О квадратах чисел

29

Фигуры постояной ширины обладают многими замечательными свойствами. Например,лина кривой, ограничивающей любую фигуру постояной ширины 1, равна π, то есть равна длине окружности диаметра 1 (теорема Барбье). Далее, из всех фигур постояной ширины 1 наибольшую ую (а не наименьшую!) площадь имеет круг, а наименьшую ую площадь имеет треугольник Рело; во всяком случае, нетрудно проверить, что площадь треугольника Рело равна $\frac{\pi - \sqrt{3}}{2} \approx 0,7048$ — заметно меньше площади круга, равной $\frac{\pi}{4} \approx 0,7854$. Отметим еще, что две параллельные опорные прямые, проведенные к фигуре постояной ширины 1, имеют с этой фигурой две общие точки, причем отрезок, соединяющий эти точки, перепendlулярен опорным прямым (и, следовательно, имеет длину 1; рис. 14). Из этого следует, что во всякой фигуре постояной ширины 1 отрезок длины 1 может совершить полный оборот. Доказательство формулированных здесь утверждений можно найти в упоминавшейся выше книге «Выпуклые фигуры» (см. также журнал «Квант» № 3, 1971 г., стр. 21).

Итак, если бы сделанное выше предположение было верно, то наименьшей (по площади) выпуклой фигурой, в котором может совершить полный оборот отрезок длины 1, был бы треугольник Рело (а вовсе не круг). Но, оказывается (как это на первый взгляд ни какется страным), что и треугольник Рело не является наименьшей фигурой. Такой наименьший фигурой служит равносторонний треугольник с высотой 1 (его площадь равна $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,5773$, то есть наимного меньше площади треугольника Рело). Доказательство этого факта можно найти на стр. 256—258 книги «Выпуклые фигуры».

О квадратах чисел

Вот несколько интересных фактов, характеризующих квадраты чисел. Если две последние цифры квадрата одинаковы, но не ноль, то это обязательно должны быть две четверки. Самый маленький такой квадрат — 144. На конце могут быть и три четверки — это число 1444. Но квадратов с четырьмя четверками на конце уже не существует. Не было много значных квадратов со всеми одинаковыми цифрами и таких, у которых все цифры — нечетные. Попробуйте это доказать.

Среди двухначных чисел есть число, обладающее любыми свойствами. Это число 13. Его квадрат — 169. Прочитав это число справа налево, получим 961 — число, квадратный корень из которого равен 31, то есть 13, прочитанное наоборот. И, наконец, сумма цифр 169 равна 16, а сумма цифр 13 равна 4, то есть корни квадратному из 16. Среди двухначных чисел есть только одно число с таким же набором свойства, попробуйте его найти.

Есть квадраты, которые содержат все цифры, причем каждую каждой нойти на стр. 256—258 книги «Выпуклые фигуры».