Квадраты из монет

Теперь не составляет труда найти требуемые отрезки:

$$SA_1 = \sqrt{5}, \quad SB_1 = \sqrt{6}, \quad SC_1 = \sqrt{7}.$$

Упражнения

1 (МГУ, биологич. ф-т, 1970). На сторонах выпуклого четырехугольника $ABCD$ площади 1 взяты точки: $K$ на $AB$, $L$ на $BC$, $M$ на $CD$ и $N$ на $DA$. При этом $AK : KB = 2 : 1$, $BL : LC = 1 : 3$, $CM : MD = 1 : 1$, $DN : NA = 1 : 5$. Найти площадь шестиугольника $AKLCMN$.

2 (МГУ, биологич. ф-т, 1972). В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. Найти отношение площади треугольника $ABC$ к площади четырехугольника $ODCE$, зная, что $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

3 (МГУ, химич. ф-т, 1972). В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $45^\circ$, а угол $C$ острый. Из середины стороны $BC$ опущен перпендикуляр $NM$ на сторону $AC$. Площади треугольников $NMC$ и $ABC$ относятся как $1 : 8$. Найти углы треугольника $ABC$.

4 (МГУ, биологич. ф-т, 1972). В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ делит пополам сторону $CD$, биссектриса угла $ABC$ пересекает отрезок $AE$ в точке $O$. Найти площадь четырехугольника $OBCE$, зная, что $AD = a$, $DE = b$, $\sphericalangle ABO = \alpha$.

5 (МГУ, химич. ф-т, 1970). Плоскость пересекает боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$ пирамиды $SABC$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно. В каком отношении делит эта плоскость объем пирамиды, если $SK : KA = SL : LB = 2 : 1$, а медиана $SN$ треугольника $SBC$ делится этой плоскостью пополам?

6 (МГУ, химич. ф-т, 1970). Плоскость пересекает ребра $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ в точках $M$, $N$ и $P$ соответственно. В каком отношении делит эта плоскость объем призмы, если $B_1M : A_1B_1 = 1 : 2$, $B_1N : B_1C_1 = 2 : 3$, $BP : CB = 1 : 3$?

7. Сформулируйте утверждения 1 и 2 из статьи (с. 56) для случая, когда точки $K$, $L$, $M$ лежат не на самих сторонах (ребрах), а на их продолжениях.

8. (МГУ, ф-т вычислительной математики и кибернетики, 1973). Точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ лежат на сфере радиуса $\sqrt{2}$. Отрезки $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $S$, находящейся на расстоянии 1 от центра сферы. Объемы пирамид $SABC$ и $SDEF$ относятся как $1 : 9$, пирамид $SABF$ и $SDEC$ как $4 : 9$, пирамид $SAEC$ и $SDBF$ как $9 : 4$. Найти отрезки $SA$, $SB$, $SC$.

9. Точки $K$, $L$, $M$ делят стороны $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ соответственно в отношении $\alpha : \beta$, $\gamma : \delta$, $\rho : \sigma$ (считая каждый раз от вершины, упомянутой первой), причем $\alpha + \beta = \gamma + \delta = \rho + \sigma = 1$. В каком отношении прямая $KM$ делит отрезок $AL$? В каком отношении прямая $BM$ делит $CK$?

Квадраты из монет

1. На плоскости расположено 9 одинаковых монет так, как показано на рисунке 1.

Какое минимальное число монет нужно убрать, чтобы не осталось ни одного квадрата с вершинами в центрах монет?

Рис. 1.

Рис. 2.

2. Та же задача, если монет 16, и они расположены так, как показано на рисунке 2.

В. Е. Колосов

59