với kích thước đáng kể; để “ghi nhớ” một số lượng lớn dữ liệu trung gian (lên tới vài trăm nghìn), cơ sở từ tính đã được giới thiệu, v.v. Có thể thực hiện các phép tính, chẳng hạn như 20 triệu thao tác để dự đoán thời tiết cho ngày hôm sau dựa trên dữ liệu từ các trạm khí tượng, tính toán quỹ đạo của một quả đạn trong thời gian ngắn hơn thời gian bay của nó, v.v.

Các máy tính lớn đôi khi được sử dụng và được chế tạo đặc biệt cho một mục đích (ví dụ: dự đoán thời tiết), nhưng thường thì chúng có tính chất phổ quát, nghĩa là chúng được thiết kế cho lời giải đa dạng nhất bài toán. Trong trường hợp này, chúng được đặt tại các “trung tâm máy tính” phục vụ nhiều tổ chức khoa học và kỹ thuật khác nhau không có máy tính lớn của riêng họ. Thông thường máy tính được kết nối với các thiết bị tự động điều khiển một hoặc một quy trình khác.

Nếu việc quản lý một quy trình có nhịp độ nhanh đòi hỏi những tính toán phức tạp dựa trên dữ liệu thu được trong quá trình này, thì nếu không có tốc độ của máy tính thì điều đó sẽ không khả thi chút nào. Phạm vi ứng dụng của các bộ điều khiển máy như vậy đang tăng lên nhanh chóng.

Máy điều khiển về nhiều mặt tương tự như các bộ phận cơ học điều khiển xuất hiện một cách tự nhiên và được nghiên cứu bởi các ngành khoa học mới nổi gần đây: lý thuyết khoa học máy tính và điều khiển học, phần lớn là toán học và đặt ra nhiều yêu cầu mới về toán học thuần túy.