Арифметико-геометрическая прогрессия

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Арифметико-геометрическая прогрессия

Я. Н. Суконник

Математику можно изучать по-разному. Можно слушать лекции или взять толстую книгу и читать ее подряд: определения, теоремы, доказательства. А можно действовать более активно: прочитать определения и формулировки теорем, отложить книгу в сторону и придумывать доказательства самому. Первый способ поначалу дает всзможность двигаться быстрее. Но только второй способ позволяет глубоко разобраться в математической теории, надолго ее запомнить и научиться применять. Поэтому именно этот способ — самостоятельное открытие старых истин — часто используется в работе математических семинаров, школ, кружков.

Именно на такую активную работу читателей рассчитаны статьи, помещаемые в разделе «Математический кружок». Обычно эти статьи представляют собой цикл задач, объединенных общей темой или методом решения. Некоторые из них решены в тексте, но большинство — и легких, и трудных — оставлены для самостоятельного решения читателю. Иногда краткие решения этих задач (или указания и ответы) помещаются в том же номере, но чаще — в одном из следующих номеров журнала на последних страницах.

Как правило, наш «Математический кружок» доступен ученикам 8—9, а иногда и 7 классов. Письма с замечаниями и пожеланиями по поводу этого раздела просьба присылать с пометкой «Математический кружок» на конверте.

Многие участники Всесоюзной олимпиады ведут регулярную переписку с «Математическим кружком».

В этой статье рассматривается одна последовательность, которую можно условно назвать арифметико-геометрической прогрессией; она задается следующим рекуррентным соотношением:

$$u_1 = a_1, \quad u_{n+1} = qu_n + d, \qquad (1)$$

где $q$ и $d$ — постоянные параметры. Положив в (1) $q = 1$, получим арифметическую прогрессию

$$u_1 = a_1, \quad u_{n+1} = u_n + d,$$

положив $d = 0$, — геометрическую:

$$u_1 = a_1, \quad u_{n+1} = qu_n.$$

(Этим и объясняется то, что мы последовательность (1) назвали арифметико-геометрической прогрессией. По аналогии будем говорить, что $q$ — знаменатель, а $d$ — разность арифметико-геометрической прогрессии.)

Примеры арифметико-геометрических прогрессий

а) $1, \ \dfrac{3}{2}, \ \dfrac{7}{4}, \ \dfrac{15}{8}, \ \dfrac{31}{16}, \ \cdots$

$$\left(u_1 = 1, \ q = \frac{1}{2}, \ d = 1\right);$$

б) $-1, \ \dfrac{3}{2}, \ \dfrac{1}{4}, \ \dfrac{7}{8}, \ \dfrac{9}{16}, \ \cdots$

$$\left(u_1 = -1, \ q = -\frac{1}{2}, \ d = 1\right).$$

На мысль поговорить о таких последовательностях нас натолкнула задача М97, которая была опубликована в «Кванте» № 8 за 1971 год (в «Задачнике «Кванта»). Вот ее условие (несколько видоизмененное):

36

В трапеции $AA_1B_1B$ с основаниями $AB = a$ и $A_1B_1 = a_1$ $(a < a_1)$ проведен отрезок $A_2B_2$, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции $AA_2B_2B$ снова проведен отрезок $A_3B_3$, соединяющий середины диагоналей, и так далее. Найти длину отрезка $A_{n+1}B_{n+1}$.

На рисунке 1 изображена трапеция $AA_nB_nB$ — здесь $AB = a$, $CD$ — средняя линия трапеции, $A_{n+1}$ и $B_{n+1}$ — середины диагоналей $A_nB$ и $AB_n$. Понятно, что точки $A_{n+1}$ и $B_{n+1}$ лежат на $CD$. Обозначив длины отрезков $A_nB_n$ и $A_{n+1}B_{n+1}$ через $a_n$ и $a_{n+1}$, получим

$$a_{n+1} = |A_{n+1}B_{n+1}| =$$
$$= |A_{n+1}D| - |B_{n+1}D| = \frac{1}{2}\,a_n - \frac{1}{2}\,a,$$

и, значит, длины отрезков $A_nB_n$ образуют как раз арифметико-геометрическую прогрессию.

Арифметико-геометрическая прогрессия обладает признаками и арифметической, и геометрической прогрессий. Выведем формулу ее общего члена.

Пусть в соотношении (1) $q \neq 1$ (и $d \neq 0$). Прибавив к обеим частям (1) выражение $\dfrac{d}{q-1}$, получим

$$u_{n+1} + \frac{d}{q-1} = q\left(u_n + \frac{d}{q-1}\right).$$

Учитывая, что это соотношение — рекуррентное, напишем аналогичные равенства для $k = n+1, n, \ldots, 2$:

$$u_{n+1} + \frac{d}{q-1} = q\left(u_n + \frac{d}{q-1}\right),$$

$$u_2 + \frac{d}{q-1} = q\left(a_1 + \frac{d}{q-1}\right).$$

Перемножив выписанные равенства и сократив одинаковые сомножители, получим формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии

$$\boxed{u_{n+1} = q^n\left(a_1 + \frac{d}{q-1}\right) + \frac{d}{1-q}.}\qquad(2)$$

Рис. 1.

В задаче М97 $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,a_n - \dfrac{1}{2}\,a$, то есть $q = \dfrac{1}{2}$, $d = -\dfrac{1}{2}\,a$; поэтому

$$a_{n+1} = |A_{n+1}B_{n+1}| = \frac{1}{2^n}\,(a_1 + a) - a.$$

Сформулируем теперь некоторые основные с в о й с т в а арифметико-геометрической прогрессии (их доказательства мы оставляем читателям).

$1^\circ$. Арифметико-геометрическая прогрессия (1) является возвратной последовательностью второго порядка*) и задается уравнением

$$u_{n+1} = (q+1)\,u_n - qu_{n-1}.\qquad(3)$$

В частности, при $q = 1$ получаем характеристическое свойство арифметической прогрессии

$$u_n = \frac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2}.$$

С л е д с т в и е. Знаменатель $q$ арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле

$$q = \frac{u_{n+1} - u_n}{u_n - u_{n-1}}.\qquad(4)$$

$2^\circ$. Разность $d$ арифметико-геометрической прогрессии определяется

---

*) Последовательность $u_1, u_2, \ldots, u_n, \ldots$ называется возвратной последовательностью $k$-го порядка, если существует натуральное число $k$ и числа $a_1, a_2, \ldots, a_k$ такие, что, начиная с некоторого номера $N$ и для всех следующих номеров $m \geqslant N$
$$u_{m+k} = a_1u_{m+k-1} + a_2u_{m+k-2} + \ldots + a_ku_m.$$
Последнее соотношение называется возвратным уравнением $k$-го порядка.

37

по формуле

$$d = \frac{u_n^2 - u_{n-1}\cdot u_{n+1}}{u_n - u_{n-1}}. \qquad (5)$$

В частности, если $d = 0$ (и $q \neq 1$), получаем характеристическое свойство геометрической прогрессии

$$u_n = \sqrt{u_{n-1}\cdot u_{n+1}}.$$

$3^\circ$ (характеристическое свойство арифметико-геометрической прогрессии). Последовательность $\{a_n\}$, где $a_n = u_{n+1} - u_n$, является геометрической прогрессией с тем же знаменателем $q$, то есть

$$|u_{n+1} - u_n| =$$
$$= \sqrt{|u_n - u_{n-1}|\cdot|u_{n+2} - u_{n+1}|}. \qquad (6)$$

$4^\circ$. Последовательность

$$S_1 = u_1, \quad S_2 = u_1 + u_2, \quad \ldots,$$
$$S_n = u_1 + \ldots + u_n,$$
$$S_{n+1} = S_n + u_{n+1}, \quad \ldots$$

частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задается следующим уравнением:

$$S_{n+1} = (q+2)\,S_n -$$
$$- (2q+1)\,S_{n-1} + qS_{n-2}. \qquad (7)$$

$5^\circ$. Если последовательность частичных сумм $S_1$, $\ldots$, $S_n$, $\ldots$ является арифметико-геометрической прогрессией, то последовательность $u_1, \ldots, u_n \ldots$ является геометрической прогрессией.

З а м е ч а н и е. Из формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии (см. формулу (2)) следует, что

а) при $|q| < 1$ арифметико-геометрическая прогрессия сходится (причем при $0 \leqslant q < 1$ — монотонно) к числу

$$A = \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{d}{1-q};$$

б) при $|q| \geqslant 1$ арифметико-геометрическая прогрессия расходится.

В частности, устремив в задаче М97 число $n$ к бесконечности, получим, что в пределе

$$b = \lim_{n \to \infty}|A_{n+1}B_{n+1}| = \left|\frac{-\dfrac{1}{2}\,a}{1 - \dfrac{1}{2}}\right| = a.$$

(Интересно, что если в задаче М97 вместо условия $a < a_1$ потребовать $a > a_1$, то тогда

$$|A_{n+1}B_{n+1}| = -\frac{1}{2}\,a_n + \frac{1}{2}\,a,$$

то есть

$$|A_{n+1}B_{n+1}| = \left(-\frac{1}{2}\right)^n\left(a_1 - \frac{a}{3}\right) + \frac{a}{3},$$

и

$$b = \lim_{n \to \infty} A_{n+1}B_{n+1} = \frac{a}{3}\Bigg).$$

Знакомство с арифметико-геометрической прогрессией иногда помогает при решении некоторых геометрических задач. Рассмотрим, например, такую з а д а ч у:

Высоты остроугольного треугольника $A_1B_1C_1$ продолжены до пересечения с описанной окружностью соответственно в точках $A_2$, $B_2$, $C_2$, служащих вершинами остроугольного треугольника $A_2B_2C_2$. Высоты треугольника $A_2B_2C_2$ продолжены до пересечения с описанной окружностью соответственно в точках $A_3$, $B_3$, $C_3$, служащих вершинами остроугольного треугольника $A_3B_3C_3$, и так далее — до треугольника $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$ включительно. Найти углы треугольника $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$, считая углы треугольника $A_1B_1C_1$, известными.

Р е ш е н и е. На рисунке 2 изображены окружность и вписанные в нее остроугольные треугольники $A_nB_nC_n$ и $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$. Выразим угол $A_{n+1}$ через угол $A_n$:

$$\angle A_{n+1} = \angle B_{n+1}A_{n+1}C_{n+1} =$$
$$= \angle B_{n+1}A_{n+1}A_n + \angle A_nA_{n+1}C_{n+1} =$$
$$= \angle B_{n+1}B_nA_n + \angle A_nC_nC_{n+1} =$$
$$= \left(\frac{\pi}{2} - \angle A_n\right) +$$
$$+ \left(\frac{\pi}{2} - \angle A_n\right) = \pi - 2\angle A_n,$$

то есть

$$\angle A_{n+1} = -2\angle A_n + \pi$$

и последовательность углов $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{n+1}$ образует арифметико-геометрическую прогрессию. По формуле (2) находим

$$\angle A_{n+1} = (-2)^n\cdot\left(\angle A_1 - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{3}.$$

38