Bài toán M301—M305; F313—F317

Bài toán lượng tử

Phần này, đã được xuất bản từ số này sang số khác kể từ khi thành lập tạp chí, chứa đựng nhiều thông tin đa dạng. bài toán - cả những vấn đề tương đối đơn giản và những vấn đề không dễ giải quyết ngay cả đối với các chuyên gia. Khó khăn nhất bài toán sẽ được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Nếu như bài toán Nếu bạn quan tâm đến nó nhưng không thể giải quyết ngay, đừng bỏ cuộc, hãy cố gắng quay lại nó sau một ngày, một tuần. Xa hơn sau bài toán đã giải quyết - nếu nó thực sự thú vị bài toán, - bạn có thể tiếp tục làm việc đó: hãy nghĩ xem liệu có cách nào đơn giản và đẹp hơn không lời giải, được trình bày một cách hợp lý và thuyết phục nhất lời giải (đôi khi điều này không dễ thực hiện chút nào), hãy thử khái quát hóa bài toán, làm rõ hoặc làm rõ kết quả của nó.

Ban biên tập đăng danh sách độc giả gán đúng lời giải bài toán. Học sinh thường xuyên đạt được lời giải thú vị và đầy đủ trong suốt năm sẽ có quyền tham gia vào lĩnh vực du lịch của All-Optimids về toán học và vật lý cùng với những người chiến thắng trong các cuộc thi lạc quan của khu vực và thành phố. Ngoài ra, đối với những người chiến thắng trong cuộc thi giành được lời giải bài toán từ “Bài toán Kvant, các biên tập viên sẽ thiết lập các phần thưởng đặc biệt.

Tất nhiên, không phải tất cả bài toán trong Sách Vấn đề đều được xuất bản lần đầu tiên, mặc dù chúng tôi cố gắng chọn ra bài toán nguyên bản nhất. Rõ ràng sau khi hình thành, chúng tôi chỉ ra ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán. Xin lỗi, nghĩ ra một bài toán mới thậm chí còn khó hơn việc giải quyết vấn đề của người khác. Nếu thành công, vui lòng gửi cho chúng tôi bài toán cùng với giải pháp. Viết cách bạn nghĩ ra bài toán, liệu bạn có gặp phải bài toán tương tự hay không, kết quả mới của bạn có liên quan đến những định lý toán học nào. Chúng tôi sẽ xuất bản bài toán đẹp nhất trong “Sách Vấn đề” hoặc trong các phần khác của tạp chí. Rõ ràng là chúng tôi xuất bản lời giải bài toán có tính đến những độc giả có lợi qua thư trong 6-8 tháng.

Địa chỉ của chúng tôi: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, tòa soạn tạp chí «Kvant».
Trên phong bì sau địa chỉ, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi (ví dụ: “Sổ vấn đề M301, M305” hoặc “… F311”). Lời giải bài toán cho mỗi môn học (nếu bạn gửi bài toán cho cả toán và vật lý) vui lòng gửi trong phong bì riêng. Dòng chữ của bài toán mới phải được gửi thành hai bản (trên phong bì ghi: “Mới bài toán trong toán học” hoặc “… trong vật lý”).

Chúng tôi nhận được rất nhiều thư và cố gắng trả lời tất cả các phóng viên của chúng tôi. Vui lòng điền lời giải cẩn thận để tạo điều kiện thuận lợi cho công việc của các biên tập viên và cố vấn của bộ phận “Bài toán Kvant”. Ở đầu thư, bạn phải viết họ, tên, họ hàng, địa chỉ nhà cũng như lớp, trường nơi bạn là giáo viên. Vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó {cho đáp số sau khi kiểm tra lời giải}. Chúng tôi chỉ có thể xem xét các bức thư của độc giả nếu chúng được viết bằng tiếng Nga và được viết không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi số báo tương ứng được xuất bản. Ví dụ: vui lòng gửi thư kèm theo quyết định bài toán về vấn đề này không muộn hơn ngày 1 tháng 3 năm 1975.

41

Bài toán

M301—M305; F313—F317

M301. Có $2n$ điểm trên mặt phẳng - $n$ xanh và $n$ đỏ và không có ba điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng. Chứng minh rằng có thể vẽ các đoạn $n$ sao cho mỗi đoạn có một đầu ở điểm đỏ, đầu kia ở điểm xanh và không có hai đoạn thẳng nào có điểm chung.

VỚI. Okhitin, học sinh lớp 10 (Orenburg)

Hình 1.

M302. Gọi $O$ là giao điểm của các đường chéo hình thang $ABCD$ ($[AB] \parallel [CD]$), $A'$ và $B'$ - các điểm đối xứng với các điểm $A$ và $B$ tương đối

Hình 2.

chính xác là các phân giác của góc $AOB$. Chứng minh rằng $A\hat{C}A' = B\hat{D}B'$.

MỘT. Buyanovsky, học sinh lớp 10 (Gomel)

M303. Hình chữ nhật $300 \times 1000$ được cắt thành hình vuông $1 \times 1$ và các trọng số giống hệt nhau được đặt ở khoảng 30 đỉnh của hình vuông. Chứng minh rằng có thể chọn hai nhóm trọng lượng rời nhau - mỗi nhóm không quá 10 - sao cho trọng tâm của chúng trùng nhau.

MỘT. V. Sherstyuk

M304. Chúng ta sẽ biểu thị bằng một vòng tròn một số phép toán (chưa biết) có thể áp dụng cho hai số nguyên không âm bất kỳ $a$ và $b$ và kết quả là cũng cho ra một số nguyên không âm $a \circ b = c$. Cho phép toán “$\circ$” thỏa mãn các điều kiện sau:

1. $a \circ b = b \circ a$;

2. nếu $a \circ b = c$, thì $b \circ c = a$;

3. nếu $a \circ b > c$ thì $b \circ c < a$ hoặc $a \circ c < b$.

a) Tìm $0 \circ 0$; $0 \circ 1$; $1 \circ 1$; $0 \circ 2$.

b) Chứng minh rằng $0 \circ a = a$ và

$$1 \circ a = \begin{cases} a+1, \text{ если } a \text{ четно},\\ a-1, \text{ если } a \text{ нечетно}.\end{cases}$$

c) * Chứng minh rằng có nhiều nhất một phép toán thỏa mãn điều kiện bài toán.

d) * Chứng minh rằng một phép toán như vậy tồn tại và chỉ ra quy tắc cho phép bạn tính $a \circ b$ cho $a$ và $b$.

MỘT. A. Grigoryan

M305 *. a) Trên các hợp âm $AB$ và $A'B'$ các vòng tròn được chọn tại các điểm $C$ và $C'$ sao cho ba đường thẳng $AA'$, $BB'$ và $CC'$ cắt nhau tại một điểm $P$. Chúng tôi xin giới thiệu các ký hiệu sau: $|AP| \cdot |A'P| = t$, $|AC| \cdot |CB| = s$, $|A'C'| \cdot |C'B'| = s'$, $|CP| = q$, $|C'P| = q'$. Chứng minh rằng (tại $q \neq 0$)

$$\sqrt{\frac{s'}{s}} = \frac{q'}{q} = \frac{s' + (q')^2}{t} = \frac{t}{s + q^2}.$$

b) Qua điểm $P$ không thuộc hình cầu đã cho và mỗi điểm

42

vẽ một đường thẳng tới đường tròn thứ hai σ nằm trên quả cầu này. Chứng minh rằng giao điểm thứ hai của đường thẳng vẽ với hình cầu cũng nằm trên đường tròn $\sigma'$ nào đó.

Nhận xét. Có thể lấy được một trong lời giải bài toán b) bằng cách sử dụng a), vì vậy chúng tôi đã kết hợp chúng dưới một số. Tuy nhiên, hãy nghĩ cách giải bài toán b) theo cách khác.

MỘT. I. Shirshov

F313. Chiết suất của bầu khí quyển hành tinh $X$ giảm theo độ cao $h$ so với bề mặt của nó theo định luật $n = n_0 - \alpha h$. Bán kính của hành tinh là $R$. Tìm ở độ cao nào $h_0$ phía trên bề mặt hành tinh có một kênh quang mà qua đó các tia sáng sẽ đi vòng quanh hành tinh, giữ nguyên ở độ cao không đổi.

N. N. Sedov

F314. Một quả bóng bắt đầu trượt dọc theo một ống khuỷu nhẵn và hoàn toàn không đàn hồi chứa một số lượng khuỷu tay rất lớn (Hình 3). Tìm tốc độ ổn định của quả bóng chuyển động dọc theo mặt cắt ngang của ống. Liệu nó có phụ thuộc vào tốc độ ban đầu? Sự chênh lệch độ cao của các mặt cắt ngang liền kề $h$. Các vùng dốc tạo thành một góc $\alpha$ với đường chân trời.

Hình 3.

F315. Một dây xoắn ốc nối với mạng lưới chiếu sáng thành phố được làm nóng bằng dòng điện. Một nửa hình xoắn ốc bắt đầu được làm mát (ví dụ bằng nước). Làm sao

điều này có ảnh hưởng đến lượng nhiệt sinh ra bởi nửa cuộn dây này không? Nửa còn lại? Toàn bộ hình xoắn ốc? Điện áp nguồn được coi là không đổi.

TRONG. D. Gorbunova

F316. Nếu một khối đa diện lồi “hình ngôi sao”, đúc từ nhựa dẻo, bị ném thẳng đứng xuống dưới một lực, nó sẽ bật ra khỏi sàn giống như một quả bóng cao su đàn hồi, thực tế không bị nhàu. Đồng thời, nhựa dễ bị nhăn bằng tay. Tại sao?

F317. Trong không khí, trong điều kiện bình thường, một phân tử va chạm với các phân tử khác và đường đi giữa các va chạm (đường đi tự do trung bình) trung bình bằng $\lambda = 10^{-5}\ \textit{см}$. Hãy ước tính kích thước của một phân tử không khí.

VỚI. M. Kozel