Phương pháp thứ nguyên

Phương pháp thứ nguyên

N. D. Krishtal

Bài viết này xem xét một số bài toán, trong đó lời giải phương pháp thứ nguyên được sử dụng. Phương pháp này được mô tả chi tiết trong bài viết của A. S. Kompaneets “Các kích thước của đại lượng vật lý và sự giống nhau của các hiện tượng” trên tạp chí số này.

Sẽ thuận tiện nhất khi chứng minh các quy định chính của phương pháp thứ nguyên bằng các ví dụ cụ thể. Chúng ta sẽ làm điều này bằng cách phân tích các biến dạng và áp suất phát sinh trong quá trình tương tác đàn hồi của hai vật thể. Giá trị tuyệt đối của lực $F$ mà các vật chống lại các tác động từ bên ngoài có xu hướng làm thay đổi hình dạng và kích thước của chúng được xác định bởi định luật Hooke:

$$F = kx, \qquad (1)$$

trong đó $x$ là độ lớn biến dạng, $k$ là hệ số đàn hồi. Đối với biến dạng kéo (hoặc nén), biểu thức (1) có thể được viết lại dưới dạng khai triển:

$$F = \frac{ES}{l}\,\Delta l. \qquad (2)$$

Hình 1

18

Ở đây $E$ là mô đun đàn hồi (mô đun Young) - đại lượng đặc trưng cho khả năng của vật liệu chống lại các tác động bên ngoài; nó không phụ thuộc vào hình dạng và kích thước của mẫu đang nghiên cứu, $S$ là diện tích mặt cắt vuông góc với hướng của ngoại lực, $l$ là chiều dài và $\Delta l$ là sự thay đổi chiều dài của vật bị biến dạng.

Chúng ta xét sự va chạm đàn hồi của các quả bóng.

Bài 1. Hai quả bóng có bán kính $R$, được làm bằng vật liệu có mật độ $\rho$ và mô đun đàn hồi $E$, chuyển động hướng về nhau theo một đường thẳng nối tâm của chúng, với tốc độ bằng nhau $v$ (Hình 1). Một tác động tuyệt đối đàn hồi xảy ra giữa các quả bóng. Tìm mức biến dạng tối đa $x$ trong quá trình va chạm.

Rõ ràng là giá trị của $x$ có thể phụ thuộc vào tất cả các tham số đặc trưng cho quả bóng trong quá trình va chạm, nghĩa là trên $v$, $\rho$, $R$ và $E$:

$$x = x(v,\ \rho,\ R,\ E).$$

Chúng ta sẽ tìm sự phụ thuộc này ở dạng *)

$$x = A v^{p}\, \rho^{b}\, R^{c}\, E^{d}, \qquad (3)$$

trong đó $A$ là hệ số tỷ lệ không thứ nguyên ($[A] = 1$), $p$, $b$, $c$ và $d$ hiện là số mũ không thứ nguyên chưa xác định.

Theo học thuyết về kích thước, các công thức tính kích thước của bên trái và bên phải bằng nhau (3) phải giống nhau:

$$[x] = [v^{p}]\ [\rho^{b}]\ [R^{c}]\ [E^{d}]. \qquad (4)$$

Điều này áp đặt một số điều kiện nhất định đối với các giá trị của chỉ báo $p$, $b$, $c$ và $d$. Chúng ta hãy viết thứ nguyên của tất cả các đại lượng xuất hiện ở cả hai vế đẳng thức (3).

Độ dài là đơn vị đo cơ bản nên viết ngay

---

*) Việc biểu diễn sự phụ thuộc mong muốn dưới dạng hàm lũy thừa là một giả định, tính hợp lệ của nó phải được chứng minh. Khi sử dụng nghiêm ngặt phương pháp thứ nguyên, giả định như vậy sẽ không được thực hiện.

19

chúng tôi đợi
$$[x] = \mathrm{L}, \quad [R] = \mathrm{L}.$$
Theo đó, khối lượng và diện tích có kích thước $\mathrm{L}^3$ và $\mathrm{L}^2$. Theo định nghĩa, tốc độ đặc trưng cho quãng đường di chuyển trong một đơn vị thời gian, có nghĩa là
$$[v] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}} = \mathrm{LT}^{-1}.$$

Mật độ của vật liệu là lượng chất trên một đơn vị thể tích, do đó
$$[\rho] = \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{L}^3} = \mathrm{ML}^{-3}.$$

Kích thước của mô đun đàn hồi có thể được xác định bằng định luật Hooke và định luật II Newton. Từ công thức (2) suy ra
$$E = \frac{F}{S}\,\frac{l}{\Delta l}.$$

Theo định luật II Newton, lực bằng khối lượng nhân với gia tốc:
$$F = ma.$$
Có nghĩa,
$$E = \frac{ma}{S}\,\frac{l}{\Delta l}. \qquad (5)$$

Gia tốc là sự thay đổi vận tốc trong một đơn vị thời gian, do đó
$$[a] = \frac{[v]}{[t]} = \mathrm{LT}^{-2}.$$

Kích thước của các đại lượng còn lại có trong phương trình (5) có thể viết ngay:
$$[m] = \mathrm{M}, \quad [S] = \mathrm{L}^2,$$
$$[l] = [\Delta l] = \mathrm{L}.$$
Kể từ đây,
$$[E] = \frac{\mathrm{MLT}^{-2}}{\mathrm{L}^2}\,\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}} = \mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2}.$$

Chúng ta hãy thay thứ nguyên của các đại lượng tương ứng thành đẳng thức (4):
$$\mathrm{L} = (\mathrm{LT}^{-1})^p\,(\mathrm{ML}^{-3})^b\,(\mathrm{L})^c\,(\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2})^d,$$
hoặc
$$\mathrm{L}^1 = \mathrm{L}^{p-3b+c-d}\ \mathrm{M}^{b+d}\ \mathrm{T}^{-(p+2d)}. \qquad (6)$$
Công thức tính kích thước của cạnh bên trái và bên phải là như nhau nếu số mũ của các ký hiệu giống nhau ở bên trái và bên phải bằng nhau. Chúng ta hãy viết lại phương trình (6) dưới dạng
$$\mathrm{L}^1\mathrm{M}^0\mathrm{T}^0 = \mathrm{L}^{p-3b+c-d}\mathrm{M}^{b+d}\mathrm{T}^{-(p+2d)}.$$

2*

Đánh đồng các số mũ có ký hiệu giống nhau ở vế trái và vế phải, ta thu được hệ phương trình
$$\begin{cases} 1 = p - 3b + c - d, \\ 0 = b + d, \\ 0 = p + 2d, \end{cases}$$
từ đó chúng tôi tìm thấy
$$c = 1, \quad b = \frac{p}{2}, \quad d = -\frac{p}{2}.$$

Hãy thay thế các giá trị này thành (3):
$$x = Av^p\,\rho^{p/2}E^{-p/2}R,$$
hoặc
$$\frac{x}{R} = A\left(\frac{\rho^{1/2}v}{E^{1/2}}\right)^p = A\left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{p/2}. \qquad (7)$$

Biểu thức thu được xác định dạng phương trình biến dạng tương đối $\dfrac{x}{R}$ của các quả bóng. Tuy nhiên, $A$ và $p$ vẫn chưa được biết.

So sánh các biểu thức (3) và (7), có thể lưu ý rằng việc xem xét thứ nguyên của các đại lượng có thể thay thế mối quan hệ giữa các đại lượng năm chiều ($x$, $v$, $\rho$, $R$, $E$) bằng mối quan hệ giữa hai đại lượng không thứ nguyên:
$$\left[\frac{x}{R}\right] = 1, \quad \left[\frac{\rho v^2}{E}\right] = 1.$$

Nếu chúng ta đang tìm kiếm sự phụ thuộc $x = x(v,\ \rho,\ R,\ E)$ bằng thí nghiệm, thì việc sử dụng phương pháp thứ nguyên sẽ cho phép chúng ta nghiên cứu, thay vì ảnh hưởng của các đại lượng bốn chiều lên $x$, ảnh hưởng của chỉ một đại lượng không thứ nguyên $\dfrac{\rho v^2}{E}$ lên $\dfrac{x}{R}$. Điều này mang lại sự thuận tiện lớn cho người thực nghiệm vì nó cho phép giảm đáng kể số lượng thí nghiệm cần thiết.

Cần lưu ý rằng hệ số $A$ không thể được xác định bằng phương pháp thứ nguyên, vì nó không liên quan gì đến số mũ trong công thức tính thứ nguyên của đại lượng. Chỉ báo $p$ liên quan đến công thức thứ nguyên nên trong một số trường hợp có thể

định nghĩa. Hãy cố gắng nêu bật những trường hợp có thể thực hiện được điều này.

Trong bài toán của chúng tôi có bốn số mũ chưa biết $p$, $b$, $c$, $d$ và ba phương trình để xác định chúng. Số phương trình có thể xây dựng để tìm các hệ số chưa biết bằng số đơn vị đo cơ bản. Để xác định giá trị số của tất cả các chỉ số chưa biết, số của chúng phải bằng số phương trình độc lập trong hệ thống. Điều này chỉ có thể thực hiện được trong hai trường hợp: nếu bạn chọn một hệ thống đơn vị đo lường có bốn đơn vị cơ bản hoặc nếu bạn giảm số lượng các biến độc lập một cách hợp lý (và do đó là số lượng các chỉ số chưa biết).

Chúng ta sẽ xem xét cách thứ hai. Giả sử rằng biến dạng xảy ra khi va chạm chỉ phụ thuộc vào mô đun đàn hồi $E$ và động năng của quả bóng $\mathrm{K} = \dfrac{mv^2}{2}$, trong đó $m$ là khối lượng của quả bóng. Ở đây chúng ta chỉ tính đến kích thước của quả bóng trong biểu thức động năng: $\mathrm{K} = \dfrac{1}{2}\ \dfrac{4}{3}\ \pi R^3 \rho v^2$.

(Đây là một giả định sơ bộ, vì độ lớn của biến dạng không chỉ phụ thuộc vào động năng mà còn phụ thuộc vào bán kính của quả bóng $R$.) Giả định này cho phép chúng ta viết gần đúng:

$$x = A_1 \mathrm{K}^{p_1} E^{b_1}.$$

Kích thước của động năng

$$[\mathrm{K}] = [mv^2] = \mathrm{ML^2T^{-2}}.$$

Nếu bây giờ chúng ta soạn một hệ phương trình và xác định các giá trị của $p_1$ và $b_1$ (tương tự như cách thực hiện ở trên), chúng ta thu được

$$\frac{x}{R} = \frac{A_1}{R}\left(\frac{\mathrm{K}}{E}\right)^{1/3} = A_2 \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{1/3}. \qquad (8)$$

Số mũ $^1/_3$ trong công thức (8) gần với số mũ $^2/_5$ thu được bằng toán học chặt chẽ lời giải bài toán*).

---

*) Để biết một cách khác để có được công thức (8), chẳng hạn, hãy xem bài viết của G. L. Kotkin “Sự va chạm của các quả bóng”, «Kvant», 1973, Số 3.

Khi sử dụng phương pháp thứ nguyên, điều rất quan trọng là phải xây dựng chính xác bài toán, bởi vì công thức bài toán làm nổi bật các tham số mà giá trị mong muốn phụ thuộc vào. Khi giải bài toán về va chạm đàn hồi của các quả bóng, chúng tôi đã tính đến khả năng vật liệu của các quả bóng chống lại sự lan truyền biến dạng bên trong quả bóng ($E$), hình dạng và kích thước của khu vực đang nghiên cứu (các quả bóng có bán kính $R$), ảnh hưởng bên ngoài đến khu vực đang nghiên cứu (thông qua tốc độ $v$ và mật độ vật liệu của mỗi quả bóng $\rho$).

Bài 2. Tìm biến dạng xảy ra ở các quả cầu có bán kính $R$ dưới tác dụng của hai lực nén $F$ hướng dọc theo đường nối tâm các quả cầu. Chất liệu của các quả bóng là như nhau và mô đun đàn hồi của nó là $E$.

Ở đây, như trong bài toán đầu tiên, chúng ta biết hình dạng và kích thước của vật thể (quả bóng có bán kính $R$), tác động bên ngoài lên quả bóng (lực $F$) và tính chất vật liệu của quả bóng (mô đun Young $E$).

Đối với lời giải bài toán chúng ta cần tìm sự phụ thuộc của độ lớn biến dạng $x$ vào các giá trị $F$, $R$ và $E$. Chúng ta sẽ lại tìm sự phụ thuộc này dưới dạng

$$x = A_3 F^n R^s E^t, \qquad (9)$$

hoặc cho kích thước

$$[x] = [F^n]\ [R^s]\ [E^t]. \qquad (10)$$

Độ lớn của lực $F$ bằng

$$[F] = [ma] = \mathrm{MLT^{-2}}.$$

Thay thứ nguyên của các đại lượng $x$, $F$, $R$, $E$ vào (10), ta thu được

$$\mathrm{L} = (\mathrm{MLT^{-2}})^n \mathrm{L}^s (\mathrm{ML^{-1}T^{-2}})^t,$$

hoặc

$$\mathrm{L^1M^0T^0} = \mathrm{L}^{n+s-t}\mathrm{M}^{n+t}\mathrm{T}^{-2n-2t}.$$

Chúng ta hãy đánh đồng số mũ của các ký hiệu giống nhau ở bên trái và bên phải của phương trình này:

$$\begin{cases} 1 = n + s - t, \\ 0 = n + t, \\ 0 = -2n - 2t. \end{cases}$$

Từ đây

$$t = -n, \quad s = 1 - 2n.$$

Kể từ đây,

$$x = A_3 F^n R^{1-2n} E^{-n} = A_3 R \left(\frac{F}{ER^2}\right)^n,$$

20

Hình 2.

hoặc
$$\frac{x}{R} = A_3 \left(\frac{F}{ER^2}\right)^n. \qquad (11)$$

Nói chung, các tác động từ bên ngoài lên quả bóng sẽ làm thay đổi trạng thái vật liệu của quả bóng. Sự thay đổi trạng thái của vật liệu này được đặc trưng bởi khái niệm “ứng suất”. Ứng suất của vật liệu tại tiết diện $S$ (Hình 2) dưới tác dụng của ngoại lực $F$ gọi là giá trị $\sigma = F/S$, trong đó $S$ là diện tích mặt cắt ngang. Ứng suất xảy ra dưới tác dụng của các lực vuông góc với tiết diện đang xét được gọi là ứng suất hoặc áp suất pháp. Ứng suất đặc trưng cho tải trọng cụ thể tác dụng lên vật liệu (tải trọng trên một đơn vị diện tích mặt cắt ngang của cơ thể). Khi tải trọng riêng tăng dần, vật liệu đầu tiên trở nên kém đàn hồi và sau đó bị xẹp xuống. Vì vậy, việc xác định ứng suất có ý nghĩa thực tiễn.

Bài 3. Tìm ứng suất $\sigma$ tại điểm tiếp xúc của hai quả bóng có bán kính $R$, phát sinh dưới tác dụng của lực nén $F$ (xem Hình 2), nếu các quả bóng được làm bằng vật liệu có mô đun đàn hồi $E$.

Rõ ràng, $\sigma$ phụ thuộc vào $F$, $E$ và $R$:
$$\sigma = \sigma(F,\ E,\ R).$$
Chúng ta sẽ lại giả sử rằng sự phụ thuộc này có dạng
$$\sigma = A_4 F^{n_1}\ R^{s_1}\ E^{t_1}. \qquad (12)$$
Từ định nghĩa của điện áp, ta suy ra thứ nguyên của điện áp là

thứ nguyên của lực chia cho thứ nguyên của diện tích:
$$[\sigma] = \frac{[F]}{[S]} = \frac{\mathrm{MLT}^{-2}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2}.$$

Vì vậy, xét đến (12),
$$\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2} = (\mathrm{MLT}^{-2})^{n_1}\ \mathrm{L}^{s_1}\ (\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2})^{t_1},$$
Ở đâu
$$\left\{ \begin{array}{l} 1 = n_1 + t_1, \\ -1 = n_1 + s_1 - t_1, \\ -2 = -2n_1 - 2t_1. \end{array} \right.$$

Sau khi thực hiện các phép tính thích hợp, chúng tôi nhận được
$$\sigma = A_4 F^{n_1} R^{-2n_1}\ E^{1-n_1},$$
hoặc
$$\frac{\sigma}{E} = A_4 \left(\frac{F}{ER^2}\right)^{n_1}. \qquad (13)$$

Chúng ta hãy lưu ý một lần nữa rằng phương pháp thứ nguyên được sử dụng rộng rãi trong những bài toán trong đó, do số lượng biến lớn và độ phức tạp của các phương trình mô tả hiện tượng, nên không thể phân tích lời giải. Trong trường hợp này, một thử nghiệm được thực hiện để tìm ra các phụ thuộc cần thiết. Các kết quả thử nghiệm được xử lý bằng cách sử dụng kết hợp các tham số không thứ nguyên bài toán, có thể được phân biệt bằng phương pháp thứ nguyên. Do đó, trong các vấn đề được xem xét trong bài viết này, phương pháp thứ nguyên cho phép chúng ta khẳng định rằng biến dạng và ứng suất tương đối được xác định không phải bởi các giá trị số riêng lẻ của các tham số $v$, $\rho$, $E$, $R$ hoặc $F$, $E$, $R$, mà bởi giá trị số của sự kết hợp không thứ nguyên của các tham số $\dfrac{\rho v^2}{E}$ và $\dfrac{F}{ER^2}$.

Bài tập

1. Chứng tỏ rằng ứng suất sinh ra trong các quả bóng chuyển động hướng về nhau với tốc độ $v$ tại thời điểm va chạm được xác định bởi biểu thức
   $$\frac{\sigma}{E} = A \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^n.$$

2. Chứng tỏ rằng khi hai quả bóng có bán kính $R_1$ và $R_2$ va chạm nhau thì ứng suất tại điểm tiếp xúc được mô tả bằng công thức
   $$\frac{\sigma}{E} = A \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^n \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^r.$$

21