Новый приём во Всесоюзную заочную математическую школу

68

Новый пример
во Всесоюзную заочную
математическую школе

Во Всесоюзную заочную математическую школе (ВЗМШ) принимаются ученики сельных классов. Школьники, проживающие в Москве, Ленинграде и их пригородах, в ВЗМШ не принимаются.

Занятия начнутся с 1-го сентября. Обучение в школе бесплатное.

Учащиеся, принятые в школе, будут регулярно (примерно раз в месяц) получать задания, которые содержат обучения теоретических вопросов и задания для решения.

Во Всесоюзной заочной математической школе три курса обучения.

Желающие поступить в ВЗМШ должны выслать решение задач не позднее 20 марта 1975 года. После проверки работы (примерно в июле 1975 года) будет сообщено, приняты ли вы в ВЗМШ. Примущестом при поступлении пользоваться школьники, проживающие в сельской местности и рабочих поселках.

Хотя некоторые из вступительных задач по внешнему виду отличются от обычных школьных, для их решения не требуется никаких дополнительных знаний по математике.

Для того, чтобы быть принятым в школе, не обязательно решить все задачи без исключения. При оценке работы будет учитываться не только количество решенных задач, но и качество решения. Решение каждой задачи должно быть обосновано. Ответ без всяких обучений может быть не заCHANTан. Если в задаче возможны несколько ответов, то надо указыть их все.

Работа должна быть выполнена на русском языке в ученической тетради в клатку. Вступительные работы обрабатно невыслаются.

В конверт вместе с тетрадью нужно вложить листок бумаги размером 14×6 см с вашим почтовым адресом (мы наклейем его на конверт, когда будет посылать вам ответ).

На обложку тетради наклейте лист клетчатой бумаги, разграфив и заполнить его по следующему образцу (инначале работа проверяется на будет):

Область
Фамилия, имя
Год рождения
Класс
Школа (полное название)
Фамилия, имя, отчество
учитель математики
Место работы и должность
родитель
Полный почтовый адрес

Волоодская
Иванов Пермр
1961 г.
7-й класс
школа № 2 г. Томмы
Никаноров Владимир
Алексеевич
Омец — шофер автомабы № 3
Мать — домашняя хозяйка
г. Томма, ул. Ленина, д. 3, кв. 23

Результаты проверки

Школьники, проживающие в Архангельской, Вологодской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской и Псковской области, Коми и Каральской АССР, Белоруссий, Латвийской, Литовской и Эстонской ССР, должны принять работы по адресу: Ленинград, П-228, ул. Савушкина, 61. Спецификат при ЛГУ. Заочная математическая школа. На конкурс.

Учащиеся, проживающие в Воронежской, Белгородской, Тамбовской, Курской и Липецкой области, должны выполнять работы по адресу: г. Воронеж, Университет, ФЗМШ. На конкурс.

Школьники, проживающие в остальных области РСФСР и других союзных решенныхtaskах, должны принять работы по адресу: 117234, Москва, В-234, МГУ, мех.-ум., ВЗМШ. На конкурс.

Задачи вступительной контрольной работы в ВЗМШ в 1975 году

1. Можно ли расположить на плоскости шесть точек и соединить их отрезками так, чтобы каждая точка была соединена отрезками с четырьмя другими точками и отрезки не пересекались друг с другом?

2. После окончания спектакля «Ревизор» Бобчинский и Добчинский начали препираться на сцене по поводу того, кто первый сказал «Э!».

Б о б ч и н с к и й: Это Вы, Петр Иванович, первый сказали «Э!». Вы сами раньше так говорили.

Д о б ч и н с к и й: Нет, Петр Иванович, я так не говорил. Это Вы семгу первый заказали. Вы и сказали «Э!». А у меня зуб во рту со свистом.

Б о б ч и н с к и й: Что я семгу первый заказал, это верно. И верно, что у Вас зуб со свистом. Но все-таки это Вы первый сказали «Э!».

Выясните, кто первый сказал «Э!», если известно, что из девяти произнесенных в этом разговоре фраз нечетное число верных.

3. Найдите четыре числа, если известно, что произведение любых трех из них на 120 больше оставшегося числа.

4. Докажите, что если в треугольнике совпадают какие-нибудь две точки из следующих трех:

1. центр вписанного круга,

2. центр описанного круга,

3. точка пересечения медиан,

то треугольник равносторонний.

5. Четыре девочки — Катя, Лена, Маша и Нина — участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую песню исполняли три девочки. Катя спела 8 песен — больше, чем все остальные, а Лена 5 песен — меньше, чем все остальные. Сколько песен было спето?

6. Верно ли, что при любом натуральном $n$ число $n^4 + (n+1)^4$ простое?

7. Найдите величину угла $B$ треугольника $ABC$, если длина высоты $CH$ вдвое меньше длины стороны $AB$, а величина угла $A$ равна $75^\circ$.

8. Допишите к числам 10, 12, 15 еще семь целых чисел так, чтобы наибольший общий делитель любых двух из десяти написанных чисел встречался среди этих чисел и наименьшее общее кратное любых двух написанных чисел тоже встречалось среди этих чисел.

9. Докажите, что если $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = 0$, то какие-то два из трех чисел $a$, $b$, $c$ равны друг другу.

10. Найдите все значения $p$ и $q$, при которых многочлен
    $$x^4 + px^3 + 17x^2 + qx + 16$$
    может быть представлен в виде квадрата некоторого квадратного трехчлена от $x$.

11. Элементами множеств $A$, $B$ и $C$ служат числа 1, 2, …, 9. Известно следующее:
    $$A \cap B = \{1,\ 2\},$$
    $$B \cap C = \{3,\ 7\},$$
    $$A \cup B = \{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\},$$
    $$A \cup C = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9\}.$$

Найдите множества $A$, $B$ и $C$. (Здесь $A \cap B$ — пересечение множеств $A$ и $B$, $A \cup B$ — объединение этих множеств.)

12. Про некоторую фигуру на плоскости известно, что при повороте вокруг точки $O$ на угол $48^\circ$ она переходит в себя. Можно ли утверждать, что она перейдет в себя при повороте вокруг точки $O$ на угол

а) $90^\circ$?

б) $72^\circ$?

69