Геометрические задачи

внутри шара обычно считают давление в шаре всюду одинаковым. Не нужно забывать, что это всего лишь приближение. Если мы определяем саму величину

$$p_2 = p_0 - \rho_\mathrm{г}gh,$$

то, так как $h$ мало — всего несколько метров, $\rho_\mathrm{г}gh \ll p_0$, и мы можем считать $p_2 \approx p_0$. Если же нас интересует разность

$$p_2 - p_1 = \rho_\mathrm{г}gh - \rho_\mathrm{в}gh,$$

то здесь оба члена одинаковы по порядку величины, и учитывать их надо оба. Кстати сказать, то, что мы считаем $\rho_\mathrm{в}$ и $\rho_\mathrm{г}$ постоянными,— тоже приближение, на самом деле они уменьшаются с высотой по мере уменьшения давления. Но учет этого обстоятельства дал бы значительно меньшую поправку к выталкивающей силе, этой поправкой можно пренебречь.

Упражнения

1. Определить подъемную силу воздушного шара, в котором находится $m$ г водорода. Оболочка шара герметичная и сделана из легкого неупругого материала, который может свободно растягиваться.

2. На сколько градусов надо нагреть воздух внутри сообщающегося с атмосферой воздушного шара, сферическая оболочка которого имеет диаметр 10 м и весит 10 кг, для того чтобы шар взлетел? Атмосферное давление 735 мм. рт. ст., температура окружающего воздуха $+27\ ^\circ\mathrm{C}$.

3. Воздушный шар представляет собой баллон постоянного объема, наполненный гелием. Через отверстие в нижней части шар сообщается с атмосферой. Как изменится максимальная высота подъема шара, если гелий нагреть до температуры $T_1$? Температуру атмосферы считать постоянной и равной $T_0$, а давление изменяющимся по закону $p = p_0\,(1 - ah)$, где $a$ — постоянная, $h$ — высота подъема, $p_0$ — давление у поверхности Земли.

Геометрические задачи

1. Высоты $AK$, $BL$ и $CM$ остроугольного треугольника $ABC$ продолжены до пересечения с описанной окружностью в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Пусть $P$, $Q$, $R$ — такие точки окружности, что $\smile AP = \frac{1}{3} \smile ABD$, $\smile BQ = \frac{1}{3} \smile BCE$, $\smile CR = \frac{1}{3} \smile CAF$, причем все дуги имеют одно и то же направление. Доказать, что $\smile AR = \frac{1}{3} \smile ACD$, $\smile CQ = {}^1\!/\!_3 \smile CBF$, $\smile BP = {}^1\!/\!_3 \smile BAE$, а треугольник $PQR$ — равносторонний.

2. Дана трапеция $ABCD$ с параллельными сторонами $AB$ и $CD$, $AB < CD$. Циркулем и линейкой построить точку $H$ на боковой стороне трапеции такую, что прямая $HK$, параллельная основанию трапеции, делит ее на части, площади которых относятся так $m : n$.

3. Пусть $O$ — центр окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$, $R$ — ее радиус, $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$ и $U$, $V$, $W$ — точки пересечения описанной окружности с прямыми $AH$, $BH$ и $CH$. Доказать, что прямые, проведенные через точки $U$, $V$, $W$ параллельно прямым $OA$, $OB$ и $OC$ соответственно, пересекаются в одной точке $P$. Доказать также, что если $H'$ — точка на продолжении отрезка $OH$, такая, что $OH = HH'$, то $PH' = \dfrac{OH^2}{R^2}$.

4. Построить вписанный в окружность треугольник, зная одну его вершину $A$ и точку $H$ пересечения высот треугольника.

5. Заданы окружность, прямая линия $AB$ и точка $X$ на прямой. Построить окружность, касающуюся прямой $AB$ в точке $X$, так, чтобы общая касательная данной и проведенной окружностей имела заданную длину $l$.

Н. В.

63