Эллипс

ЭЛЛИПС

И. Н. Бронштейн

Три замечательные кривые — эллипс, гипербола и парабола, объединенные общим названием «конические сечения» — были известны еще в Древней Греции. Их открыл около 360 года до нашей эры Менехм, один из учеников знаменитого астронома, врача и математика Евдокса. Сочинения Менехма до нас не дошли, но нам известно замечательное сочинение Аполлония, посвященное этому же вопросу и написанное примерно 200 лет спустя после Менехма.
В этом номере мы начинаем цикл статей о конических сечениях.

Растяжение-сжатие плоскости (РС)

Возьмем в плоскости $\pi$ некоторую прямую $l$ и зададим положительное число $k$. Будем называть растяжением-сжатием (сокращенно РС*)) плоскости $\pi$ относительно оси $l$ с коэффициентом $k$ такое преобразование плоскости в себя, при котором

---

*) Это преобразование обычно называют сжатием к оси, понимая под этим также и растяжение (при $k>1$). По нашему мнению, такое название неудачно, так как оно иногда приводит к путанице. Например, эллипсом считают линию, полученную только с ж а т и е м окружности (см. ниже), и поэтому часто думают, что в уравнении эллипса всегда $a>b$, что не обязательно.

каждая ее точка $m$ переходит в точку $M$ по следующим правилам:

1. точки $m$ и $M$ лежат на одном перпендикуляре к оси $l$ по одну сторону от нее; точка, лежащая на самой оси, переходит в себя;

2. расстояние от точки до оси умножается на $k$, то есть $m_0M = k \cdot m_0m$, где $m_0$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $m$ на ось $l$ (см. рис. 1 а, б).

Если $k > 1$, то все точки плоскости (кроме точек самой оси) удаляются от оси — плоскость растягивается, а если $k < 1$, то приближаются к оси — плоскость сжимается. При $k = 1$ все точки плоскости остаются на месте; в этом случае мы по-

Рис. 1 а.

Рис. 1 б.

2

3

Рис. 2 а. $k=^1/_2$.

Рис. 2 б. $k=2$.

лучаем тождественное преобразование плоскости.

Пусть в плоскости $\pi$ дана какая-нибудь фигура $\omega$ (то есть некоторое множество точек). Нас будет интересовать множество $\Omega$ всех точек, полученных из $\omega$ в результате РС (см. рис. 2 а, б). Важно отметить, что при РС прямая линия перейдет в прямую, параллельные прямые — в параллельные, а середина отрезка — в середину. Например, если $cd\|be$, $cm=md$, то $CD\|BE$, $CM=MD$ (см. рис. 2). Доказательства этих фактов предоставляем читателю.

Определение эллипса. Элементы эллипса

Эллипсом называется фигура, полученная в результате РС окружности (или круга *)). Пусть $a$ — радиус окружности (рис. 3; ось РС будем считать проходящей через центр окружности). Тогда диаметр $cd$, лежащий на оси, перейдет в себя ($CD=2a$),

---

*) Окружность — линия, а круг — часть плоскости внутри нее. Для эллипса двух аналогичных слов нет; как сама кривая, так и часть плоскости внутри нее называются одинаково — говорят «длина эллипса», «площадь эллипса». Читатель в каждом случае без труда установит, о каком смысле слова «эллипс» идет речь.

1*

а перпендикулярный к нему диаметр $eh$ — в отрезок $EH$ ($EH=2ka$). Обозначим $OE(=OH)$ через $b$, тогда $ka=b$.

Отрезки $CD$ и $EH$ называются осями эллипса, а их половины $OC$, $OD$, $OE$, $OH$ (а также числа $a$ и $b$) — его полуосями. Если $k>1$ (растяжение), то $b>a$ (рис. 3), если же $k<1$ (сжатие), то $b<a$ (см. следующие рисунки). При $k=1$ окружность перейдет в окружность *).

---

*) Чтобы не нарушать общности определения, окружность считается частным случаем эллипса ($b=a$).

Рис. 3.

4

Больший из отрезков CD, EH называется большой осью эллипса, а меньший — малой осью. Значит, если $k > 1$, то $a$ — малая полуось, а $b$ — большая, а если $k < 1$, то наоборот. В обих случаях $k = \frac{b}{a}$.

Точка $o$ — центр окружности — при PC переходит в себя, эта точка $O$ называется центром эллипса, точки $C, D, E, H$ — его вершинами. Квадрат $pqrs$, описанный вокруг окружности («матери» эллипса) так, что $pq \parallel rs \parallel l$, а $qr \parallel sp \perp l$, преобразуется в прямоугольник $PQRS$ со стороны $2a$ и $2b$, описанный вокруг эллипса; его называют фундаментальным прямоугольником для нашего эллипса. Стороны этого прямоугольника касаются эллипса в его вершинах.

Как намерить эллипс

Если заданы оси эллипса, то проще всего намерить эллипс от руки, построив сначала фундаментальный прямоугольник, а затем в него овальный кривую. Но этот метод не точен, существует много овальных кривых с одним и теми же осями симметрии (несколько таких кривых изображено на рисунке 4), но только одна из них (на рисунке 4 — красная) является эллипсом. Можно точно построить сколько угодно точек эллипса. Наиболее употребитный

Рис. 5.

и простой способ такого построения изображен на рисунке 5.

На нем две концентрические окружности имеют радиусы $a$ и $b$. Разбериться сами в этом построении и докажите, что $m_0M = m_0m \cdot \frac{b}{a}$.

Сделав такое построение для нескольких точки $m_1, m_2, m_3, \dots$ окружности, можно получить соответствующие точки эллипса. Останется соединить их плавной линии от руки или с помощью лекала.

Начертить эллипс непрерывным движением, не отрывая карандаша от бумаги, подобно тому, как мы вычеркиваем окружность циркулем, можно специальным прибором — эллипсо-

Рис. 4.

Рис. 6.

графом *). В конце статьи мы укажем простой способ непрерывного вычерчивания эллипса при помощи нити.

Сопряженные диаметры эллипса

Отметим следующее интересное свойство эллипса: середины всех параллельных хорд эллипса образуют отрезок, проходящий через центр эллипса (рис. 6). Это свойство очевидно для окружности: для нее середины параллельных хорд лежат на диаметре, перпендикулярном к этим хордам. При сжатии параллельные хорды окружности переходят в параллельные хорды эллипса, а середины хорд окружности — в середины хорд эллипса. Отсюда и вытекает справедливость сформулированного свойства.

Хорда, проходящая через центр эллипса, называется его диаметром. У эллипса длины диаметров, вообще говоря, не одинаковы. Наибольший из них — большая ось эллипса, а наименьший — малая. Если провести в эллипсе вторую серию хорд, параллельных полученному диаметру, то их середины лежат на диаметре, принадлежащем к первой серии хорд (рис. 6). Два полученных диаметра называются взаимно сопряженными. Для каждого диаметра эллипса существует ему сопряженный. У окружности каждая пара сопряженных диаметров взаимно перпендикулярна, а у эллипса есть только одна пара взаимно перпендикулярных сопряженных диаметров, это — большая и малая оси.

Уравнение линии. Уравнение эллипса

Одним из самых замечательных открытий XVII века является метод координат **),

---

*) В первой публикации настоящей статьи («Квант», 1970, № 9, с. 32) приведено описание и теоретическое обоснование эллипсографа.

**) Он обычно излагается в курсе аналитической геометрии.

Рис. 7.

позволяющий переводить геометрические понятия на алгебраический язык. Этот метод дает возможность устанавливать соответствие между линиями, лежащими на плоскости, на которой введена система координат, и уравнениями, содержащими две буквы $x$ и $y$.

Уравнением линии называется такое уравнение относительно $x$ и $y$, которое обращается в тождество при подстановке вместо $x$ и $y$ значений $x_0$, $y_0$ в том и только в том случае, когда точка с координатами $x_0$, $y_0$ лежит на этой линии. Например, уравнение $y = x$ есть уравнение биссектрисы I и III координатных углов, а уравнение окружности радиуса $a$ с центром в начале координат имеет вид $x^2 + y^2 = a^2$.

Пусть данный эллипс с полуосями $a$ и $b$ получен как РС окружности радиуса $a$ с коэффициентом $k = \dfrac{b}{a}$ (рис. 7). Введем на плоскости, содержащей обе эти линии, систему координат следующим образом: ось $Ox$ направим по оси РС, а ось $Oy$ — через центр окружности $o$, который является и центром эллипса, перпендикулярно к оси $Ox$. Пусть $m$ — точка на окружности, а $M$ — та точка эллипса, в которую перейдет $m$ при РС.

Координаты точки $m$ обозначим через $x_{\text{окр}}$, $y_{\text{окр}}$, а точки $M$ — $x_\text{э}$, $y_\text{э}$. По определению РС $x_\text{э} = x_{\text{окр}}$, $y_\text{э} = k y_{\text{окр}}$, откуда

$$x_{\text{окр}} = x_\text{э}, \quad y_{\text{окр}} = \frac{y_\text{э}}{k} \, . \qquad (*)$$

Если подставить в уравнение окружности $x^2 + y^2 = a^2$ координаты любой точки $(x_{\text{окр}},\ y_{\text{окр}})$, то будет верно равенство $x_{\text{окр}}^2 + y_{\text{окр}}^2 = a^2$, и, значит, на основании $(*)$ верным будет равенство

$$x_\text{э}^2 + \frac{y_\text{э}^2}{k^2} = a^2.$$

5

Рис. 8.

Если же точка $M'(X', Y')$ не лежит на эллипсе, то точка $m'(x', y')$, переведенная в $M'$ в результате РС, не лежала на окружности, и равенство $(x')^2 + (y')^2 = a^2$ неверно, значит, неверно и равенство

$$(X')^2 + \frac{(Y')^2}{k^2} = a^2.$$

В соответствии с определением уравнения линии мы получили такое уравнение эллипса: $x^2 + \dfrac{y^2}{k^2} = a^2$. Поскольку $ka = b$, последнее уравнение приводится к виду

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \tag{Э}$$

Это и есть уравнение эллипса в наиболее удобной (так называемой канонической) форме.

Наклонные сечения кругового цилиндра

Пересекая круговой цилиндр плоскостями, наклоненными к его основанию под острым углом $\alpha$, мы получаем овальные кривые. Докажем, что они являются эллипсами. Для этого достаточно установить, что каждый такой овал получается из окружности в результате РС (а именно — растяжения) с коэффициентом $k = \dfrac{1}{\cos\alpha}$.

Возьмем (рис. 8) в основании цилиндра два диаметра: $cd$ — параллельный и $eh$ — перпендикулярный к линии пересечения плоскости основания с плоскостью сечения ци-

линдра. Проведем через них и ось цилиндра плоскости $cdDC$ и $ehHE$, а также плоскость $M_0Mmm_0$, параллельную $ehHE$, проходящую через некоторую точку $M$ сечения. Зная, что проекция отрезка на некоторую прямую равна длине этого отрезка, умноженной на косинус угла между ним и его проекцией, получаем

$$\frac{M_0M}{m_0m} = \frac{OE}{oe} = \frac{1}{\cos\alpha} = k.$$

Если положить обе фигуры $CEDH$ и $cedh$ на одну плоскость так, чтобы $CD$ совместилась с $cd$, то они займут положение, показанное на рисунке 3, причем $M_0M : m_0m = k$, где $k > 1$. Этим наше утверждение доказано.

Каждый эллипс с малой полуосью $a$ и большой $b$ можно получить как сечение кругового цилиндра, радиус которого равен малой полуоси эллипса. Для этого достаточно провести сечение цилиндра плоскостью, наклоненной к основанию цилиндра под углом, косинус которого равен $\dfrac{a}{b}$. Это всегда возможно, так как здесь $\dfrac{a}{b} < 1$.

Проекция окружности — эллипс

Если спроектировать окружность, лежащую в некоторой плоскости, на вторую плоскость, пересекающую первую под острым углом $\alpha$, то в проекции получится эллипс. Доказательство этого читатель легко проведет сам, пользуясь рисунком 8, на который нужно теперь смотреть с другой точки зрения: будем линию $CEDH$ считать окружностью ($OC = OD = OE = OH = a$), а проектирующий цилиндр — не круговым, а овальным. Здесь $cd = CD = 2a$, $eh = EH \cdot \cos\alpha = 2b$. Нужно доказать, что $cedh$ — эллипс (поверхность в этом случае называется эллиптическим цилиндром — по форме перпендикулярного сечения).

Путь доказательства тот же, что и для наклонного сечения кругового ци-

6

7

линдра. На этот раз $m_0m = M_0M\cos \alpha$. Следовательно, овал седh получен из $CEDH$ в результате PC (на этот раз — скатия) с коэффициентом $k = \cos \alpha = \frac{b}{a}$.

Перпендикулярные диаметры окружности проектировятся во взаимно сопряженные диаметры эллипса. Этот факт имеет большое значение в теории изобравжения пространственных фигур на плоскости*).

Фокальное свойство эллипса

Мы переходим к наиболее важному свойству эллипса — фокальному (фокальный — прилагательное от слова фокус**); так называются две заменательные точки, лежащие на большой оси симметрично относительной центра эллипса).

Будем рассматривать эллипс как сечение кругового цилиндра — мы видели, что всегда имеем право это сделать. Вкатим теперь в цилиндр с обонх его концов по шару (того же радиуса, что и цилиндр) так, чтобы она шара стукнулась о плоскосте этого сечения (рис. 9), на геометрическом языке — впищем шары в цилиндр так, чтобы они касались плоскости сечения.

Точки прикосновения $F_1$ и $F_2$ и будут фокусами нашего эллипса.

Каждай шар касается цилиндра по окружности (красной). Возьмем любую точку $M$ эллипса и отметим ту образушую $PQ$ цилиндра, на которой точка $M$ лежит ($P$ и $Q$ — точки этой образушей, лежащие на красных окружности). Ясно, что $MF_1 = MQ$, так как это длины двух касательных к правому шару, проведенных из $M$ до точек прикосновения

Рис. 9.

ния $F_1$ и $Q$ (эти отрезки равны как образушую конуса с вершиной $M$, описанного около правого шара). Рассуjdая так же для левого шара, получаем: $MF_2 = MP$. Сложив оба равенства, имеем

$$MF_1 + MF_2 = MQ + MP = PQ.$$

No длина $PQ$ одна и та же для всех образуших цилиндра, это расстояние между плоскостями красных окружностей. Значит, какую бы точку $M$ на эллипсе ни взять, будет удовлетворять равенство $MF_1 + MF_2 = const$.

Таким образом, сумма расстояний от любой точки эллипса до двух его фокусов — величины постоянная. В этом и состоит фокальное свойство эллипса. Часто эллипс и определяется как множество точки, лежащих в одной плоскости, для которых сумма расстояний до двух точек (фокусов)—величана постоянная.

Расстояние от каждой фокуса до конца малой оси равно половине длины большей оси эллипса (рис. 10) или, иначе,

$$c^2 = a^2 - b^2.$$

В этой формуле $a$ — большая полуось, $b$ — малая *) $c$ — половина

*) См. статью Н. М. Бескина «Изображение пространственных фигур», «Квант», 1970, № 12.

**) Латинское слово «focus» означает очаг. О проинскожении этого термина будет рассказано в следующих странах.

8

Рис. 10.

расстояния между фокусами. Для доказательства этой формулы рассмотрим конец большой оси эллипса (точка $C$ на рисунке 10). По фокальному свойству $CF_1 + CF_2 = \mathrm{const}$; вследствии симметрии $CF_1 = DF_2$; значит, постоянная const равна $CF_2 + F_2D$, то есть большой оси $2a$. С другой стороны, для конца малой оси, например, $E$, $EF_1 + EF_2 = 2a$, а так как, в силу симметрии, $EF_1 = EF_2$, то каждый из этих отрезков равен $a$. Это дает способ построения фокусов эллипса по его осям (рис. 10).

Вычерчивание эллипса при помощи нити

Положим лист бумаги на чертежную доску и приколем к нему две кнопки (или булавки, рис. 11). Набросив на них нитяное кольцо (длина кольца должна быть больше удвоенного расстояния между кнопками), натянем нить острием карандаша, чтобы получился треугольник $F_1MF_2$. Если вести карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой, то треугольник будет деформироваться, но его периметр останется постоянным. Постоянной будет и длина стороны $F_1F_2$; значит, $F_1M + F_2M = \mathrm{const}$ и карандаш опишет эллипс.

Этот способ вычерчивания эллипса используют садовники при изготовлении цветочных эллиптических клумб. Вместо кнопок к землю вты-

Рис. 11.

кают два колышка, кольцо делается из толстой веревки, а эллипс вычерчивается на земле не карандашом, а палкой.

* *
*

Мы не объяснили происхождения названия «эллипс» (на древнегреческом «эллипсис» означает «недостаток» — причем здесь недостаток?), не рассказали о других интересных свойствах этой кривой — свойствах, общих для всех конических сечений: эллипса, гиперболы и параболы. Этому будет посвящена отдельная статья. Но предварительно в ближайших номерах мы познакомимся с гиперболой и параболой.