Вероятностные задачи

59

Задание 7. Модум ли цифры трехначного или четырехначного простого числа образовывам арифметическую прогрессию с положительной разностью? Если модум, но найти все также числа.

Решение. Предположим, что цифры числа образуют арифметическую прогрессию.

Для трехначного числа сумма цифра $x, x+d, x+2d$ равна $S = x + (x+d) + (x+2d) = 3x + 3d$ и делится на 3, то есть число, образованное этими цифрами, делится на 3 и не может быть простым.

Для четырехначного числа сумма цифра $x, x+d, x+2d, x+3d$ равна
$$x + x + d + x + 2d + x + 3d = 2(2x + 3d).$$

$x$ не может быть равно 3, так как тогда получим число, делится на 3. Поскольку $x + 3d$ — цифра числа, то $x + 3d \leqslant 9$ и $d$ может быть равно 2 или 1.

Пусть $d = 2$. Тогда $x \leqslant 3$; $x = 3$ не подходит; $x = 2$ тоже не подходит, так как получится четное число, при $x = 1$ получим составное число 1357.

Пусть $d = 1$. Рассматривая числа 1234, 2345,…, 6789, находим среди них одно простое число 4567.

Ураженяя

1. Сумма трех чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 26. Если к этим числам прибавить соответственое 1, 6 и 3, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию. Найти исходные числа.
2. Доказать, что в арифметической прогрессии между каждой двумя последовательными членами можноставить по $k$ чисел таких, что все последовательность составит арифметическую прогрессию.
3. Могут ли числа $\sqrt{3}, 2$ и $\sqrt{8}$ быть членами арифметической прогрессии?
4. Найти сумму первых $n$ членов последовательности
   7, 77, 777, …
5. Вычислить сумму
   $$1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (-1)^{m-1} m^2.$$
6. При каких $x$ числа $\lg 2, \lg (2^x - 1)$ и $\lg (2^x + 3)$, взять в указанном порядке, составляют арифметическую прогрессию?

Вероятность задачи

1. В первом ящике 50 белых шаров, а во втором 10 белых и 10 черных. Некто берет надачу один шар из любого ящика. Какова вероятность, что взятый им шар будет белым? Решая эту задачу, учащийся сказал: «Так как белых шаров 60, а черных 10, то искомая вероятность равна 6/7». Верно ли это?

2. (Задча Паскаля). Два одинаково искусных игрока играют в игру, не допускающий ницейного исхода. Они сделали равные ставки и условиями, что тот, кто равше наберет 10 выигранных партий, получит все деньги. Игра была превращена при счете 9:8 и не могла быть продолжена. Как должны они разделить деньги?

3. Про неокотую семью извесно, что там две детей, причем один из них — мальчик. Что более верятно: что второй ребёнок является мальчиком или девочек?

4. Имеется неогранничное число шаров: один — с номером 1, другой — с номером 2, третьий — с номером 3 и т. д. Игроки $A$ и $B$ берет надачу по одному шару и смотрит их номера. Выиграшим считается тот, кому достался шар с меньшим номером.

Посмотрим, каковы шансы на выигрыш у игрока $A$. Предположим, что он вычитал шар с номером $k$. Так как номеров меньше, чем $k$, имеется конечное число, а номеров больше, чем $k$, бесконечное много, то выигрыш игрока $A$ значительноверятней его проигрыша. Но так как это самое рассужждение можно prove и относительно игрока $B$, то приходим к выводу, что каждый из игроков имеет значительное преимущество перед другим. Почему так получилось?

Б. Ю. Козан