Метод размерностей

Метод размерностей

Н. Д. Кришталь

В этой статье рассматриваются несколько задач, при решении которых используется метод размерностей. Об этом методе подробно рассказывается в статье А. С. Компанейца «Размерность физических величин и подобие явлений» в этом номере журнала.

Удобнее всего продемонстрировать основные положения метода размерностей на конкретных примерах. Мы сделаем это, анализируя деформации и давления, возникающие при упругом взаимодействии двух тел. Абсолютная величина силы $F$, с которой тела сопротивляются внешнему воздействию, стремящемуся изменить их форму и размеры, определяется законом Гука:

$$F = kx, \qquad (1)$$

где $x$ — величина деформации, $k$ — коэффициент упругости. Для деформации растяжения (или сжатия) выражение (1) можно переписать в развернутом виде:

$$F = \frac{ES}{l}\,\Delta l. \qquad (2)$$

Рис. 1

18

Здесь $E$ — модуль упругости (модуль Юнга) — величина, характеризующая способность материала сопротивляться внешнему воздействию, она не зависит от формы и размеров исследуемого образца, $S$ — площадь сечения, перпендикулярного к направлению действующей извне силы, $l$ — длина и $\Delta l$ — изменение длины деформируемого тела.

Рассмотрим упругое соударение шариков.

З а д а ч а 1. Два шарика радиусом $R$, изготовленные из материала с плотностью $\rho$ и модулем упругости $E$, двигаются навстречу друг другу по прямой, соединяющей их центры, с одинаковыми по величине скоростями $v$ (рис. 1). Между шариками происходит абсолютно упругий удар. Найти максимальную величину деформации $x$ во время удара.

Очевидно, что величина $x$ может зависеть от всех параметров, характеризующих шарики в процессе удара, то есть от $v$, $\rho$, $R$ и $E$:

$$x = x(v,\ \rho,\ R,\ E).$$

Будем искать эту зависимость в виде *)

$$x = A v^{p}\, \rho^{b}\, R^{c}\, E^{d}, \qquad (3)$$

где $A$ — безразмерный коэффициент пропорциональности ($[A] = 1$), $p$, $b$, $c$ и $d$ — неизвестные пока безразмерные показатели степени.

Согласно учению о размерностях формулы размерностей левой и правой частей равенства (3) должны быть одинаковыми:

$$[x] = [v^{p}]\ [\rho^{b}]\ [R^{c}]\ [E^{d}]. \qquad (4)$$

Это налагает определенные условия на значения показателей $p$, $b$, $c$ и $d$. Выпишем размерности всех величин, стоящих в обеих частях равенства (3).

Длина — это основная единица измерения, поэтому сразу записы-

---

*) Представление искомой зависимости в виде степенной функции является допущением, справедливость которого нужно доказать. При строгом использовании метода размерностей такое допущение не делается.

19

ваем
$$[x] = \mathrm{L}, \quad [R] = \mathrm{L}.$$
Отсюда следует, что объемы и площади имеют размерности $\mathrm{L}^3$ и $\mathrm{L}^2$. По определению скорость характеризует путь, проходимый в единицу времени, значит,
$$[v] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}} = \mathrm{LT}^{-1}.$$

Плотность материала — это количество вещества в единице объема, следовательно,
$$[\rho] = \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{L}^3} = \mathrm{ML}^{-3}.$$

Размерность модуля упругости можно установить, воспользовавшись законом Гука и II законом Ньютона. Из формулы (2) следует, что
$$E = \frac{F}{S}\,\frac{l}{\Delta l}.$$

По II закону Ньютона сила равна массе, умноженной на ускорение:
$$F = ma.$$
Значит,
$$E = \frac{ma}{S}\,\frac{l}{\Delta l}. \qquad (5)$$

Ускорение — это изменение скорости в единицу времени, поэтому
$$[a] = \frac{[v]}{[t]} = \mathrm{LT}^{-2}.$$

Размерности остальных величин, входящих в уравнение (5), можно выписать сразу:
$$[m] = \mathrm{M}, \quad [S] = \mathrm{L}^2,$$
$$[l] = [\Delta l] = \mathrm{L}.$$
Следовательно,
$$[E] = \frac{\mathrm{MLT}^{-2}}{\mathrm{L}^2}\,\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}} = \mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2}.$$

Подставим размерности соответствующих величин в равенство (4):
$$\mathrm{L} = (\mathrm{LT}^{-1})^p\,(\mathrm{ML}^{-3})^b\,(\mathrm{L})^c\,(\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2})^d,$$
или
$$\mathrm{L}^1 = \mathrm{L}^{p-3b+c-d}\ \mathrm{M}^{b+d}\ \mathrm{T}^{-(p+2d)}. \qquad (6)$$
Формулы размерностей левой и правой частей одинаковы, если равны показатели степени у одинаковых символов в левой и правой частях. Перепишем уравнение (6) в виде
$$\mathrm{L}^1\mathrm{M}^0\mathrm{T}^0 = \mathrm{L}^{p-3b+c-d}\mathrm{M}^{b+d}\mathrm{T}^{-(p+2d)}.$$

2*

Приравнивая показатели степени при одинаковых символах в левой и правой частях, получим систему уравнений
$$\begin{cases} 1 = p - 3b + c - d, \\ 0 = b + d, \\ 0 = p + 2d, \end{cases}$$
из которой находим
$$c = 1, \quad b = \frac{p}{2}, \quad d = -\frac{p}{2}.$$

Подставим эти значения в (3):
$$x = Av^p\,\rho^{p/2}E^{-p/2}R,$$
или
$$\frac{x}{R} = A\left(\frac{\rho^{1/2}v}{E^{1/2}}\right)^p = A\left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{p/2}. \qquad (7)$$

Полученное выражение определяет вид уравнения для относительной деформации $\dfrac{x}{R}$ шариков. При этом $A$ и $p$ по-прежнему неизвестны.

Сравнивая выражения (3) и (7), можно заметить, что рассмотрение размерностей величин позволило заменить соотношение между пятью размерными величинами ($x$, $v$, $\rho$, $R$, $E$) соотношением между двумя безразмерными величинами:
$$\left[\frac{x}{R}\right] = 1, \quad \left[\frac{\rho v^2}{E}\right] = 1.$$

Если бы мы искали зависимость $x = x(v,\ \rho,\ R,\ E)$ с помощью эксперимента, то использование метода размерностей позволило бы исследовать вместо влияния на $x$ четырех размерных величин влияние только одной безразмерной величины $\dfrac{\rho v^2}{E}$ на $\dfrac{x}{R}$. Это дает большие удобства экспериментатору, так как позволяет намного уменьшить число необходимых опытов.

Следует обратить внимание на то, что коэффициент $A$ невозможно определить методом размерностей, поскольку он никак не связан с показателями степени в формулах размерностей величин. Показатель $p$ связан формулами размерностей, поэтому в некоторых случаях его можно

определить. Попробуем выделить случаи, когда это можно сделать.

В нашей задаче четыре неизвестных показателя $p$, $b$, $c$, $d$ и три уравнения для их определения. Число уравнений, которые можно составить для отыскания неизвестных коэффициентов, равно числу основных единиц измерений. Для определения численных значений всех неизвестных показателей необходимо, чтобы их число было равно числу независимых уравнений в системе. Это возможно только в двух случаях: если выбрать систему единиц измерений с четырьмя основными единицами или если обоснованно уменьшить число независимых переменных (а значит, и число неизвестных показателей).

Мы рассмотрим второй путь. Предположим, что возникающая при ударе деформация зависит только от модуля упругости $E$ и от кинетической энергии шара $\mathrm{K} = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса шара. Здесь мы учитываем размер шара только в выражении для кинетической энергии: $\mathrm{K} = \dfrac{1}{2}\ \dfrac{4}{3}\ \pi R^3 \rho v^2$.

(Это грубое допущение, потому что величина деформации зависит не только от кинетической энергии, но и от радиуса шара $R$.) Такое допущение позволяет приближенно записать:

$$x = A_1 \mathrm{K}^{p_1} E^{b_1}.$$

Размерность кинетической энергии

$$[\mathrm{K}] = [mv^2] = \mathrm{ML^2T^{-2}}.$$

Если теперь составить систему уравнений и определить значения $p_1$ и $b_1$ (аналогично тому, как это было сделано выше), то получим

$$\frac{x}{R} = \frac{A_1}{R}\left(\frac{\mathrm{K}}{E}\right)^{1/3} = A_2 \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{1/3}. \qquad (8)$$

Показатель степени $^1/_3$ в формуле (8) близок к показателю степени $^2/_5$, полученному при строгом математическом решении задачи*).

---

*) Еще об одном способе получения формулы (8) см., например, статью Г. Л. К о т к и н а «Столкновение шариков», «Квант», 1973, № 3.

При использовании метода размерностей очень важно правильно сформулировать задачу, потому что формулировка задачи выделяет те параметры, от которых зависит искомая величина. Решая задачу об упругом соударении шаров, мы учли способность материала шаров сопротивляться распространению деформации внутри шара ($E$), форму и размер исследуемой области (шары радиуса $R$), внешнее воздействие на исследуемую область (через скорость $v$ и плотность материала каждого шара $\rho$).

З а д а ч а 2. Найти деформацию, возникающую в шарах радиуса $R$ при действии на них двух сжимающих сил $F$, направленных по линии, соединяющей центры шаров. Материал шаров одинаков, и его модуль упругости $E$.

Здесь нам, как и в первой задаче, известны форма и размеры объектов (шары радиуса $R$), внешнее воздействие на шары (силы $F$) и свойства материала шаров (модуль Юнга $E$).

Для решения задачи нам нужно найти зависимость величины деформации $x$ от величин $F$, $R$ и $E$. Будем опять искать эту зависимость в виде

$$x = A_3 F^n R^s E^t, \qquad (9)$$

или для размерностей

$$[x] = [F^n]\ [R^s]\ [E^t]. \qquad (10)$$

Размерность силы $F$ равна

$$[F] = [ma] = \mathrm{MLT^{-2}}.$$

Подставив размерности величин $x$, $F$, $R$, $E$ в (10), получим

$$\mathrm{L} = (\mathrm{MLT^{-2}})^n \mathrm{L}^s (\mathrm{ML^{-1}T^{-2}})^t,$$

или

$$\mathrm{L^1M^0T^0} = \mathrm{L}^{n+s-t}\mathrm{M}^{n+t}\mathrm{T}^{-2n-2t}.$$

Приравняем показатели степени при одинаковых символах в левой и правой частях этого уравнения:

$$\begin{cases} 1 = n + s - t, \\ 0 = n + t, \\ 0 = -2n - 2t. \end{cases}$$

Отсюда

$$t = -n, \quad s = 1 - 2n.$$

Следовательно,

$$x = A_3 F^n R^{1-2n} E^{-n} = A_3 R \left(\frac{F}{ER^2}\right)^n,$$

20

Рис. 2.

или
$$\frac{x}{R} = A_3 \left(\frac{F}{ER^2}\right)^n. \qquad (11)$$

В общем случае внешнее воздействие на шары изменяет состояние материала шаров. Это изменение состояния материала характеризуют понятием «напряжение». Напряжением материала в сечении $S$ (рис. 2) под действием внешних сил $F$ называется величина $\sigma = F/S$, где $S$ — площадь сечения. Напряжение, возникающее под действием сил, направленных перпендикулярно к рассматриваемому сечению, называется нормальным напряжением или давлением. Напряжение характеризует удельную нагрузку на материал (нагрузку на единицу площади сечения тела). При увеличении удельных нагрузок материал сначала становится неупругим, а потом разрушается. Поэтому определение напряжений представляет практический интерес.

З а д а ч а 3. Найти напряжение $\sigma$ в месте соприкосновения двух шаров радиуса $R$, возникающее под действием сжимающих сил $F$ (см. рис. 2), если шары изготовлены из материала с модулем упругости $E$.

Очевидно, что $\sigma$ зависит от $F$, $E$ и $R$:
$$\sigma = \sigma(F,\ E,\ R).$$
Будем снова считать, что эта зависимость имеет вид
$$\sigma = A_4 F^{n_1}\ R^{s_1}\ E^{t_1}. \qquad (12)$$
Из определения напряжения следует, что размерность напряжения — это

размерность силы, поделенная на размерность площади:
$$[\sigma] = \frac{[F]}{[S]} = \frac{\mathrm{MLT}^{-2}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2}.$$

Следовательно, учитывая (12),
$$\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2} = (\mathrm{MLT}^{-2})^{n_1}\ \mathrm{L}^{s_1}\ (\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2})^{t_1},$$
откуда
$$\left\{ \begin{array}{l} 1 = n_1 + t_1, \\ -1 = n_1 + s_1 - t_1, \\ -2 = -2n_1 - 2t_1. \end{array} \right.$$

Проделав соответствующие выкладки, получаем
$$\sigma = A_4 F^{n_1} R^{-2n_1}\ E^{1-n_1},$$
или
$$\frac{\sigma}{E} = A_4 \left(\frac{F}{ER^2}\right)^{n_1}. \qquad (13)$$

Заметим еще раз, что метод размерностей широко используют в тех задачах, где из-за большого числа переменных и сложности уравнений, описывающих явление, аналитическое решение невозможно. В этом случае для отыскания нужных зависимостей проводят эксперимент. Результаты эксперимента обрабатывают с помощью безразмерных комбинаций параметров задачи, которые позволяет выделить метод размерностей. Так, в задачах, рассмотренных в этой статье, метод размерностей позволяет утверждать, что относительные деформации и напряжения определяются не отдельными численными значениями параметров $v$, $\rho$, $E$, $R$ или $F$, $E$, $R$, а численным значением безразмерных комбинаций параметров $\dfrac{\rho v^2}{E}$ и $\dfrac{F}{ER^2}$.

У п р а ж н е н и я

1. Показать, что напряжение, возникающее в шарах, движущихся навстречу друг другу со скоростью $v$, в момент столкновения определяется выражением
   $$\frac{\sigma}{E} = A \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^n.$$

2. Показать, что при столкновении двух шаров с радиусами $R_1$ и $R_2$ напряжение в месте соприкосновения описывается формулой
   $$\frac{\sigma}{E} = A \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^n \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^r.$$

21