С чего начинается логика

С ЧЕГО НАЧИНАЕТСЯ ЛОГИКА?
Ю. А. Гастев

С ЧЕГО НАЧИНАЕТСЯ ЛОГИКА?

Ю. А. Гастев

1. Все люди смертны. (I)
2. Сократ — человек.
3. Следовательно, Сократ смертен.

Таким примером силлогизма (на более понятном языке — умозаключения) начинался в свое время почти каждый учебник логики. «Ну, что ж, все верно, — скажет сегодняшний школьник, никакой такой специальной логики не проходящий. — Невелика, однако ж, наука: больно просто все».

Не торопитесь!

Вот вам еще пример (в замечательное пьесе Эжена Ионеско «Носороги» его изрекает малоприятный персонаж, так и именуемый: «логик»):

1. Все кошки смертны.
2. Сократ смертен. (II)
3. Следовательно, Сократ — кошка.

«Ну что за вздор, — скажете вы, — какая же он кошка?» Но разве этим плох «силлогизм» «логика»?!

Оцените, пожалуйста, еще два примера:

1. Все кошки смертны.

2. Сократ — кошка. (III)

3. Следовательно, Сократ смертен.

4. Все люди смертны.

5. Сократ смертен. (IV)

6. Следовательно, Сократ — человек.

Так какой же из примеров «вздор»? (III), где опять повторяется чушь про кошку? Ничего подобного! Неверно как раз умозаключение (IV), в котором все по отдельности верно: и посылки 1 и 2, и заключение 3, — но заключение вовсе не следует из посылок! И этим же — с интересующей нас сейчас точки зрения — умозаключение (II) отличается от (I).

Итак, логику интересуют не столько сами по себе истинность и ложность отдельных утверждений, сколько прежде всего связь между различ-

24

ными утверждениями, законы (правила), согласно которым из одних истинных утверждений можно с полной уверенностью получать новые истинные утверждения, то есть, как говорят, нормы правильных рассуждений.

Так, значит, логика все-таки не безразлична к вопросу об истинности? Конечно, нет. Это вообще, по существу, важнейший для нее вопрос. Но, в отличие от обычной разговорной практики, мы будем всегда стремиться к максимальной точности и потому вынуждены будем различать несколько видов истинности (соответственно ложности).

Так называемая фактическая истинность предложений, понимаемая как «соответствие действительности», принимается в логике без всякого обсуждения и без заинтересованности к способу удостовериться в ней. То, что Волга впадает в Каспийское море, истинно, но истинно чисто фактически, и дело географии, а не логики, гарантировать эту истинность. Высказывания «Волга впадает в озеро Мичиган» и «Амазонка впадает в Клязьму», конечно, ложны — но опять-таки чисто фактически: ни из каких «законов логики» это вовсе не вытекает. Суждения же «Если Волга впадает в Каспийское море, то Волга впадает в Каспийское море», «Если Волга впадает в озеро Мичиган, то Волга впадает в озеро Мичиган» и «Если Амазонка впадает в Клязьму, то Амазонка впадает в Клязьму» — все три в равной мере — логически истинны, то есть истинны, так сказать, исключительно в силу своей структуры, независимо от истинности или ложности их посылок и заключений. Истинность законов Ньютона или закона Кулона удостоверяет опыт, но никак не логика, из которой вовсе не вытекает ни одна из конкретных физических закономерностей. Умозаключение «Греки — люди, Сократ — грек, следовательно, Сократ — человек», напротив, правильно само по себе, а от-

нюдь не в силу истинности первой посылки, удостоверяемой всемирной историей, или второй, констатирующей некоторый факт истории философии.

Строго говоря, предыдущая фраза весьма условна: просто мы в данном случае молчаливо соглашаемся иметь в виду именно того Сократа, а не, скажем, тестя Чернышевского (жену Николая Гавриловича звали Ольгой Сократовной) или кота по кличке «Сократ» (в последнем случае умозаключение (II) не стало бы, разумеется, более законным, но вот в верном умозаключении (III) обе посылки оказались бы истинными). Таким образом, фактическая истинность высказываний часто зависит от ряда дополнительных (не всегда высказываемых явно) соглашений и условий, вследствие чего в таких случаях иногда говорят о возможной истинности — в отличие от необходимой истинности утверждений типа «12 делится на 3 или нет» и «12 делится на 5 или нет», истинных безотносительно к нашим арифметическим познаниям и даже к тому, в какой системе счисления записаны числа 12, 3 и 5.

Таким образом, логические истины — в отличие от опытных, фактических истин конкретных наук и повседневной практики — не несут нам никакой информации о реальном мире. Как говорил Лейбниц, это истины во всех возможных мирах. Поэтому их называют также всегда истинными, или тождественно истинными высказываниями. Или еще короче и выразительнее: тавтологиями. Так (буквальный перевод с греческого: «то же самое слово») называют в обыденной речи бессодержательные повторения, не сообщающие нам ничего нового. Присмотритесь к логически истинным предложениям вроде «Из $A$ следует $A$», «$B$ верно или $B$ неверно», «Если истинны высказывания $C$ и $D$, то истинны высказывания $D$ и $C$» и т. п., — и вы согласитесь, что термин очень нагляден и уместен.

Не все тавтологии (в логическом смысле этого слова) так уж непосредственно очевидны — иногда их логическую истинность не сразу удается усмотреть из-за чисто внешней сложности, громоздкости их строе-

25

ния. Скажем, высказывание «Если из А следует Б, из В следует Г, из Д следует Е, из Ж следует З, из И следует К, из Л следует М, из Н следует О, из П следует Р, из С следует Т, из У следует не-Ф, из Х следует Ц, из Ч следует Ш, из Щ следует Э, а из Ю следует Я, то не-Б влечет не-А, не-Г влечет не-В, не-Е влечет не-Д, не-З влечет не-Ж, не-К влечет не-И, не-М влечет не-Л, не-О влечет не-Н, не-Р влечет не-П, не-Т влечет не-С, Ф влечет не-У, не-Ц влечет не-Х, не-Ш влечет не-Ч, не-Э влечет не-Щ, а не-Я влечет не-Ю» тавтологично в той же мере, что и примеры предыдущего абзаца, но проверить это обстоятельство — дело достаточно канительное. Здесь ситуация в точности та же, что в школьной арифметике: пример, требующий произвести тридцать три арифметических действия, ничуть «в принципе» не сложнее, чем пример на одно-два умножения — но кто из нас не помнит, насколько в первом случае вероятнее ошибиться.

Нельзя ли в вопросе о правильности умозаключений и логической истинности высказываний достичь такого же «уровня беглости», как при выполнении и проверке обычных арифметических операций, сколь угодно сложные нагромождения которых нас теперь совсем не пугают? Можно. И именно выявление правил, обеспечивающих такую «беглость», составляет первейшую задачу логики как науки. Опять — все как в арифметике и алгебре: задача не в том, чтобы научиться «автоматически» (то есть без специальных раздумий) складывать $2+3$, $3+5$ или даже $678\ 930\ 567+809\ 376\ 542$ и т. п., а именно $a+b$ для произвольных $a$ и $b$.

Для алгебры и арифметики два выражения, имеющие одну и ту же форму (см. предыдущий абзац), в определенном смысле равноправны — даже если они и имеют разные «величины». Точно так же, если мы хотим «алгебраизировать» логику,

мы должны полностью отвлечься от содержания высказываний (изучение которого, как мы уже видели, как правило, вообще не имеет никакого отношения к логике), строя весь наш анализ исключительно на основе их формы.*) Именно в уяснении этого обстоятельства и состояла, собственно говоря, гениальная идея «отца логики» Аристотеля, и именно потому логику как науку **) называют формальной.

Но что такое форма предложения (высказывания)? Если высказывания или отдельные их «элементарные части» обозначаются, как это принято в современной логике, (подобно обычной алгебре) буквами, то тождество (или различие) их формы усмотреть обычно нетрудно. Скажем, предложения «Из А и В вытекает А» и «Из С и F вытекает С», отличающиеся лишь обозначением «компонент», естественно считать равноправными, чего никак нельзя утверждать (во всяком случае, без дополнительных уточнений и соглашений), например, о предложениях «Из Х следует У» и «Из не-У следует не-Х». Но когда мы сравниваем предложения обычного языка, дело обстоит не всегда так просто. Например, явно одну и ту же форму имеют умозаключения (I), (III), а также следующие рассуждения:

1. Все целые числа рациональны.

2. 7 — целое число. (V)

3. Следовательно, 7 — рациональное число.

---

* Пока разговор идет на уровне метафор и сравнений, нет беды в том, что многие термины не имеют точного, вполне определенного значения; на это, в частности, указывают кавычки. Когда же нам нужны точные термины, мы вводим их с помощью определений или поясняющих примеров и выделяем курсивом.

**) Не надо забывать, что слово «логика» употребляется в обыденной речи и во многих других смыслах, обычно не уточняемых и в данной статье нас не интересующих.

26

1. Все целые числа рациональны.

2. π — целое число. (VI)

3. Следовательно, π — рациональное число.

4. Все тигры полосаты.

5. Шер-Хан — тигр. (VII)

6. Следовательно, Шер-Хан полосат.

и т. п. — все они имеют «общий вид»

1. Все $x$ обладают свойством $P$.
2. Предмет $y$ есть $x$. (VIII)
3. Следовательно, $y$ обладает свойством $P$.

Но что вы скажете о следующей серии примеров*)

1. Колумб открыл Америку.

2. На стене висит портрет Колумба. (IX)

3. Следовательно, на стене висит портрет открывателя Америки

4. Пушкин написал «Евгения Онегина».

5. На стене висит портрет Пушкина. (X)

6. Следовательно, на стене висит портрет автора «Онегина».

7. Булат Окуджава написал «Гамлета».

8. На стене висит портрет Окуджавы. (XI)

9. Следовательно, на стене висит портрет автора «Гамлета».

10. Малюта Скуратов создал теорию относительности.

11. На стене висит портрет Малюты. (XII)

12. Следовательно, на стене висит портрет создателя теории относительности.

Пока все в точности одинаково, не правда ли? (Вам, конечно, уже ясно, что нам незачем здесь обсуждать вопрос об авторстве «Гамлета», «Онегина» и теории относительности.) А нельзя ли еще в эту же группу отнести и такой «силлогизм»:

1. Какой-то человек изобрел самовар.
2. На стене висит портрет какого-то человека. (XIII)
3. Следовательно, на стене висит портрет изобретателя самовара.

---

*) Навеянной (как и вообще бо́льшая часть настоящего изложения) введением к книге А. Ч ё р ч а «Введение в математическую логику», т. 1, перевод с английского, М., ИЛ, 1960.

Вот вам и «тождество формы!» (А ведь «формально», казалось бы, здесь все как в примерах (I), (III), (V)—(VIII) — кто может помешать нам, как и раньше, обозначить подлежащие в посылках и заключениях через $x$ и $y$?)

Конечно, никакой тут «загадки» нет — вы сами легко объясните, что в русском языке собственные существительные и существительные нарицательные с неопределенными местоимениями в роли подлежащих далеко не равноправны (а в английском, французском и вообще во всех германских и романских языках подобные недоразумения возникнуть не могут при правильном употреблении определенных и неопределенных артиклей). Но мне бы хотелось обратить ваше внимание не только, на простоту и естественность постановки задач формальной логики но и на то, что подлинная ее «формализация» может быть затруднена как раз теми качествами нашего разговорного языка, которые делают его таким удобным, богатым и гибким средством общения между людьми: обилием смысловых оттенков слов и отсутствием жесткой, «стандартной» структуры (формы) предложений.

В современной формальной логике *) затруднения эти преодолеваются использованием специальных формализованных языков. В этих языках, как можно прочесть во множестве популярных книжек, все неточности и двусмыслености обычных разговорных языков тщательно изгоняются (разумеется, язык при этом обедняется — но мы и не собираемся писать на нем обычную хорошую прозу, не говоря уже о стихах). Но, с другой стороны, во всех существенных чертах своей структуры эти формализованные языки следуют хорошо нам всем известным законо-

---

*) Часто (по очевидным мотивам) называемой символической логикой, или математической логикой.

27

мерностям обычных «человеческих» языков. Мне особенно хотелось бы подчеркнуть это обстоятельство, часто оставляемое в тени авторами популярных книг, подчас слишком настойчиво противопоставляющих языки естественные и искусственные: непонимание глубокого родства этих групп языков (при всем их очевидном различии) очень затрудняет усвоение самых начальных, «азбучных» понятий современной логики.

Рассмотрение этой «азбуки логики» очень напоминает, как вы сами увидите, синтаксис и морфологию обычного русского (или какого-либо другого) языка. Отчасти поэтому термином «синтаксис» часто вообще обозначают изучение формы (структуры) формализованных языков. Понятия эти распадаются на две основные группы, первая из которых очень близко соответствует хорошо знакомому вам из школы «разбору по членам предложения». Другая часть синтаксиса формализованных языков очень похожа на ту часть школьной грамматики, которая посвящена вопросу образования (построения) сложных предложений из простых. В отличие от привычной вам схемы изучения грамматических понятий, оказывается более удобным начать со второй группы понятий — она более проста и элементарна, так что ее легко рассматривать независимо от первой. Более того, принято строить специальный язык, соответствующий этой группе грамматических категорий. Этот язык, основной «атомарной» единицей которого служит высказывание — то есть предложение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно, — так и называется: исчисление высказываний. Никакого «разбора по членам предложения» в исчислении высказываний нет — по той простой причине, что внутренняя структура предложений = «атомов» здесь вообще не рассматривается: «атомы» пока считаются «неделимыми».

28

Следующий этап в теории формализованных языков, на котором, напротив, уже интересуются «строением атома» и только с помощью которого нам удастся — но не в этот раз — завершить анализ приведенных выше формальных примеров (I) — (XIII), — это так называемое исчисление предикатов. Исчисление предикатов обычно строится так, что оно включает в себя исчисление высказываний; точно так же при изучении структуры атома в физике и химии нам незачем забывать, что мы узнали раньше о связи атомов между собой.

Итак, исчисление высказываний. Повторяю: высказывание — это любое предложение (естественного или формализованного языка — безразлично), о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Именно говорить, точнее даже — спрашивать — но вовсе не отвечать. У самой логики, как мы уже не раз говорили, попросту нет средств для ответа на многие такие вопросы (хотя и не на все): логика (исчисление высказываний) готова считаться как с фактом, что высказывания «Волга впадает в Каспийское море» и «$2 \times 2 = 4$» истинны, а высказывания «Волга впадает в Индийский океан» «$2 \times 2 = 5$» ложны. Но ее выводы никак не зависят от этих фактов и остались бы верными, если геологическая катастрофа изменила бы течение Волги или если бы мы изменили привычные написания цифр, условных, как и всякие обозначения.

Более того, логика высказываний (так часто говорят вместо «исчисление высказываний») может вполне обойтись (и фактически обходится) без ответа на вопросы что такое «истина» и что такое «ложь». Вместо этого достаточно бывает говорить просто о двух различных значениях истинности (или истинностных значениях), не задаваясь вопросом «а что это значит». Одно из этих значений принято называть «выделенным» и обозначать через «и» (от «истина»), «t» (от «true») или, например, просто «1» (без всяких «естественных аналогий» с обычной логической интуицией), а второе — «невыделенное» —

29

через «л» («ложь»), «f» («false») или «0». Каждое высказывание, как и высказывания, из которых оно состоит (и от которых, в зависимости от способа их соединения, зависит его значение), может принимать два различных значения, вовсе не обязательно называемые «истиной» и «ложью» и ассоциируемые с этими понятиями. Таким образом, исчисление высказываний можно понимать как «алгебру логики» — исследование функций, принимающих, так же как и их аргументы, два различных значения. Эти значения можно (но, повторяем, вовсе не обязательно) называть истиной и ложью. Если мы не только принимаем эти наименования, но и интересуемся их связью с «обычными» понятиями истины и лжи (и пытаемся уточнить их), то мы занимаемся семантикой.

В противном случае мы, оставаясь в рамках чистого синтаксиса, можем вообще спокойно забыть о происхождении нашей «логической» терминологии. Такое «чистое» исчисление высказываний есть попросту раздел комбинаторики, и «логические задачи», рассматриваемые в нем, ничем, в принципе, не отличаются от обычных комбинаторных задач.

Итак, кроме самих по себе высказываний, исчисление высказываний изучает различные функции между ними — различные способы образования «сложных» высказываний из «простых». В рамках семантики эти функции очень напоминают обычные союзы русского (или любого другого) языка, с помощью которых сложные предложения строятся из простых. Но эту связь с обычным языком (и с «обычной логикой») мы отложим до следующего разговора. Поэтому мы закончим нашу статью тем, чем обычно подобные статьи начинаются: определением нескольких «основных» таких функций, или, как их называют, логических операций.

Поскольку речь идет о функциях, принимающих, как и их аргументы, конечное число значений (а именно

два), мы сможем задать интересующие нас функции явным указанием на то, какие именно значения они принимают при всевозможных распределениях значений аргументов («простых составляющих высказываний»). Такие задания-определения удобно представлять в виде так называемых истинностных таблиц, на «входах» которых указаны значения исходных высказываний, а на «выходах» (в клетках самой таблицы) — значения результирующего высказывания.

Вот эти логические операции:

1. Отрицание истинного высказывания ложно, а отрицание ложного высказывания истинно. Это, обозначаемая символом «$\overline{\phantom{A}}|$» операция, соответствующая частице «не» в русском языке, задается следующей истинностной таблицей:

| $A$ | $\overline{\phantom{A}}|\,A$ |
|—|—|
| и | л |
| л | и |

2. Конъюнкция двух истинных высказываний (соответствующая союзу «и» между ними, обозначение — $\wedge$) истинна, если же хоть одно из них ложно — ложна:

| $A$ | $B$ | $A \wedge B$ |
|—|—|—|
| и | и | и |
| и | л | л |
| л | и | л |
| л | л | л |

3. Дизъюнкция двух высказываний (обозначение — $\vee$, читается как «или») истинна, если истинно хотя бы одно из них, и ложна, если оба они ложны:

| $A$ | $B$ | $A \vee B$ |
|—|—|—|
| и | и | и |
| и | л | и |
| л | и | и |
| л | л | л |

(Окончание см. с. 35)