О простых числах

71

О простых числах

А. Д. Бендукидзе

В этой заметке рассказывается коэффицио о простых числах. Эти числа люди заинтересовались еще в глубокой древности. Относительно простых чисел было поставлено множество интересных вопросов. Примечательно, что ответы на некоторых из них не известны и поей день.

1. Возьмем ряд натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, …
В этом ряду нет наиболее числа. Как это понятно? Это значит, что каким бы большим ни было натуральное число $n$, существует еще больше числа. В самом деле, таким будет уже следующее натуральное число, — число $n+1$. Итак, натуральных чисел бесконечно много. Именно этот факт и подразумевают математики, когда говорят, что множество натуральных чисел бесконечно.

2. Наименьшим в ряду натуральных чисел является число 1. У него только один делитель — это 1. Следующие числа — 2. У этого числа два делителя: 1 и 2. Далее идет 3. У него тоже два делителя: 1 и 3. Но уже у следующего числа, числа 4, три делителя: 1, 2, 4. У пяты два делителя, у шести — четыре и так далее. Число может иметь и много делителей. Например, у числа 60—12 делители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Число, у которого только два делителя: 1 и само это число, — называется простым; если же у числа более двух делителей, то оно называется составным. Так, например, числа 2, 3, 5, 7, 11 — простые, а 4, 6, 8, 9, 10 — составные. А как бы с числом 1? Ведь у него только один делитель! Это число не является ни простым, ни составным.

Таким образом, множество натуральных чисел естественным образом развивается на три части или, как принято говорить, на три подмножества. Первое из этих подмножества состоит из одного числа, а именно, из числа 1; второе содержит все простые числа, а третье — составные. Заметим, что каждое натуральное число попадает в одно и только одно из этих подмножества, то есть, как обычно говорят, эти подмножества попарно не пересекаются.

3. Легко доказать, что множество составных чисел бесконечно. В самом деле, уже числа вида $2^n$, где $n$ принимает значения 2, 3, 4,…, бесконечно много, а ведь кроме этих существуют и другие составные числа!

Ну, а что можно сказать относительно простых чисел — конечно или бесконечно их множество? Известный древнерреческий математик Евклид, который жил в III века нашей эры, доказал, что множество простых чисел бесконечно.

Посмотрите, какстроим расуждает Евклид при доказательстве этого факта.

Пусть $p$ — неокоторе простое число. Доказем, что существует простое число, большее $p$. В самом деле, переменным все простые числа до $p$, включая само $p$, и к этому произведение добавим единицу. Получим следующее число:

$$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \dots p + 1.$$