Задачи о воздушных шарах

60

Задачи

о воздушных шарах

Л. П. Баканина

В наш век самолетов и ракет, для которых доступны любые высоты над поверхностью Земли, воздушные шары, громоздкие, ненадежные и неуправляемые, уже отошли в прошлое, хотя когда-то именно они дали человеку возможность подняться в воздух. Впрочем, в некоторых случаях воздушные шары очень удобны, они используются и сейчас. Например, с аэростата удобно обучать прыжкам с парашютом, а метеорологи исследуют давление, температуру и воздушные потоки в атмосфере с помощью шаров-зондов.

Задачи о воздушных шарах даются иногда на вступительных экзаменах. Обычно их можно разделить на два типа:

1. задачи, в которых нужно найти связь между габаритами и наполнением шара и подъемной силой, действующей на шар у поверхности Земли;

2. задачи, в которых нужно определить максимальную высоту подъема шара; при этом задается какая-нибудь модель атмосферы, то есть закон изменения давления и температуры с высотой.

По существу, задачи обоих типов — это задачи на статику. Для их решения нужно уметь применять уравнение состояния газов и найти условие равновесия шара, на который действует сила притяжения Земли и выталкивающая сила со стороны окружающего шар воздуха. Если выталкивающая сила больше силы при-

тяжения (разность этих сил называют подъемной силой), шар поднимается вверх. Но по мере подъема уменьшается плотность окружающего воздуха, а следовательно, уменьшается и выталкивающая сила, по закону Архимеда равная

$$F = \rho g V,$$

где $\rho$ — плотность воздуха, а $V$ — объем шара. На некоторой высоте выталкивающая сила окажется равной силе притяжения — это и будет максимальной высотой подъема шара.

Разберем теперь несколько конкретных задач, которые в разные годы предлагались на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт.

З а д а ч а 1. Сферическая оболочка воздушного шара сделана из материала, квадратный метр которого имеет массу $b = 1$ кг/м². Шар наполнен гелием при нормальном атмосферном давлении. При каком минимальном радиусе шар поднимает сам себя? Температура гелия и температура окружающего воздуха одинаковы и равны $0\ ^\circ\mathrm{C}$. Молекулярная масса воздуха $29$ кг/кмоль, молекулярная масса гелия $4$ кг/кмоль.

При увеличении радиуса шара выталкивающая сила растет пропорционально кубу радиуса, а вес оболочки — пропорционально квадрату радиуса. Следовательно, выталкивающая сила растет быстрее и, начиная с какого-то значения радиуса, станет больше, чем вес оболочки. Тогда шар начнет подниматься. Обозначим этот радиус оболочки через $r$. При этом

$$\rho_\text{в} \cdot g\ \frac{4}{3}\ \pi r^3 = bg \cdot 4\pi r^2 + \rho_\text{Не} \cdot g\ \frac{4}{3}\ \pi r^3,$$

откуда

$$r = 3\ \frac{b}{\rho_\text{в} - \rho_\text{Не}}\,.$$

Плотности воздуха $\rho_\text{в}$ и гелия $\rho_\text{Не}$ при данных условиях найдем с помощью закона Менделеева — Клапей-

рона $pV = \frac{m}{\mu} RT$:

$$\rho_\text{в} = \frac{m}{V} = \frac{p\mu_\text{в}}{RT},$$

$$\rho_{\mathrm{He}} = \frac{p\mu_{\mathrm{He}}}{RT}; \quad \rho_\text{в} - \rho_{\mathrm{He}} = \frac{p}{RT}(\mu_\text{в} - \mu_{\mathrm{He}}).$$

Окончательно получаем

$$r = \frac{3b \cdot RT}{p\,(\mu_\text{в} - \mu_{\mathrm{He}})} \approx 2{,}8\ \textit{м}.$$

З а д а ч а 2. Объем воздушного шара равен $V = 230$ м³, масса оболочки $M = 145$ кг. Шар наполнен горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении. Какую температуру должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Температура наружного воздуха $t_0 = 0\ ^\circ\mathrm{C}$.

При нагревании воздуха его плотность уменьшается, так как $\rho = \frac{p\mu}{RT}$ (см. задачу 1). Шар начнет подниматься, если $\rho_0 gV \geqslant Mg + \rho gV$ ($\rho_0$— плотность наружного воздуха). Подставляя выражения для плотности наружного воздуха и воздуха внутри шара $\rho$, получаем

$$\frac{pV\mu}{R}\left(\frac{1}{T_0} - \frac{1}{T}\right) \geqslant M.$$

Отсюда

$$1 - \frac{T_0}{T_{\min}} = \frac{MRT_0}{\mu pV} \approx 0{,}5,$$

значит,

$$T_{\min} \approx 2T_0 = 546\ ^\circ\mathrm{K} = 273\ ^\circ\mathrm{C}.$$

З а д а ч а 3. Для удержания на поверхности Земли метеорологического шара-зонда с массой $M = 20$ кг необходимо приложить силу $F = 1000$ н. Шар поднимается до такой высоты, где его объем увеличивается в два раза. Температура воздуха, измеренная на этой высоте с помощью зонда, оказалась равной $t = -43\ ^\circ\mathrm{C}$. Вычислить давление воздуха на этой высоте, если на поверхности Земли давление $p_0 = 754$ мм рт. ст., а температура $t_0 = +17\ ^\circ\mathrm{C}$.

Условие равновесия шара у поверхности Земли записывается так:

$$F = \rho_0 gV - Mg, \qquad (1)$$

где $V$ — объем шара у поверхности Земли, а $\rho_0 = \frac{\mu p_0}{RT}$ — плотность воздуха. При этом масса шара $M$ включает в себя массу оболочки, приборов и газа, заключенного внутри оболочки. Из условия известно, что объем шара при подъеме увеличивается. Следовательно, оболочка шара мягкая и герметичная. Объем увеличивается потому, что при мягкой оболочке давление газа внутри должно быть таким же, как давление окружающего воздуха, которое уменьшается с высотой. Если оболочка герметичная, масса шара не изменяется при подъеме и максимальная высота его подъема определяется условием

$$\rho g \cdot 2V = M\mathbf{g}, \qquad (2)$$

где $\rho = \frac{\mu p}{RT}$. Решая совместно уравнения (1) и (2), находим

$$p = p_0\,\frac{T}{2T_0\,(1 + F/Mg)} \approx 79\ \textit{мм рт. ст.}$$

З а д а ч а 4. Шар-зонд, наполненный водородом, имеет герметичную оболочку постоянного объема $V = 50$ м³. Масса шара вместе с водородом $M = 5$ кг. Определить, на какую максимальную высоту он сможет подняться, если известно, что атмосферное давление уменьшается в два раза через каждые $h = 5$ км высоты. Температура в стратосфере $t = -60\ ^\circ\mathrm{C}$. Молекулярная масса воздуха 29 кг/кмоль. Давление у поверхности Земли $p_0 = 1$ атм.

На максимальной высоте выталкивающая сила равна весу шара-зонда:

$$Mg = \rho gV.$$

Выразив плотность окружающего воздуха через давление и температуру, получим

$$M = \frac{\mu p}{RT}\,V.$$

Таким образом, давление воздуха на

61

этой высоте равно

$$p = \frac{M}{\mu}\,\frac{RT}{V} \approx 6{,}12\cdot10^3\ н/м^2.$$

Посмотрим теперь, во сколько раз давление $p$ меньше давления у поверхности Земли $p_0$: $\frac{p_0}{p} \approx 16$.

Из условия известно, что давление падает в два раза через каждые $5\ км$ подъема, то есть $p_0/p = 2^{H/h}$, где $H$ — высота подъема, а $h = 5\ км$. В нашем случае

$$2^{H/h} = 16 = 2^4.$$

Отсюда

$$H = 4h = 20\ км.$$

З а д а ч а 5. Нерастяжимая оболочка шара-зонда объема $V = 75\ м^3$ имеет в нижней части небольшое отверстие. Масса оболочки $m = 7\ кг$. Шар наполнен водородом. Определить, на какую максимальную высоту сможет подняться этот шар-зонд, если известно, что атмосферное давление уменьшается в два раза через каждые $h = 5\ км$ высоты. Температура воздуха в стратосфере $t = -60\ °C$, температура водорода равна температуре окружающего воздуха. Давление у поверхности Земли $p_0 = 1\ атм$.

Эта задача отличается от предыдущей тем, что оболочка шара не герметична, а имеет отверстие. Следовательно, давление внутри шара все время равно давлению в атмосфере, и по мере увеличения высоты подъема шара водород вытекает из отверстия. Будем считать, что подъем происходит достаточно быстро и можно пренебречь диффузией воздуха внутрь оболочки, тогда условие равновесия шара на максимальной высоте

$$mg + \rho_{\mathrm{H}_2}gV = \rho_{\mathrm{в}}gV.$$

Плотности водорода и воздуха можно найти из уравнения Менделеева — Клапейрона:

$$\rho_{\mathrm{H}_2} = \frac{\mu_{\mathrm{H}_2}\,p}{RT}, \qquad \rho_{\mathrm{в}} = \frac{\mu_{\mathrm{в}}p}{RT}.$$

Таким образом, давление на макси-

мальной высоте

$$p = \frac{mRT}{(\mu_{\mathrm{в}} - \mu_{\mathrm{H}_2})\,V} \approx 6{,}12\cdot10^3\ н/м^2.$$

Отношение $\frac{p_0}{p} = 16$, и следовательно, высота подъема $H = 20\ км$ (см. решение предыдущей задачи).

Высота подъема в задаче 5 получилась такая же, как для герметичного шара в задаче 4, но не следует забывать, что мы рассматривали разные шары, с разными объемами и массами. А если оба шара совершенно одинаковы и отличаются только тем, что у одного оболочка герметичная, а у другого имеет отверстие,— какой из шаров поднимется выше в этом случае?

Выталкивающая сила будет одинакова для обоих шаров, так как их объемы равны. Если начальные массы шаров были одинаковы, то после подъема шар с отверстием окажется легче, так как часть наполняющего его газа вытечет при подъеме. Следовательно, шар с отверстием сможет подняться на бо́льшую высоту.

Обычно человеку, впервые задумавшемуся над этим вопросом, такой результат кажется странным. Часто задают вопрос: «Как вообще в шаре с отверстием возникает подъемная сила? Ведь снизу, там, где отверстие, воздух и газ внутри шара находятся в равновесии».

Давайте рассмотрим верхнюю точку шара. Если в нижней точке шара давление воздуха и газа равно $p_0$, в верхней точке давление воздуха $p_1 = p_0 - \rho_{\mathrm{в}}gh$, а давление газа $p_2 = p_0 - \rho_{\mathrm{г}}gh$ ($h$ — высота шара). Если $\rho_{\mathrm{г}} < \rho_{\mathrm{в}}$, то $p_2 > p_1$ и, следовательно, на оболочку снизу действует бо́льшая сила, чем сверху — возникает подъемная сила. Легко убедиться (вы сможете это сделать сами для тела достаточно простой формы), что именно эта разница давлений и дает результирующую выталкивающую силу, определяемую законом Архимеда. Недоумение часто возникает потому, что при расчетах плотности газа

62