Задачи М301—М305; Ф313—Ф317

Задачи кванта

В этом разделе, который ведется из номера в номера с момента основания журнала, предназначется разнообразные задачи — и относительно простые, и такие, которые нелегко решить даже специализуру. Наболее трудные задачи отечеются звездочкой. Если задача вас заинтересовала, но сразу решить ее не удается, — не опускайте руки, попробуйте вернуть к ней снова через день, через неделю. Далее после того как задача решена — если это действительно интересная задача, — работу над ней можно продолжить: подумать, нет ли более простого и красивого решения, поставляется наболее рационально и убедительно записать решение (иногда это совсем не просто сделать), попробовать обобщить задачу, уточнить или услить ее результат.

Редакция помещает списки читателей, присваивающих правильные решения задачи. Школьники, которые в течение года регулярно присваивают интересные и полные решения, получают право участвовать в области туризма Всегоозной оптимиды по математике и физике наряду с победителями районных и городских оптимидам. Кроме того, для победителей конкурса по решению задачи из «Задачника «Кванта» редакция устанавливает специальные премии.

Разумеется, не все задачи в «Задачнике» публикуются впервые, хотя мы и стремимся выбирать наболее оригинальные задачи. Obviously после формирования мы указываем, кто предложил нам задачу. Придумать новую задачу, пожалей, даже труднее, чем решить чужую. Если это удостся, пришлите нам задачу вместе с решением. Напишите, как возникла у вас задача, встречали ли вы похожие задачи, с какими являются или математические теоремимы связан ваш новый результат. наболее красивые задачи мы опубликуем в «Задачнике» или в других разделах журнала. Obviously мы публикуем решения задач с учетом приспользовных читателей письем через 6—8 месяцев.

Наш адрес: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, редакция журнала «Кванта».
На конверте после адреса написите, решения каких задачи вы посылаете (например, «Задачник M301, M305» или «… Ф311»). Решения задачи по каждому предмету (если вы посылаете задачи и по математике, и по физике) присылите в отдельных конвертах. Формулировки новых задачи нужно присылать в двух экземплярах (на конверте помещьте: «Новая задача по математике» или «…по физике»).

Мы получаем очень много письем и страемся ответать всем нашим корреспондентам. Происм оформлять решения аккуратно, чтобы облегчить работу редакции и консультантов отдела «Задачник «Кванта». В начале письма обязаτεно написать свою фамилию, имя, отчество, домашний адрес, а также класс и школа, в которой вы учитель. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом {для ответа после проверки решения}. Письма от читателей мы сможем учитывать только в том случае, если они будут написаны на русском языке и писаны не позднее, чем через полтора месяца после выхода из печати соответствующего номера. Например, письма с решениями задачи из этого номера просим присылать не позднее 1 марта 1975 года.

41

Задачи

М301—М305; Ф313—Ф317

М301. На плоскости заданы $2n$ точек — $n$ синих и $n$ красных, причем никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести $n$ отрезков так, что у каждого отрезка один конец лежит в красной точке, другой — в синей точке, и никакие два отрезка не имеют общих точек.

С. Охитин, ученик 10 класса (Оренбург)

Рис. 1.

М302. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$ ($[AB] \parallel [CD]$), $A'$ и $B'$ — точки, симметричные точкам $A$ и $B$ относи-

Рис. 2.

тельно биссектрисы угла $AOB$. Докажите, что $A\hat{C}A' = B\hat{D}B'$.

А. Буяновский, ученик 10 класса (Гомель)

М303. Прямоугольник $300 \times 1000$ разрезан на квадраты $1 \times 1$, и в некоторых 30 вершинах квадратов помещены одинаковые гирьки. Докажите, что можно выбрать две непересекающиеся группы гирек — не более чем по 10 в каждой — так, что их центры тяжести совпадут.

А. В. Шерстюк

М304. Будем обозначать кружочком некоторую (неизвестную пока) операцию, применимую к любым двум целым неотрицательным числам $a$ и $b$ и дающую в результате тоже целое неотрицательное число $a \circ b = c$. Пусть операция «$\circ$» удовлетворяет следующим условиям:

1. $a \circ b = b \circ a$;

2. если $a \circ b = c$, то $b \circ c = a$;

3. если $a \circ b > c$, то $b \circ c < a$ или $a \circ c < b$.

а) Найдите $0 \circ 0$; $0 \circ 1$; $1 \circ 1$; $0 \circ 2$.

б) Докажите, что $0 \circ a = a$ и

$$1 \circ a = \begin{cases} a+1, \text{ если } a \text{ четно},\\ a-1, \text{ если } a \text{ нечетно}.\end{cases}$$

в) * Докажите, что существует не более чем одна операция, удовлетворяющая условиям задачи.

г) * Докажите, что такая операция существует, и укажите правило, позволяющее по заданным $a$ и $b$ вычислять $a \circ b$.

А. А. Григорян

М305 *. а) На хордах $AB$ и $A'B'$ окружности выбрано по точке $C$ и $C'$ так, что три прямые $AA'$, $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке $P$. Введем обозначения: $|AP| \cdot |A'P| = t$, $|AC| \cdot |CB| = s$, $|A'C'| \cdot |C'B'| = s'$, $|CP| = q$, $|C'P| = q'$. Докажите, что (при $q \neq 0$)

$$\sqrt{\frac{s'}{s}} = \frac{q'}{q} = \frac{s' + (q')^2}{t} = \frac{t}{s + q^2}.$$

б) Через точку $P$, не лежащую на данной сфере, и каждую точку неко-

42

торой окружности σ, лежащей на этой сфере, проведена прямая. Докажите, что вторые точки пересечения проведенных прямых со сферой также лежат на некоторой окружности $\sigma'$.

З а м е ч а н и е. Одно из решений задачи б) можно получить, используя а), поэтому мы и объединили их под одним номером. Подумайте однако, как решить задачу б) другим способом.

А. И. Ширшов

Ф313. Коэффициент преломления атмосферы планеты $X$ уменьшается с высотой $h$ над ее поверхностью по закону $n = n_0 - \alpha h$. Радиус планеты $R$. Найти, на какой высоте $h_0$ над поверхностью планеты находится оптический канал, по которому световые лучи будут обходить планету, оставаясь на постоянной высоте.

Н. Н. Седов

Ф314. По гладкой и абсолютно неупругой коленчатой трубке, содержащей очень большое число колен, начинает скользить шарик (рис. 3). Найти установившуюся скорость движения шарика по горизонтальным участкам трубки. Зависит ли она от начальной скорости? Разность высот соседних горизонтальных участков $h$. Наклонные участки образуют с горизонтом угол $\alpha$.

Рис. 3.

Ф315. Проволочная спираль, присоединенная к городской осветительной сети, нагревается электрическим током. Половину спирали начинают охлаждать (например, водой). Как

это отразится на количестве тепла, выделяемого этой половиной спирали? Другой половиной? Всей спиралью? Напряжение сети считать неизменным.

В. Д. Горбунова

Ф316. Если выпуклый «звездчатый» многогранник, вылепленный из пластилина, с силой бросать вертикально вниз, то он будет отскакивать от пола как упругий резиновый мячик, практически не сминаясь. В то же время пластилин легко мнется руками. Почему?

Ф317. В воздухе при нормальных условиях молекула сталкивается с другими молекулами, причем путь между столкновениями (длина свободного пробега) равен в среднем $\lambda = 10^{-5}\ \textit{см}$. Оцените размер молекулы воздуха.

С. М. Козел