Задачи М196—М200; Ф208—Ф212

43

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Решения задачи из этого номера можно посылать не позднее 31 мая 1973 года по адресу: 117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Кванта».
После.adреса на конверте нашищите, решения каких задачи вы посылаете, например: «Задачик «Кванта», М196, М198 или «…Ф210».
Решения задачи по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылать в отдельных конвертах.
Опrizinalные задачи, предложаемые для публикации, присваиваем вместе с вашими решениями этих задачи (на конверте помещение: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»). Задачи из разных номеров журнала присваивают в разных конвертах.
Задании повышенной трудности омеченны звездочкой.
После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Задачи
M196-M200; Ф208-Ф212

M196. В окружности радиуса 1 проведено несколько ходд. Докажите, что если каждой диаметр пересекает не более k ходд, то сумма длин ходд меньше лк.

A. T. Коломов

M197. В прямогольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn произвольных положительных чисел. Найдем произведение чисел в каждом столбце и затем сумму S всех n таких произведений. Докажите, что если пе-

$$S = 84$$
Рис. 1.

M199. a) Докажите, что сумма
$$C_n^0 - C_{n-1}^1 \frac{1}{4} + C_{n-2}^2 \frac{1}{4^2} - \cdots + (-1)^i C_{n-i}^i \frac{1}{4^i} + \cdots$$
(sумма берется по всем целым i, $0 \leq i \leq \frac{n}{2}$) равна $\frac{n+1}{2^n}$.

6)* Докажите, что если p и q—различные числа и p+q=1, то сумма
$$C_n^0 - C_{n-1}^1 pq + C_{n-2}^2 p^2 q^2 - \cdots + (-1)^i C_{n-i}^i p^i q^i + \cdots,$$

44

можно 24 разными способами отображать это множество из шести точек на себя так, чтобы каждый три точки, лежащие на одной прямой, отображались в три точки, также лежащие на одной прямой.

6. На рисунке 4 девять точек лежат по три на девятим прямых, причем через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точки и.devят прямых образуют знаменную «конфигурацию Паскала». Скольники способами можно множество наших.devят точек отображать на себя так, чтобы каждый тройка точек, лежащая на одной из.devятных наших прямых, отображалась на тройку точек, которая лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?

в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображенной на рисунке 5.

А. Н. Колмодоров

Ф208. У автоматия, участвующего в тонке, лопается шина. Оценить, с какой скоростью должен ехать автомать, чтобы шина не сминалась.

П. Л. Капица

Ф209*. Смоделировать траекторию заряженной частицы в магнитном поле можно, помещив в однородное магнитное поле закрепленный на концах гибкий проводник, по которой пропускается ток. Каким будет натяжение такого провода при токе 1 а, если он имитирует

М200. a) На рисунке 3 изображены шесть точек, которые лежат по три на четырех прямых. Доказите, что

Рис. 6.