Về bình phương số

29

Các hình có chiều rộng không đổi có nhiều đặc tính đáng chú ý. Ví dụ: độ dài của đường cong giới hạn bất kỳ hình nào có chiều rộng không đổi 1 bằng π, nghĩa là bằng chiều dài của một đường tròn có đường kính 1 (định lý Barbier). Hơn nữa, trong tất cả các hình có chiều rộng không đổi 1, hình tròn có diện tích lớn nhất (chứ không phải nhỏ nhất!), và tam giác Reuleaux có diện tích nhỏ nhất; trong mọi trường hợp, không khó để xác minh rằng diện tích của tam giác Reuleaux bằng $\frac{\pi - \sqrt{3}}{2} \approx 0,7048$ - nhỏ hơn đáng kể so với diện tích hình tròn, bằng $\frac{\pi}{4} \approx 0,7854$. Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng hai đường hỗ trợ song song được vẽ thành một hình có chiều rộng không đổi 1 có hai điểm chung với hình này và đoạn nối các điểm này vuông góc với đường hỗ trợ (và do đó, có chiều dài 1; Hình 14). Từ đó suy ra rằng trong bất kỳ hình nào có chiều rộng không đổi 1, một đoạn có chiều dài 1 có thể tạo thành một vòng quay hoàn chỉnh. Bằng chứng cho những nhận định được đưa ra ở đây có thể được tìm thấy trong cuốn sách “Hình lồi” nói trên (xem thêm tạp chí «Kvant» Số 3, 1971, trang 21).

Vì vậy, nếu giả định trên là đúng thì hình lồi nhỏ nhất (theo diện tích) trong đó đoạn có độ dài 1 có thể quay một vòng hoàn toàn sẽ là tam giác Reuleaux (và hoàn toàn không phải là hình tròn). Nhưng hóa ra (thoạt nhìn các nước có vẻ như vậy) tam giác Reuleaux không phải là hình nhỏ nhất. Hình nhỏ nhất như vậy là một tam giác đều có chiều cao 1 (diện tích của nó bằng $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,5773$, tức là diện tích nhỏ nhất của tam giác Reuleaux). Bằng chứng về thực tế này có thể được tìm thấy ở trang 256-258 của cuốn sách Hình lồi.

Về bình phương số

Dưới đây là một số sự thật thú vị về số bình phương. Nếu hai chữ số cuối của hình vuông giống nhau nhưng không bằng 0 thì đây phải là hai số bốn. Hình vuông nhỏ nhất như vậy là 144. Có thể có ba phần bốn ở cuối - đây là số 1444. Nhưng những hình vuông có bốn phần bốn ở cuối không còn tồn tại nữa. Không có nhiều ô vuông được đánh số với tất cả các số giống nhau và những ô trong đó tất cả các số đều là số lẻ. Hãy cố gắng chứng minh điều đó.

Trong số có hai chữ số có một số có tính chất bất kỳ. Số này là 13. Bình phương của nó là 169. Đọc số này từ phải sang trái, ta được 961 - một số có căn bậc hai là 31, tức là 13 đọc ngược. Và cuối cùng, tổng các chữ số của 169 bằng 16, tổng các chữ số của 13 là 4, tức là căn bậc hai của 16. Trong các số có hai chữ số chỉ có một số có cùng bộ tính chất, các bạn hãy thử tìm nhé.

Có những hình vuông chứa tất cả các số và mọi số ở trang 256-258 của cuốn sách “Hình lồi”.