Ước tính đại lượng vật lý

Ước tính đại lượng vật lý

B.S. Ratner

Trong vật lý, cũng như trong các ngành khoa học khác, giá trị của các đại lượng khác nhau thu được từ kết quả tính toán hoặc thí nghiệm được xác định với độ chính xác không bằng nhau. Trong một số trường hợp, điều quan trọng là phải biết giá trị của một đại lượng vật lý với độ chính xác cao nhất, trong những trường hợp khác, chỉ cần ước tính giá trị gần đúng của nó là đủ. Độ chính xác của những ước tính như vậy có thể thay đổi từ mức độ lớn đến vài phần trăm.

Lấy ví dụ về phép tính ước tính, không chính xác, chúng ta sẽ tìm chu kỳ dao động $T$ của một con lắc toán học theo một cách hơi khác thường. Qua môn vật lý ở trường, người ta đã biết rằng đối với các góc lệch nhỏ của sợi dây con lắc so với phương thẳng đứng, giá trị $T$ được tìm thấy với độ chính xác cao từ công thức $T = 2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$, trong đó $l$ là chiều dài của sợi dây con lắc và $g$ là gia tốc rơi tự do. Do đó, ví dụ của chúng tôi hoàn toàn là

Cơm. 1.

22

minh họa - không ai trong điều kiện thực tế sẽ ước tính gần đúng một giá trị đã được biết chính xác. Nhưng chúng ta sẽ biết ngay ước tính đó gần đúng đến mức nào.

Giả sử tại thời điểm ban đầu con lắc ở điểm $A$ - điểm có khoảng cách lớn nhất đến vị trí cân bằng $B$, đồng thời sợi dây tạo một góc nhỏ $\alpha$ với phương thẳng đứng (Hình 1). Chu kỳ dao động $T$ gấp bốn lần khoảng thời gian $t$ trong đó con lắc sẽ mô tả cung $AB$:

$$T = 4t = 4\,\frac{\smile AB}{v_{\mathrm{ср}}},$$

trong đó $v_{\mathrm{ср}}$ là tốc độ trung bình ở đoạn này.

Vì góc $\alpha$ nhỏ nên cung $\smile AB$ có thể được thay thế bằng dây cung $AB$. Từ tam giác vuông $ACO$ và $ACB$

$$AC^2 = l^2 - (l-h)^2$$

Và

$$AC^2 = AB^2 - h^2,$$

kể từ đây,

$$AB = \sqrt{2lh}.$$

Hãy giả sử rằng

$$v_{\mathrm{ср}} = \frac{v_0 + v_t}{2} = \frac{0 + \sqrt{2gh}}{2}.$$

Ở đây $v_0$ là tốc độ tại thời điểm ban đầu, và $v_t$ là tốc độ của con lắc khi đi qua vị trí cân bằng. Sự thiếu chính xác của giả định như vậy là hiển nhiên, vì nó tương ứng với chuyển động có gia tốc đều, tức là chuyển động dưới tác dụng của một lực không đổi. Trong trường hợp của chúng ta, quả bóng chịu tác dụng của một lực thay đổi theo thời gian—thành phần tiếp tuyến của trọng lực. Thật không may, không thể đạt được giá trị $v_{\mathrm{ор}}$ gần với giá trị thực hơn bằng toán học cơ bản.

Chúng ta hãy thay thế các giá trị của $\smile AB$ và $v_{\mathrm{ср}}$ vào biểu thức cho chu kỳ dao động $T$ và thu được

$$T = 8 \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Cơm. 2.

Cơm. 3.

Giá trị chu kỳ dao động thu được bằng ước tính lớn hơn khoảng 27% so với giá trị thực. Điều gì gây ra sự khác biệt này? Về cơ bản, với giá trị vận tốc trung bình mà chúng ta đã chọn thì việc thay thế cung bằng dây cung không mấy quan trọng. Hình 2 hiển thị đồ thị của lực và độ dịch chuyển trong hai trường hợp: dao động điều hòa, khi lực $F_2$ giảm tuyến tính khi nó tiến đến vị trí cân bằng và được sử dụng để ước tính chuyển động có gia tốc đều, khi lực $F_1$ không đổi. Các diện tích bên dưới đồ thị, bằng năng lượng của chuyển động, đương nhiên phải bằng nhau. Bây giờ chúng ta hãy thử so sánh

khoảng thời gian dành cho cả hai trường hợp. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng sự phụ thuộc $v = v(t)$ (Hình 3). Với chuyển động có gia tốc đều, đồ thị $v = v_1(t)$ là một đường thẳng. Với dao động điều hòa, đường cong $v = v_2(t)$ ban đầu đi cao hơn (tiếp tuyến của độ dốc của đường cong tại $t = 0$ gấp đôi tiếp tuyến của đường thẳng), ở giữa đường đi, độ dốc của các đường cong xấp xỉ bằng nhau và ở cuối đường tiếp tuyến của độ dốc của đường cong $v_2(t)$ bằng 0. Nhưng diện tích bên dưới cả hai đường cong phải bằng nhau vì chúng bằng đường đi. Do đó, $t_1 > t_2$, tương ứng với dấu của sự chênh lệch về giá trị của chu kỳ dao động.