Размерность физических величин и подобие явлений

Квант 1975, №1 с. 9-17 Тег HXOE

Размерность физических величин и подобие явлений

А. С. Компанеец

Смысл размерности физических величин

Все знают, что числа бывают именованные и отвлеченные. Именованные числа зависят от выбранных единиц измерения, неименованные не зависят. Если, например, в одном участке земли 100 квадратных метров ( $м^2$ ), а в другом — 200 $м^2$ , то 100 и 200 — именованные числа, а их отношение $^1/_2$ — число отвлеченное. Оно не изменится, если перейти от метрической системы мер к любой иной, измеряя площадь в квадратных аршинах или квадратных футах *). Так же точно отношение двух денежных сумм не зависит от того, в какой валюте эти суммы выражены. Важно только, чтобы обе суммы выражались в одинаковой валюте.

Можно делить друг на друга именованные числа, выражающие и совсем разные понятия, например рубли на квадратные метры. Участок земли в 100 $м^2$ , который стоит 100 рублей, продается по цене 1 рубль за 1 $м^2$ . Но числовое выражение результата зависит от того, в какой валюте выражена сумма и в каких единицах измерялась площадь. Иначе говоря, в результате такого деления получается опять именованная величина. Другим примером может служить ско-

*) 1 аршин $= 71{,}1$ см; 1 фут $= 30{,}5$ см.

рость — столько-то единиц длины за единицу времени. Иногда единица измерения скорости получает специальное наименование: одна морская миля (или $1852$ м) в час — один узел.

Всякое уравнение в физике выражает соотношение, объективно существующее в природе, независимо от воли того, кто это уравнение пишет. И, конечно, обе части уравнения должны выражаться величинами, измеряемыми в одних и тех же единицах.

Единицы измерения каждой физической величины выражаются через основные единицы измерения, выбор которых в значительной степени условен. Формула, выражающая единицу измерения данной величины через основные единицы измерения, называется размерностью этой величины. Обе части каждого физического уравнения должны иметь одинаковую размерность.

Сколько основных единиц измерения необходимо выбрать? Механическое движение описывается в терминах расстояния, то есть длины, и времени. Эталоны этих двух величин необходимы во всяком случае. Но двух эталонов недостаточно. Действительно, если, например, взаимодействуют два тела одинаковой формы и размеров, то их ускорения могут быть существенно различными. Ускорение каждого из них, согласно второму закону Ньютона, зависит от его массы. Следовательно, необходим по крайней мере еще один эталон — массы. В настоящее время не известны какие-либо физические закономерности в механике, для описания которых нужны были бы новые основные эталоны, кроме длины, времени и массы. Для единиц измерения этих основных величин введены соответствующие символы $\mathrm{L}$ , $\mathrm{T}$ и $\mathrm{M}$ . Для обозначения размерности какой-нибудь величины $A$ пользуются символом $[A]$ . Таким образом, размерность длины обозначается $[l] = \mathrm{L}$ , размерность времени — $[t] = \mathrm{T}$ , а раз-

мерность массы — $[m] = \mathrm{M}$ . Длину, время и массу называют основными величинами, а все остальные физические величины — производными.

Заметим, что о размерности есть смысл говорить только по отношению к определенной системе единиц. Формулы размерности одной и той же физической величины в разных системах единиц могут быть различными. В данной статье мы в основном будем пользоваться системой СГС. В этой системе единиц все формулы размерности имеют вид степенных функций типа

$[f] = \mathrm{L}^{\alpha}\,\mathrm{M}^{\beta}\,\mathrm{T}^{\gamma}.$

Такой вид формул обусловлен следующими физическими соображениями. Очевидно, что отношение двух численных значений какой-либо производной величины не должно зависеть от выбора единиц измерения основных величин. Например, будем ли мы измерять время в секундах или минутах, отношение двух промежутков времени, измеренных в секундах, будет таким же, как и отношение этих промежутков, измеренных в минутах. А это требование выполняется всегда при условии, что формула размерности имеет вид степенного одночлена.

Рассмотрим теперь размерности некоторых производных физических величин. Начнем с кинематической величины — ускорения $a$ . По определению это — изменение скорости за единицу времени. Следовательно, размерность ускорения есть размерность скорости, деленной на время, то есть

$\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}} : \mathrm{T}$ , или

$[a] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}^2}.$

По второму закону Ньютона сила $F$ равна массе, умноженной на ускорение. Отсюда можно получить размерность силы:

$[F] = [m]\,[a] = \left[\frac{ml}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}.$

Эвристическое значение размерности

Итак, физическое равенство может иметь смысл только между величинами одной и той же размерности. Если, скажем, при решении задачи проверка показала, что размерности обеих сторон полученного равенства не совпадают, значит, в решении допущена ошибка.

Цель этой статьи — показать, что понятие размерности помогает не только находить ошибки, но и получать новые результаты.

Даже тот, кто забыл самый закон Архимеда, конечно, помнит предание о том, что Архимед при открытии этого закона воскликнул «эврика», что в переводе с греческого на русский язык означает «нашел». Отсюда прилагательное «эвристический», что по-русски значит «помогающий находить», или «наводящий», «указывающий истину». Именно об этом значении теории размерности пойдет речь в этой статье.

Рассмотрим связь между законом тяготения Ньютона и третьим законом Кеплера. Заранее формулировать закон Кеплера пока нет надобности: он сам получится из дальнейших рассуждений. Чтобы не писать одни формулы, дадим волю воображению и попробуем сочинить научно-фантастический рассказ.

Итак, пусть в семье космонавтов, летящих к далекой звезде, в пути родился ребенок. Когда он подрос, отец захотел помочь ему получить наглядное представление о родной Земле и ее спутнице Луне. Для этого было решено запустить искусственный спутник космического корабля. Нельзя ли сделать это таким образом, чтобы спутник обращался вокруг космического корабля за то же время, за которое Луна обращается вокруг Земли? Каковы должны быть при этом другие параметры, описывающие движение такого спутника?

Еще Галилей установил, что в пустоте все тела свободно падают с одинаковыми ускорениями. Этот закон

справедлив, если масса притягиваемого тела во много раз меньше массы тела притягивающего. Пусть масса космического корабля, предназначенного для дальнейшего путешествия, около 100 т. Тогда закон Галилея может быть применен, например, к детскому мячику, взятому в качестве спутника этого корабля. Обычно масса $m$ такого мячика не больше 1 кг, что, действительно, гораздо меньше, чем масса корабля.

Закон всемирного тяготения в элементарной форме $\left(F = \gamma\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\right)$ применим к материальным точкам, то есть к таким телам, размеры которых гораздо меньше расстояния между ними. Предположим, что расстояние от космического корабля до мячика гораздо больше корабля в любом его измерении (дальше это будет подтверждено расчетом). Орбита Луны приближенно круговая, следовательно, надо, чтобы и орбита мячика была круговой — иначе не будет желаемого подобия. Такая орбита характеризуется радиусом $r$ и периодом обращения $\tau$ . Покажем, как найти период обращения из учения о размерностях физических величин.

Так как сила тяготения $F$ для заданных материальных точек зависит только от расстояния между ними, а на круговой орбите расстояние не изменяется, сила тоже постоянна по величине. Именно эта сила и может сообщить спутнику необходимое центростремительное ускорение. Но вместо того, чтобы написать соответствующее уравнение движения и из него найти период обращения, воспользуемся только размерностями. Нам заданы следующие постоянные величины: сила $F$ размерности $\dfrac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}$ , радиус орбиты $r$ размерности $\mathrm{L}$ и масса $m$ движущегося тела размерности $\mathrm{M}$ . Надо найти период обращения $\tau$ размерности $\mathrm{T}$ .

Будем искать выражение для времени обращения в виде

$\tau = A F^x r^y m^z,$

где $x$ , $y$ и $z$ — неизвестные показатели степени, $A$ — некоторое отвлеченное число. Перепишем уравнение для $\tau$ как равенство размерностей:

$[\tau] = |F|^{x}\,[r]^{y}\,[m]^{z} = \left(\frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^{2}}\right)^{x}\ \mathrm{L}^{y}\ \mathrm{M}^{z}.$

Запишем левую часть в виде $\mathrm{M}^{0}\mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{1}$ , а правую часть — $\mathrm{M}^{x+z}\mathrm{L}^{x+y}\ \mathrm{T}^{-2x}$ и сравним показатели степени при $\mathrm{M}$ , $\mathrm{L}$ и $\mathrm{T}$ . Получим три уравнения с тремя неизвестными:

$\begin{array}{c} x + z = 0,\\ x + y = 0,\\ -2x = 1. \end{array}$

Отсюда $x = -\dfrac{1}{2}$ , $y = \dfrac{1}{2}$ , $z = \dfrac{1}{2}$ .

Следовательно, искомое выражение для $\tau$ должно иметь вид

$\tau = Am^{1/2}r^{1/2}F^{-1/2} = A\left(\frac{mr}{F}\right)^{1/2}. \qquad (1)$

Если космонавты хотят, чтобы период обращения мячика был равен периоду обращения Луны вокруг Земли, они должны подобрать соответствующие величины так, чтобы отношение $\frac{mr}{F}$ было таким же, как для Луны. Как же это сделать?

Выпишем выражение для силы притяжения $F$ :

$F = \gamma\,\frac{mM}{r^{2}}. \qquad (2)$

Здесь две новые величины: масса притягивающего тела $M$ и универсальная постоянная тяготения $\gamma$ . Подставим выражение для силы $F$ в равенство (1) и запишем это равенство два раза:

для системы Земля — Луна

$\tau_{1} = A\left(mr_{1}\ \frac{r_{1}^{2}}{mm_{1}\gamma}\right)^{1/2} = A\left(\frac{r_{1}^{3}}{m_{1}\gamma}\right)^{1/2} \qquad (3)$

( $m$ — масса Луны, $m_{1}$ — масса Земли, $r_{1}$ — расстояние от Луны до Земли);

для системы корабль — мячик

$\tau_{2} = A\left(\frac{r_{2}^{3}}{m_{2}\gamma}\right)^{1/2} \qquad (4)$

( $m_{2}$ — масса корабля, $r_{2}$ — расстояние от мячика до корабля).

Тогда отношение периодов обращения

$\frac{\tau_{1}}{\tau_{2}} = \left(\frac{m_{2}}{m_{1}}\ \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}\right)^{1/2}. \qquad (5)$

Масса Земли $m_{1} = 6\cdot10^{27}$ г, масса корабля $m_{2} = 100\ m = 10^{8}$ г, радиус лунной орбиты $r_{1} = 3{,}84\cdot10^{10}$ см. Космонавты хотят, чтобы $\tau_{1} = \tau_{2}$ . Для этого надо взять $r_{2} \approx 10^{4}\ см = 100\ м$ . Легко проверить, что при этих условиях мячик будет обходить корабль за столько же времени, за сколько Луна обходит Землю, то есть за 29 суток.

Перепишем равенство (5) так:

$\frac{\tau_{1}^{2}}{\tau_{2}^{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}\ \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}. \qquad (6)$

Если два разных тела обращаются вокруг общего центра (то есть $m_{1} = m_{2}$ ), как, например, планеты солнечной системы, то равенство (6) и выражает третий закон Кеплера *): квадраты времен обращения планет относятся как кубы их средних расстояний до Солнца. Слово «средних» можно было бы и опустить, потому что эллипсы планетных орбит вытянуты мало и близки к окружностям.

Напомним, что Кеплер жил до Ньютона. Фактически закон тяготения был получен из законов Кеплера, а не наоборот, как это было сделано в нашем «научно-фантастическом» примере и как это делается теперь в учебниках физики и астрономии. Покажем, что для вывода закона тяготения из законов Кеплера достаточно воспользоваться учением о размерностях. Тем самым еще раз подчеркнем эвристическую, то есть наводящую силу размерностей.

*) Приведем формулировки и первых двух законов Кеплера.

I. Планеты описывают эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце.

II. Радиус-вектор, соединяющий Солнце с планетой, ометает в равные промежутки времени равные площади.

Заметим, что III закон в более общем виде формулируется так: квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей орбит.

Предположим, что сила притяжения планет к Солнцу имеет вид

$F = Bmr^n. \qquad (7)$

Здесь $B$ — величина, одинаковая для всех планет, $m$ — масса планеты, $r$ — расстояние от планеты до Солнца. Как можно догадаться, что сила $F$ зависит от массы $m$ именно линейно? Это видно из закона Галилея: ускорения всех тел под действием сил тяжести на одном и том же расстоянии от притягивающего тела одинаковы. Но ускорение равно силе, деленной на массу тела, так что ускорение при свободном падении тел может быть одним и тем же только в том случае, когда сила пропорциональна массе. Показатель степени $n$ в законе тяготения будем считать пока неизвестным, его-то нам и предстоит определить из закона Кеплера. Ведь мы как бы стали на место Ньютона и хотим прийти к закону тяготения, зная общий закон движения (то есть второй закон Ньютона) и результаты ранее живших Кеплера и Галилея.

Рассуждая так же, как при выводе формулы (5), используя предположение (7), получим

$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{\frac{1-n}{2}} \qquad (8)$

Чтобы это равенство совпало с законом Кеплера, надо положить $n = -2$ , а это приводит выражение (7) к закону Ньютона, по которому сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами.

Можно еще спросить, почему закон притяжения был заранее выбран в степенной форме (7)? Дело в том, что только отношение степенных функций дает степенную же функцию отношения. Равенство

$\frac{f\,(r_1)}{f\,(r_2)} = f\left(\frac{r_1}{r_2}\right)$

выполняется, только если $f\,(r) = r^n$ . А именно степенная функция отношения входит в третий закон Кеплера:

$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2}.$

Так с необходимостью из законов Кеплера и Галилея получается ньютоновский закон тяготения.

Размерности универсальных постоянных

В закон тяготения входит универсальная постоянная $\gamma$ , которая одна и та же для всех тел. Физика знает и другие универсальные постоянные. Например, скорость света в вакууме $c$ , постоянная Планка $h$ , элементарный электрический заряд $e$ и т. д.

Определим, в каких единицах измеряются $h$ и $e$ , найдем размерности этих величин.

Для электромагнитной волны частоты $\nu$ справедливо равенство

$E = h\nu, \qquad (9)$

где $E$ — энергия, переносимая волной. Величина $h\nu$ называется квантом энергии. Так как частота — это число колебаний в единицу времени, $\nu$ имеет размерность обратного времени:

$[\nu] = \left[\frac{1}{t}\right] = \frac{1}{\mathrm{T}}\,.$

Универсальный коэффициент пропорциональности между энергией и частотой и есть постоянная Планка $h$ . Размерность $h$ , таким образом, это размерность энергии, умноженной на время

$[h] = [Et].$

Размерность энергии можно определить двумя способами. Либо это размерность работы — то есть силы, умноженной на путь, —

$[E] = [Fl] = \left[\frac{ml^2}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{\mathrm{T}^2}\,,$

либо размерность кинетической энергии $\dfrac{mv^2}{2}$ —

$[E] = [mv^2] = \left[\frac{ml^2}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{\mathrm{T}^2}\,.$

В обоих случаях размерность должна быть одной и той же. Отсюда

$[h] = \left[\frac{ml^2}{t}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{t}\,.$

Теперь с помощью закона Кулона найдем размерность электрического заряда $e$ (в системе единиц СГСЭ). Положим, что два единичных заряда в вакууме на единичном расстоянии отталкивают друг друга с силой, равной единице. Так как единицы длины и силы определены в механике, то можно найти единицу заряда через M, L и T. По закону Кулона

$F_\text{э} = \frac{e^2}{r^2},$

где $F_\text{э}$ — электростатическая сила. Ее размерность, как и размерность всякой силы, есть $\dfrac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}$ . Следовательно, размерность квадрата заряда равна

$[e^2] = \frac{\mathrm{ML}^3}{\mathrm{T}^2},$

а размерность заряда есть

$[e] = \frac{\mathrm{M}^{\frac{1}{2}}\,\mathrm{L}^{\frac{3}{2}}}{\mathrm{T}}. \qquad (10)$

Природные единицы измерения

Все наши предыдущие рассуждения о размерностях основывались на произвольном выборе основных единиц измерения — сантиметра, грамма, секунды. Для этих единиц (или для кратных им единиц) были созданы соответствующие эталоны длины, массы и времени.

Известно, что хранение и сверка эталонов метрической системы мер представляют большие трудности. Знаменитый парижский эталон метра, изготовленный из сплава платины с иридием, несколько изменил свою длину и продолжает ее изменять вследствие процессов рекристаллизации. Земля вращается вокруг оси не строго равномерно, так что и эталон времени имеет погрешность. Масса одного кубического дециметра воды при $4^\circ$ C (таким был первоначальный эталон массы в 1 кг) зависит от источника воды: в обычной воде H $_2$ O в виде примеси содержится некоторое коли-

чество тяжелой воды, в которой один из атомов водорода замещен дейтерием. Вот почему ученым приходится искать более надежные эталоны.

К счастью, такие более надежные эталоны есть, их хранит сама природа без усилий с нашей стороны. Такие эталоны уже частично перечислены: это скорость света $c$ , элементарный заряд $e$ и другие универсальные постоянные величины. Иначе говоря, вместо эталонов длины, времени и массы можно выбрать эталоны других величин, изготовленные не искусственно, а содержащиеся прямо в законах физики. Количество основных величин, а значит, и основных единиц измерения, вообще говоря, можно выбирать произвольно. Но оказывается, что наиболее удобно выбирать три основные величины. Какие же тройки величин подходят для этой цели, а какие не дают полного описания размерностей?

Для примера покажем, что если в качестве эталонов выбраны $e$ и $h$ , то нельзя третьим эталоном выбрать $c$ . Составим отношение $\dfrac{e^2}{h}$ и найдем его размерность (например, в системе СГС):

$\left[\frac{e^2}{h}\right] = \left[\frac{ml^3}{t^2}\,\frac{t}{ml^2}\right] = \left[\frac{l}{t}\right] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}}.$

Это размерность скорости, значит, величина $\dfrac{e^2}{h}$ вполне может служить эталоном скорости, так что скорость света $c$ в качестве эталона уже не нужна.

Какой же выбрать третий эталон?

Если нас интересует поведение электронов в атомах, то оказывается, что для его описания разумно в качестве третьей основной величины взять массу электрона $m$ . Добавим еще, что в уравнения для электронов фактически входит не сама величина $h$ , а $h$ , деленное на $2\pi$ . Это частное принято обозначать $\hbar$ .

Тогда в качестве трех независимых эталонов удобно выбрать следую-

щие величины: $e$ , $\hbar$ и $m$ . Размерность ни одной из них нельзя выразить через комбинацию размерностей двух других, в чем легко убедиться путем немногих попыток.

Если мы захотим в выбранной нами системе единиц найти радиус орбиты электрона — величину, имеющую размерность длины, то, используя метод размерностей, получим выражение

$r = \frac{\hbar^2}{me^2}, \qquad (11)$

то есть размерность длины в нашей системе

$[r] = \frac{[\hbar^2]}{[m]\,[e^2]}\;.$

Легко проверить, подставив размерности для $\hbar$ , $m$ и $e$ , например, в системе СГС (именно этой системой единиц чаще всего пользуются физики), что величина $\frac{\hbar^2}{me^2}$ , действительно, имеет размерность длины:

$\left[\frac{\hbar^2}{me^2}\right] = \left[\frac{m^2l^4}{t^2}\;\frac{1}{m}\;\frac{t^2}{ml^3}\right] = [l] = \mathrm{L}.$

Аналогично из величин $\hbar$ , $m$ и $e$ можно единственным образом получить величину с размерностью энергии:

$E = \frac{me^4}{\hbar^2}, \qquad (12)$

то есть

$[E] = \left[\frac{me^4}{\hbar^2}\right].$

Предоставим читателю убедиться по способу, которым была получена формула (7), что других величин с такими размерностями из $e$ , $\hbar$ и $m$ построить нельзя.

Формулы (11) и (12) содержат в себе результаты фундаментальной важности; они позволяют оценить, по крайней мере по порядку, величины, характеризующие атом: его размеры, энергию, необходимую для удаления из него электрона. Точные значения этих величин получаются при строгом решении соответствующих уравнений. Но как бы строго ни решалось

уравнение, ответ должен иметь всегда одну и ту же размерность, а она однозначно определяется формулами (11) и (12). Остается, конечно, вопрос о численных коэффициентах при размерных величинах. Эти коэффициенты могут быть получены только из строгих решений. При этом оказывается, что в ряде случаев численные коэффициенты отличаются от единицы не более чем в 2—3 раза. Например, для электрона в атоме водорода значение радиуса орбиты электрона из формулы (11) получается абсолютно точно:

$r = \frac{\hbar^2}{me^2} = 0{,}5\cdot 10^{-8}\ \textit{см},$

а значение энергии ионизации

$E = \frac{me^4}{\hbar^2} = 4{,}3\cdot 10^{-11}\ \textit{эрг}$

оказывается в 2 раза больше истинного.

Некоторые природные единицы измерения можно получить и не из атомного мира, например, выбрав в качестве основных величин скорость света $c$ и гравитационную постоянную $\gamma$ . Они дают столь же надежные эталоны, как $e$ , $\hbar$ и $m$ . Но из двух эталонов нельзя получить любые величины. Третий эталон берется произвольно.

Если оставить в стороне величину $c$ , то в добавление к $\gamma$ понадобится два произвольных эталона. В качестве таких эталонов можно взять сантиметр и секунду, тогда грамм не понадобится. Ведь вместо него взята гравитационная постоянная, равная в системе СГС $6{,}7\cdot10^{-8}$ см³/г·с². Но теперь она принята за единицу, так что единицей массы стал не один грамм, а новая величина, равная $1/(6{,}7\cdot10^{-8})$ грамма, что, как легко убедиться, составляет примерно 15 тонн. Такая единица была бы удобна для оптовой торговли с представителями внеземных цивилизаций, если они согласятся выбрать в качестве двух других единиц сантиметр и секунду.

Механика жидкостей и газов и теория подобия

Когда проектируют самолет или судно, сначала их рисует художник по замыслу конструктора, чтобы наметить общие пропорции. По такому рисунку выполняются более детальные чертежи и делаются расчеты. Но самые совершенные вычисления не могут предусмотреть всего — ведь новая конструкция должна обладать и новыми свойствами. Если сразу построить самолет или судно по чертежам и расчетам, то испытывать их будет слишком опасно и очень дорого обойдется доводка до серийного выпуска. Поэтому сначала делают уменьшенную модель, подобную проектируемому изделию, и испытывают в аэродинамической трубе или в бассейне для опытов с судами.

При каких условиях обтекание модели воздухом или водой будет подобно обтеканию оригинала? Иначе говоря, когда получится модель, а не просто игрушка, внешне похожая на предмет, пусть даже детально уменьшенная копия?

На основании учения о размерностях можно дать общий ответ на поставленный вопрос. Истинное динамическое подобие между объектом и моделью получится, когда отношения всех величин, входящих в уравнения движения газа или жидкости, одинаковы для натуры и для модели. Что же это за величины?

Так как модель геометрически подобна натуре, все ее размеры определяются одним-единственным размером. Если, например, в натуре размах крыльев самолета 50 м, а длина фюзеляжа 30 м, то модель с размахом крыльев 10 м должна иметь фюзеляж в 6 м. Тогда все сравнения достаточно производить с каким-то одним выбранным размером $d$ .

Текущую жидкость или газ характеризует скорость $v$ . При моделировании делают так, чтобы сама модель покоилась, а газ или жидкость на нее натекали. Все относительные

скорости от этого не изменятся, а только они и важны для испытания динамических свойств. Достаточно производить сравнение с одной характерной скоростью, в качестве которой берется скорость натекания потока или скорость самого объекта (в натуре). С механической точки зрения не существенно, что именно выбрать. Кроме скорости, движущаяся среда характеризуется плотностью $\rho$ , то есть массой единицы объема. Жидкости и газы различаются еще и по вязкости: вода течет легче растительного или смазочного масла, масло течет легче меда и т. п. Иначе говоря, течение зависит от особой характеристики среды, называемой коэффициентом вязкости $\eta$ .

Выясним, какую размерность имеет $\eta$ . Еще в прошлом веке Пуазейль экспериментально установил, что скорость, с которой жидкость протекает через узкий капилляр, прямо пропорциональна разности давлений $\Delta p$ (на разных концах капилляра), квадрату его радиуса $r$ и обратно пропорциональна длине капилляра $l$ и коэффициенту $\eta$ . Запишем соответствующее уравнение для размерностей:

$[v] = \left[\frac{\Delta p r^2}{\eta l}\right].$

Отсюда размерность $\eta$

$[\eta] = \left[\frac{\Delta p r^2}{v l}\right].$

Но произведение $\Delta p r^2$ имеет размерность силы (давление — это сила, приходящаяся на единицу площади), так что

$[\eta] = \left[\frac{mlt}{t^2 ll}\right] = \left[\frac{m}{lt}\right] = \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{LT}}.$

В системе СГС единица измерения коэффициента вязкости называется «пуазом» (по имени Пуазейля). Один пуаз — большая вязкость; например, у воды при комнатной температуре вязкость всего лишь $0{,}01$ пуаза.

Итак, при равномерном движении объекта в среде его обтекание полностью задается четырьмя величинами $d$ , $v$ , $\rho$ и $\eta$ . При данной форме обтекаемых тел картины течения пол-

ностью подобны, если безразмерные отношения размерных величин одинаковы. Но, оказывается, из четырех перечисленных размерных величин можно построить только одну безразмерную комбинацию. Она называется числом Рейнольдса и обозначается символом $\mathrm{Re}$ :

$\mathrm{Re} = \frac{dv\rho}{\eta}.$

(Здесь можно снова воспользоваться методом неизвестных показателей степени $x$ , $y$ , $z$ , что и при выводе формулы (1).)

Два течения, обладающие одинаковыми числами $\mathrm{Re}$ , во всем подобны. (Строго говоря, это справедливо до тех пор, пока не надо учитывать сжимаемость среды, которая дает лишнюю постоянную в уравнениях движения. Так будет при скоростях, близких к скорости звука, но этот вопрос мы оставим в стороне). Заметим, что если можно построить несколько безразмерных отношений из величин, характеризующих течение, то динамическое подобие достигается только при равенстве всех отношений, не имеющих размерности. Действительно, только в этом случае два явления можно считать подобными и по заданным характеристикам одного явления можно получить характеристики другого простым пересчетом, подобно тому, как мы переходим от одной системы единиц к другой.

Для примера допустим, что испытываемая модель в 5 раз меньше натуры. Тогда надо либо обдувать ее со скоростью, впятеро большей, либо вместо воздуха взять газ, для которого отношение $\frac{\rho}{\eta}$ в 5 раз больше, чем для воздуха, либо поменять и скорость, и газ, но так, чтобы $\mathrm{Re}$ не изменилось. Таким образом, можно, в частности, измерить подъемную силу или сопротивление воздуха для модели самолета и пересчитать их для натуры. Определяются так же силы, действующие на отдельные точки самолета, что важно для расчетов на прочность.

2 Квант № 1

Исходя из размерностей величин, можно показать, как производится пересчет с модели на объект. Из $d$ , $v$ , $\rho$ и $\eta$ величину с размерностью силы удается построить двумя способами:

$F_1 = \rho v^2 d^2$

$F_2 = d\eta v.$

Какому из них отдать предпочтение? Возьмем отношение $\frac{F_1}{F_2}$ :

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{dv\rho}{\eta} = \mathrm{Re}.$

Оказывается, это отношение равно числу Рейнольдса. Следовательно, если у модели и натуры числа Рейнольдса одинаковы, оба выражения для силы равноценны и можно пользоваться любым. Таким образом, сила, действующая на модель, во столько раз отличается от силы в натуре, во сколько раз отличаются произведения $dv\eta$ (или $\rho v^2 d^2$ ) для модели и для натуры.

На этом конкретном примере мы хотели показать, что теория размерностей лежит в основе моделирования.