Thứ nguyên của các đại lượng vật lý và sự giống nhau của các hiện tượng

Kvant 1975, số 1 tr. 9-17 Thẻ HXOE

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Thứ nguyên của các đại lượng vật lý và sự giống nhau của các hiện tượng

A. S. Kompaneets

Ý nghĩa thứ nguyên của các đại lượng vật lý

Mọi người đều biết rằng có những con số được đặt tên và trừu tượng. Các số được đặt tên phụ thuộc vào đơn vị đo đã chọn, các số không được đặt tên thì không. Ví dụ: nếu một mảnh đất có 100 mét vuông ( $м^2$ ) và một mảnh đất khác có 200 $м^2$ , thì 100 và 200 là các số được đặt tên và tỷ lệ của chúng $^1/_2$ là một số trừu tượng. Nó sẽ không thay đổi nếu bạn chuyển từ hệ thống đo lường số liệu sang bất kỳ hệ thống đo lường nào khác, đo diện tích bằng arshins vuông hoặc feet vuông *). Tương tự như vậy, tỷ lệ của hai số tiền không phụ thuộc vào loại tiền mà những số tiền này được biểu thị. Điều quan trọng là cả hai số tiền đều được thể hiện bằng cùng một loại tiền tệ.

Bạn có thể chia các số được đặt tên cho nhau, thể hiện các khái niệm hoàn toàn khác nhau, ví dụ: rúp trên mét vuông. Một lô đất 100 $м^2$ , có giá 100 rúp, được bán với giá 1 rúp với giá 1 $м^2$ . Nhưng biểu thức bằng số của kết quả phụ thuộc vào loại tiền tệ mà số tiền được biểu thị và diện tích được đo bằng đơn vị nào. Nói cách khác, do sự phân chia như vậy, một giá trị được đặt tên sẽ thu được một lần nữa. Một ví dụ khác là tốc độ

*) 1 đốt cháy $= 71{,}1$ cm; 1 foot $= 30{,}5$ cm.

tăng trưởng - rất nhiều đơn vị chiều dài trên một đơn vị thời gian. Đôi khi đơn vị tốc độ được đặt một tên đặc biệt: một hải lý (hoặc $1852$ m) mỗi giờ - một hải lý.

Mọi phương trình trong vật lý đều thể hiện mối quan hệ tồn tại khách quan trong tự nhiên, bất kể ý muốn của người viết phương trình này. Và tất nhiên, cả hai vế của phương trình phải được biểu thị bằng những đại lượng được đo bằng cùng đơn vị.

Đơn vị đo của từng đại lượng vật lý được thể hiện thông qua các đơn vị đo cơ bản, việc lựa chọn đơn vị này phần lớn là tùy ý. Công thức biểu thị đơn vị đo của một đại lượng cho trước thông qua các đơn vị đo cơ bản được gọi là thứ nguyên của đại lượng đó. Cả hai vế của mọi phương trình vật lý đều phải có cùng số chiều.

Bạn nên chọn bao nhiêu đơn vị đo lường cơ bản? Chuyển động cơ học được mô tả dưới dạng khoảng cách, nghĩa là độ dài và thời gian. Tiêu chuẩn của hai đại lượng này là cần thiết trong mọi trường hợp. Nhưng hai tiêu chuẩn là không đủ. Thật vậy, chẳng hạn, nếu hai vật có cùng hình dạng và kích thước tương tác với nhau thì gia tốc của chúng có thể khác nhau đáng kể. Gia tốc của mỗi vật, theo định luật thứ hai của Newton, phụ thuộc vào khối lượng của nó. Vì vậy, cần có ít nhất một tiêu chuẩn nữa - khối lượng. Hiện tại, chưa có định luật vật lý nào trong cơ học được biết đến để mô tả những tiêu chuẩn cơ bản mới nào là cần thiết, ngoại trừ độ dài, thời gian và khối lượng. Các ký hiệu tương ứng $\mathrm{L}$ , $\mathrm{T}$ và $\mathrm{M}$ được giới thiệu cho đơn vị đo của các đại lượng cơ bản này. Để biểu thị thứ nguyên của bất kỳ đại lượng $A$ nào, hãy sử dụng ký hiệu $[A]$ . Do đó, thứ nguyên của chiều dài được ký hiệu là $[l] = \mathrm{L}$ , thứ nguyên của thời gian là $[t] = \mathrm{T}$ và kích thước

thứ nguyên của khối lượng là $[m] = \mathrm{M}$ . Độ dài, thời gian và khối lượng được gọi là các đại lượng cơ bản, còn tất cả các đại lượng vật lý khác được gọi là đạo hàm.

Lưu ý rằng sẽ hợp lý khi chỉ nói về thứ nguyên trong mối quan hệ với một hệ đơn vị nhất định. Công thức tính thứ nguyên của cùng một đại lượng vật lý trong các hệ đơn vị khác nhau có thể khác nhau. Trong bài viết này chúng tôi chủ yếu sử dụng hệ thống GHS. Trong hệ đơn vị này, tất cả các công thức thứ nguyên đều có dạng hàm lũy thừa kiểu

$[f] = \mathrm{L}^{\alpha}\,\mathrm{M}^{\beta}\,\mathrm{T}^{\gamma}.$

Loại công thức này là do những cân nhắc vật lý sau đây. Rõ ràng, tỷ lệ của hai giá trị số của bất kỳ đại lượng dẫn xuất nào không nên phụ thuộc vào việc lựa chọn đơn vị đo của đại lượng cơ bản. Ví dụ: cho dù chúng ta đo thời gian bằng giây hay phút, tỷ lệ của hai khoảng thời gian được đo bằng giây sẽ giống như tỷ lệ của các khoảng thời gian được đo bằng phút. Và yêu cầu này luôn được đáp ứng với điều kiện công thức thứ nguyên có dạng đơn thức lũy thừa.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét kích thước của một số đại lượng vật lý dẫn xuất. Hãy bắt đầu với đại lượng động học - gia tốc $a$ . Theo định nghĩa, đây là sự thay đổi tốc độ trên một đơn vị thời gian. Do đó, thứ nguyên của gia tốc là thứ nguyên của tốc độ chia cho thời gian, nghĩa là

$\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}} : \mathrm{T}$ , hoặc

$[a] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}^2}.$

Theo định luật thứ hai của Newton, lực $F$ bằng khối lượng nhân với gia tốc. Từ đây bạn có thể có được thứ nguyên của lực:

$[F] = [m]\,[a] = \left[\frac{ml}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}.$

Giá trị heuristic của thứ nguyên

Vì vậy, sự bình đẳng về mặt vật lý chỉ có thể có ý nghĩa giữa các đại lượng có cùng thứ nguyên. Ví dụ, nếu tại lời giải bài toán việc kiểm tra cho thấy kích thước của cả hai vế của đẳng thức thu được không trùng nhau, thì đã xảy ra lỗi ở lời giải.

Mục đích của bài viết này là chỉ ra rằng khái niệm thứ nguyên không chỉ giúp tìm ra lỗi mà còn giúp thu được kết quả mới.

Tất nhiên, ngay cả những người đã quên định luật Archimedes cũng vẫn nhớ truyền thuyết rằng Archimedes khi khám phá ra định luật này đã thốt lên “Eureka”, dịch từ tiếng Hy Lạp sang tiếng Nga có nghĩa là “đã tìm thấy”. Do đó mới có tính từ “heuristic”, trong tiếng Nga có nghĩa là “giúp tìm ra”, hay “hướng dẫn”, “chỉ ra sự thật”. Ý nghĩa của lý thuyết thứ nguyên sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Chúng ta hãy xem xét mối liên hệ giữa định luật hấp dẫn của Newton và định luật thứ ba của Kepler. Không cần thiết phải xây dựng trước định luật Kepler: nó sẽ xuất hiện từ những lý luận sâu hơn. Để không chỉ viết các công thức, chúng ta hãy thỏa sức phát huy trí tưởng tượng của mình và cố gắng sáng tác một câu chuyện khoa học viễn tưởng.

Vì vậy, hãy để một gia đình phi hành gia bay tới một ngôi sao xa xôi có một đứa con chào đời trên đường đi. Khi anh lớn lên, cha anh muốn giúp anh có được ý tưởng trực quan về Trái đất quê hương và người bạn đồng hành của nó, Mặt trăng. Với mục đích này, người ta đã quyết định phóng một vệ tinh nhân tạo của tàu vũ trụ. Có thể thực hiện điều này theo cách mà vệ tinh quay quanh tàu vũ trụ cùng lúc với Mặt trăng quay quanh Trái đất không? Các thông số khác mô tả chuyển động của một vệ tinh như vậy là gì?

Galileo còn chứng minh rằng trong chân không mọi vật đều rơi tự do với gia tốc bằng nhau. Luật này

có giá trị nếu khối lượng của vật thu hút nhỏ hơn nhiều lần khối lượng của vật thu hút. Đặt khối lượng của tàu vũ trụ dự định di chuyển xa hơn là khoảng 100 t. Sau đó, định luật Galileo có thể được áp dụng, chẳng hạn, cho một quả bóng trẻ em được lấy làm vệ tinh của con tàu này. Thông thường khối lượng $m$ của một quả bóng như vậy không quá 1 kg, thực tế là nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của con tàu.

Định luật vạn vật hấp dẫn ở dạng cơ bản $\left(F = \gamma\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\right)$ có thể áp dụng cho các chất điểm, tức là cho các vật thể có kích thước nhỏ hơn nhiều so với khoảng cách giữa chúng. Giả sử rằng khoảng cách từ tàu vũ trụ đến quả bóng lớn hơn nhiều so với con tàu ở bất kỳ kích thước nào của nó (điều này sẽ được xác nhận bằng các tính toán sau). Quỹ đạo của Mặt trăng gần như tròn, do đó, quỹ đạo của quả bóng cũng phải là hình tròn - nếu không sẽ không có được sự tương đồng như mong muốn. Quỹ đạo như vậy được đặc trưng bởi bán kính $r$ và chu kỳ quỹ đạo là $\tau$ . Chúng ta sẽ chỉ ra cách tìm chu kỳ cách mạng từ việc nghiên cứu các thứ nguyên của các đại lượng vật lý.

Vì lực hấp dẫn $F$ đối với các điểm vật chất nhất định chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng và trong quỹ đạo tròn khoảng cách không thay đổi nên lực cũng không đổi về độ lớn. Chính lực này có thể truyền gia tốc hướng tâm cần thiết cho vệ tinh. Nhưng thay vì viết phương trình chuyển động tương ứng và tìm chu kỳ quay từ đó, chúng ta sẽ chỉ sử dụng các chiều. Chúng ta được cung cấp các đại lượng không đổi sau: lực $F$ có kích thước $\dfrac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}$ , bán kính quỹ đạo $r$ có kích thước $\mathrm{L}$ và khối lượng $m$ của một vật chuyển động có kích thước $\mathrm{M}$ . Chúng ta cần tìm chu kỳ quỹ đạo $\tau$ của chiều $\mathrm{T}$ .

Chúng ta sẽ tìm biểu thức cho thời gian lưu thông dưới dạng

$\tau = A F^x r^y m^z,$

trong đó $x$ , $y$ và $z$ là số mũ chưa xác định, $A$ là một số trừu tượng. Chúng ta hãy viết lại phương trình của $\tau$ dưới dạng đẳng thức về thứ nguyên:

$[\tau] = |F|^{x}\,[r]^{y}\,[m]^{z} = \left(\frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^{2}}\right)^{x}\ \mathrm{L}^{y}\ \mathrm{M}^{z}.$

Chúng ta viết vế trái là $\mathrm{M}^{0}\mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{1}$ và vế phải là $\mathrm{M}^{x+z}\mathrm{L}^{x+y}\ \mathrm{T}^{-2x}$ rồi so sánh số mũ của $\mathrm{M}$ , $\mathrm{L}$ và $\mathrm{T}$ . Chúng ta nhận được ba phương trình với ba ẩn số:

$\begin{array}{c} x + z = 0,\\ x + y = 0,\\ -2x = 1. \end{array}$

Do đó $x = -\dfrac{1}{2}$ , $y = \dfrac{1}{2}$ , $z = \dfrac{1}{2}$ .

Do đó, biểu thức mong muốn cho $\tau$ phải có dạng

$\tau = Am^{1/2}r^{1/2}F^{-1/2} = A\left(\frac{mr}{F}\right)^{1/2}. \qquad (1)$

Nếu các phi hành gia muốn chu kỳ quỹ đạo của quả bóng bằng chu kỳ quỹ đạo của Mặt trăng quanh Trái đất thì phải chọn các đại lượng thích hợp sao cho tỷ lệ $\frac{mr}{F}$ giống như đối với Mặt trăng. Làm thế nào để làm điều này?

Chúng ta hãy viết biểu thức của lực hấp dẫn $F$ :

$F = \gamma\,\frac{mM}{r^{2}}. \qquad (2)$

Ở đây có hai đại lượng mới: khối lượng của vật thu hút $M$ và hằng số hấp dẫn phổ quát $\gamma$ . Chúng ta hãy thay biểu thức của lực $F$ thành đẳng thức (1) và viết đẳng thức này hai lần:

cho hệ Trái Đất-Mặt Trăng

$\tau_{1} = A\left(mr_{1}\ \frac{r_{1}^{2}}{mm_{1}\gamma}\right)^{1/2} = A\left(\frac{r_{1}^{3}}{m_{1}\gamma}\right)^{1/2} \qquad (3)$

( $m$ là khối lượng của Mặt Trăng, $m_{1}$ là khối lượng Trái Đất, $r_{1}$ là khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất);

cho hệ thống bóng tàu

$\tau_{2} = A\left(\frac{r_{2}^{3}}{m_{2}\gamma}\right)^{1/2} \qquad (4)$

( $m_{2}$ là khối lượng của con tàu, $r_{2}$ là khoảng cách từ quả bóng đến con tàu).

Khi đó tỉ lệ các thời kỳ cách mạng

$\frac{\tau_{1}}{\tau_{2}} = \left(\frac{m_{2}}{m_{1}}\ \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}\right)^{1/2}. \qquad (5)$

Khối lượng Trái đất $m_{1} = 6\cdot10^{27}$ g, khối lượng tàu $m_{2} = 100\ m = 10^{8}$ g, bán kính quỹ đạo mặt trăng $r_{1} = 3{,}84\cdot10^{10}$ cm. Các phi hành gia muốn $\tau_{1} = \tau_{2}$ . Để làm điều này, bạn cần phải thực hiện $r_{2} \approx 10^{4}\ см = 100\ м$ . Dễ dàng kiểm tra được rằng trong những điều kiện này, quả bóng sẽ quay quanh con tàu trong khoảng thời gian như Mặt trăng quay quanh Trái đất, tức là trong 29 ngày.

Chúng ta hãy viết lại đẳng thức (5) như sau:

$\frac{\tau_{1}^{2}}{\tau_{2}^{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}\ \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}. \qquad (6)$

Nếu hai vật thể khác nhau quay xung quanh một tâm chung (nghĩa là $m_{1} = m_{2}$ ), chẳng hạn như các hành tinh của hệ mặt trời, thì đẳng thức (6) thể hiện định luật thứ ba của Kepler *): bình phương thời gian quay của các hành tinh có liên hệ với nhau bằng lập phương khoảng cách trung bình của chúng tới Mặt trời. Từ “trung bình” có thể được bỏ qua, vì hình elip của quỹ đạo hành tinh hơi dài và gần với hình tròn.

Chúng ta hãy nhớ rằng Kepler sống trước Newton. Trên thực tế, định luật hấp dẫn bắt nguồn từ các định luật Kepler chứ không phải ngược lại, như đã được thực hiện trong ví dụ “khoa học viễn tưởng” của chúng ta và như được thực hiện trong các sách giáo khoa vật lý và thiên văn học hiện nay. Chúng ta hãy chứng tỏ rằng để rút ra định luật hấp dẫn từ các định luật Kepler, chỉ cần sử dụng học thuyết về các chiều là đủ. Vì vậy, chúng tôi một lần nữa nhấn mạnh đến khả năng tự khám phá, tức là sức mạnh dẫn dắt của các chiều.

*) Chúng ta hãy trình bày các công thức của hai định luật đầu tiên của Kepler.

I. Các hành tinh mô tả các hình elip, tại một trong những tiêu điểm của Mặt trời.

II. Vectơ bán kính nối Mặt trời với hành tinh quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau.

Lưu ý rằng định luật III ở dạng tổng quát hơn được xây dựng như sau: bình phương chu kỳ quay của các hành tinh có liên hệ với nhau như lập phương của bán trục lớn của các quỹ đạo.

Giả sử lực hấp dẫn của các hành tinh đối với Mặt trời có dạng

$F = Bmr^n. \qquad (7)$

Ở đây $B$ là giá trị giống nhau cho tất cả các hành tinh, $m$ là khối lượng của hành tinh, $r$ là khoảng cách từ hành tinh đến Mặt trời. Làm sao người ta có thể đoán rằng lực $F$ phụ thuộc vào khối lượng $m$ một cách chính xác một cách tuyến tính? Điều này có thể được nhận thấy từ định luật Galileo: gia tốc của tất cả các vật thể dưới tác dụng của trọng lực ở cùng một khoảng cách tính từ vật thể thu hút là như nhau. Nhưng gia tốc bằng lực chia cho khối lượng của vật, nên gia tốc khi các vật rơi tự do chỉ có thể bằng nhau trong trường hợp lực tỉ lệ với khối lượng. Chúng ta sẽ coi số mũ $n$ trong định luật hấp dẫn hiện chưa được biết; chúng ta phải xác định nó từ định luật Kepler. Suy cho cùng, chúng ta dường như đã thay thế Newton và muốn đi đến định luật hấp dẫn, biết định luật tổng quát về chuyển động (tức là định luật thứ hai của Newton) và các kết quả của Kepler và Galileo sống trước đây.

Lập luận tương tự như khi suy ra công thức (5), sử dụng giả thiết (7), ta thu được

$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{\frac{1-n}{2}} \qquad (8)$

Để đẳng thức này trùng với định luật Kepler, cần phải đặt $n = -2$ , và điều này dẫn đến biểu thức (7) theo định luật Newton, theo đó lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa các vật.

Người ta cũng có thể hỏi tại sao luật hấp dẫn lại được chọn trước ở dạng lũy thừa (7)? Vấn đề là chỉ có tỷ số của các hàm công suất mới cho cùng một hàm công suất của tỷ số đó. Bình đẳng

$\frac{f\,(r_1)}{f\,(r_2)} = f\left(\frac{r_1}{r_2}\right)$

chỉ được thực hiện nếu $f\,(r) = r^n$ . Cụ thể, hàm lũy thừa của tỷ số này được đưa vào định luật thứ ba của Kepler:

$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2}.$

Do đó, về mặt tất yếu, định luật hấp dẫn của Newton được rút ra từ các định luật của Kepler và Galileo.

Kích thước của hằng số phổ quát

Định luật hấp dẫn bao gồm một hằng số phổ quát $\gamma$ , hằng số này giống nhau đối với mọi vật thể. Vật lý cũng biết các hằng số phổ quát khác. Ví dụ: tốc độ ánh sáng trong chân không $c$ , hằng số Planck $h$ , điện tích cơ bản $e$ , v.v.

Chúng ta hãy xác định đơn vị nào $h$ và $e$ được đo và tìm thứ nguyên của các đại lượng này.

Đối với sóng điện từ có tần số $\nu$ đẳng thức sau đây đúng:

$E = h\nu, \qquad (9)$

trong đó $E$ là năng lượng được truyền bởi sóng. Đại lượng $h\nu$ được gọi là lượng tử năng lượng. Vì tần số là số dao động trên một đơn vị thời gian nên $\nu$ có thứ nguyên nghịch đảo thời gian:

$[\nu] = \left[\frac{1}{t}\right] = \frac{1}{\mathrm{T}}\,.$

Hệ số tỷ lệ chung giữa năng lượng và tần số là hằng số Planck $h$ . Do đó, chiều $h$ là chiều của năng lượng nhân với thời gian

$[h] = [Et].$

Thứ nguyên của năng lượng có thể được xác định theo hai cách. Hoặc đây là chiều của công - nghĩa là lực nhân với đường đi -

$[E] = [Fl] = \left[\frac{ml^2}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{\mathrm{T}^2}\,,$

hoặc chiều của động năng $\dfrac{mv^2}{2}$ —

$[E] = [mv^2] = \left[\frac{ml^2}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{\mathrm{T}^2}\,.$

Trong cả hai trường hợp, kích thước phải giống nhau. Từ đây

$[h] = \left[\frac{ml^2}{t}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{t}\,.$

Bây giờ, sử dụng định luật Coulomb, chúng ta sẽ tìm được thứ nguyên của điện tích $e$ (trong hệ đơn vị SGSE). Giả sử rằng hai điện tích đơn vị trong chân không ở một khoảng cách đơn vị sẽ đẩy nhau với một lực bằng một. Vì đơn vị của chiều dài và lực được xác định trong cơ học nên đơn vị của điện tích có thể được tìm thấy thông qua M, L và T. Theo định luật Coulomb

$F_\text{э} = \frac{e^2}{r^2},$

trong đó $F_\text{э}$ là lực tĩnh điện. Chiều của nó, giống như chiều của bất kỳ lực nào, là $\dfrac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}$ . Do đó, kích thước của điện tích bình phương bằng

$[e^2] = \frac{\mathrm{ML}^3}{\mathrm{T}^2},$

và kích thước điện tích là

$[e] = \frac{\mathrm{M}^{\frac{1}{2}}\,\mathrm{L}^{\frac{3}{2}}}{\mathrm{T}}. \qquad (10)$

Đơn vị đo lường tự nhiên

Tất cả các cuộc thảo luận trước đây của chúng ta về các kích thước đều dựa trên sự lựa chọn tùy ý các đơn vị đo lường cơ bản - centimet, gram, giây. Đối với các đơn vị này (hoặc bội số của chúng), các tiêu chuẩn tương ứng về chiều dài, khối lượng và thời gian đã được tạo ra.

Được biết, việc lưu trữ, đối chiếu các tiêu chuẩn số liệu là rất khó khăn. Tiêu chuẩn mét nổi tiếng của Paris, được làm bằng hợp kim bạch kim và iridium, đã phần nào thay đổi chiều dài và tiếp tục thay đổi do quá trình kết tinh lại. Trái đất quay không đều quanh trục của nó nên tiêu chuẩn thời gian cũng có sai số. Khối lượng của một decimet khối nước ở $4^\circ$ C (đây là tiêu chuẩn khối lượng ban đầu là 1 kg) phụ thuộc vào nguồn nước: nước thông thường chứa tạp chất H $_2$ O.

Tính chất của nước nặng trong đó một trong các nguyên tử hydro được thay thế bằng đơteri. Đó là lý do tại sao các nhà khoa học phải tìm kiếm những tiêu chuẩn đáng tin cậy hơn.

May mắn thay, vẫn tồn tại những tiêu chuẩn đáng tin cậy hơn như vậy; chính thiên nhiên đã lưu trữ chúng mà không cần bất kỳ nỗ lực nào từ phía chúng ta. Những tiêu chuẩn như vậy đã được liệt kê một phần: tốc độ ánh sáng $c$ , điện tích cơ bản $e$ và các đại lượng không đổi phổ quát khác. Nói cách khác, thay vì tiêu chuẩn về độ dài, thời gian và khối lượng, bạn có thể chọn tiêu chuẩn của các đại lượng khác, không phải được tạo ra một cách nhân tạo mà chứa trực tiếp trong các định luật vật lý. Nói chung, số lượng đại lượng cơ bản và do đó đơn vị đo cơ bản có thể được chọn tùy ý. Nhưng hóa ra thuận tiện nhất là chọn ba đại lượng cơ bản. Bộ ba đại lượng nào phù hợp cho mục đích này và đại lượng nào không cung cấp mô tả đầy đủ về kích thước?

Ví dụ: chúng tôi sẽ chỉ ra rằng nếu $e$ và $h$ được chọn làm tiêu chuẩn thì không thể chọn $c$ làm tiêu chuẩn thứ ba. Hãy soạn mối quan hệ $\dfrac{e^2}{h}$ và tìm thứ nguyên của nó (ví dụ: trong hệ thống CGS):

$\left[\frac{e^2}{h}\right] = \left[\frac{ml^3}{t^2}\,\frac{t}{ml^2}\right] = \left[\frac{l}{t}\right] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}}.$

Đây là thứ nguyên của tốc độ, có nghĩa là giá trị $\dfrac{e^2}{h}$ có thể dùng làm tiêu chuẩn cho tốc độ, vì vậy tốc độ ánh sáng $c$ không còn cần thiết làm tiêu chuẩn nữa.

Chúng ta nên chọn tiêu chuẩn thứ ba nào?

Nếu chúng ta quan tâm đến hành vi của các electron trong nguyên tử, thì hóa ra để mô tả nó, việc lấy khối lượng electron $m$ làm đại lượng cơ bản thứ ba là hợp lý. Chúng ta cũng hãy nói thêm rằng các phương trình của electron thực ra không bao gồm chính giá trị $h$ mà bao gồm $h$ chia cho $2\pi$ . Thương số này thường được ký hiệu là $\hbar$ .

Khi đó, thuận tiện nhất là chọn ba tiêu chuẩn độc lập sau đây:

các giá trị chung: $e$ , $\hbar$ và $m$ . Không có kích thước nào trong số chúng có thể được biểu thị thông qua sự kết hợp các kích thước của hai kích thước còn lại, điều này rất dễ được xác minh chỉ bằng một vài lần thử.

Nếu chúng ta muốn tìm bán kính quỹ đạo của electron trong hệ đơn vị mà chúng ta đã chọn, một đại lượng có thứ nguyên là chiều dài, thì bằng phương pháp thứ nguyên, chúng ta thu được biểu thức

$r = \frac{\hbar^2}{me^2}, \qquad (11)$

nghĩa là, thứ nguyên của độ dài trong hệ thống của chúng ta

$[r] = \frac{[\hbar^2]}{[m]\,[e^2]}\;.$

Có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách thay thế các kích thước cho $\hbar$ , $m$ và $e$ , chẳng hạn như trong hệ CGS (đây là hệ đơn vị thường được các nhà vật lý sử dụng nhất), rằng đại lượng $\frac{\hbar^2}{me^2}$ thực sự có thứ nguyên là chiều dài:

$\left[\frac{\hbar^2}{me^2}\right] = \left[\frac{m^2l^4}{t^2}\;\frac{1}{m}\;\frac{t^2}{ml^3}\right] = [l] = \mathrm{L}.$

Tương tự, từ các đại lượng $\hbar$ , $m$ và $e$ người ta có thể thu được duy nhất một đại lượng có thứ nguyên năng lượng:

$E = \frac{me^4}{\hbar^2}, \qquad (12)$

đó là

$[E] = \left[\frac{me^4}{\hbar^2}\right].$

Hãy để người đọc bị thuyết phục bằng cách thu được công thức (7) rằng các đại lượng khác có thứ nguyên như vậy không thể được xây dựng từ $e$ , $\hbar$ và $m$ .

Công thức (11) và (12) chứa các kết quả có tầm quan trọng cơ bản; chúng cho phép ước tính, ít nhất là theo thứ tự độ lớn, các đại lượng đặc trưng cho một nguyên tử: kích thước của nó, năng lượng cần thiết để tách một electron ra khỏi nó. Giá trị chính xác của các đại lượng này thu được bằng lời giải nghiêm ngặt của các phương trình tương ứng. Nhưng dù nó có được quyết định chặt chẽ thế nào

phương trình, đáp số phải luôn có cùng thứ nguyên và được xác định duy nhất bởi các công thức (11) và (12). Tất nhiên, vẫn còn câu hỏi về các hệ số số cho các đại lượng thứ nguyên. Các hệ số này chỉ có thể được lấy từ mức nghiêm ngặt lời giải. Nó chỉ ra rằng trong một số trường hợp, các hệ số số khác với sự thống nhất không quá 2-3 lần. Ví dụ, đối với một electron trong nguyên tử hydro, giá trị bán kính quỹ đạo của electron từ công thức (11) thu được hoàn toàn chính xác:

$r = \frac{\hbar^2}{me^2} = 0{,}5\cdot 10^{-8}\ \textit{см},$

và giá trị năng lượng ion hóa

$E = \frac{me^4}{\hbar^2} = 4{,}3\cdot 10^{-11}\ \textit{эрг}$

hóa ra lớn hơn gấp 2 lần so với thực tế.

Một số đơn vị đo tự nhiên có thể thu được từ bên ngoài thế giới nguyên tử, ví dụ, bằng cách chọn tốc độ ánh sáng $c$ và hằng số hấp dẫn $\gamma$ làm đại lượng cơ bản. Họ cung cấp các tiêu chuẩn đáng tin cậy như $e$ , $\hbar$ và $m$ . Nhưng từ hai tiêu chuẩn thì không thể thu được bất kỳ giá trị nào. Tiêu chuẩn thứ ba được lấy tùy ý.

Nếu chúng ta bỏ qua giá trị $c$ thì ngoài $\gamma$ chúng ta sẽ cần hai tiêu chuẩn tùy ý. Bạn có thể lấy centimet và giây theo tiêu chuẩn như vậy thì không cần đến gam. Rốt cuộc, thay vì nó, hằng số hấp dẫn đã được lấy, bằng trong hệ GHS $6{,}7\cdot10^{-8}$ cm³/g s². Nhưng bây giờ nó được lấy làm đơn vị, vì vậy đơn vị khối lượng không phải là một gam mà là một giá trị mới bằng $1/(6{,}7\cdot10^{-8})$ gam, như bạn có thể dễ dàng thấy, là khoảng 15 tấn. Đơn vị như vậy sẽ thuận tiện cho việc buôn bán buôn bán với đại diện của các nền văn minh ngoài Trái đất nếu họ đồng ý chọn centimet và giây làm hai đơn vị còn lại.

Cơ học chất lỏng, chất khí và lý thuyết tương tự

Khi thiết kế một chiếc máy bay hoặc tàu thủy, trước tiên người nghệ sĩ sẽ vẽ nó theo kế hoạch của nhà thiết kế để phác thảo các tỷ lệ chung. Dựa trên bản vẽ này, các bản vẽ chi tiết hơn được thực hiện và tính toán được thực hiện. Nhưng những tính toán tiên tiến nhất không thể cung cấp mọi thứ - xét cho cùng, một thiết kế mới cũng phải có những đặc tính mới. Nếu bạn ngay lập tức chế tạo một chiếc máy bay hoặc tàu thủy theo bản vẽ và tính toán thì việc thử nghiệm chúng sẽ quá nguy hiểm và việc phát triển sản xuất hàng loạt sẽ rất tốn kém. Do đó, trước tiên, một mô hình thu nhỏ tương tự như sản phẩm được thiết kế sẽ được chế tạo và thử nghiệm trong hầm gió hoặc trong bể để thử nghiệm với tàu.

Trong những điều kiện nào thì dòng không khí hoặc nước xung quanh mô hình sẽ giống với dòng chảy xung quanh mô hình ban đầu? Nói cách khác, khi nào bạn sẽ có được một mô hình, chứ không chỉ là một món đồ chơi, trông giống với đồ vật đó, ngay cả khi đó là một bản sao chi tiết?

Dựa trên học thuyết về các chiều, chúng ta có thể đưa ra điểm chung đáp số cho câu hỏi được đặt ra. Sự tương tự động thực sự giữa một vật và một mô hình sẽ đạt được khi các tỷ số của tất cả các đại lượng có trong phương trình chuyển động của chất khí hoặc chất lỏng là như nhau đối với bản chất và đối với mô hình. Những số lượng này là gì?

Vì mô hình tương tự về mặt hình học với cuộc sống nên tất cả các kích thước của nó được xác định bởi một kích thước duy nhất. Ví dụ: trên thực tế, nếu sải cánh của máy bay là 50 m và chiều dài thân máy bay là 30 m thì mô hình có sải cánh 10 m phải có thân máy bay 6 m. Sau đó, chỉ cần thực hiện tất cả các so sánh với một kích thước đã chọn $d$ là đủ.

Một chất lỏng hoặc chất khí chảy được đặc trưng bởi tốc độ $v$ . Khi lập mô hình, họ đảm bảo rằng bản thân mô hình đứng yên và khí hoặc chất lỏng chảy vào mô hình. Tất cả đều tương đối

Kết quả là tốc độ sẽ không thay đổi, nhưng chúng là tốc độ duy nhất quan trọng để kiểm tra các đặc tính động. Chỉ cần so sánh với một tốc độ đặc trưng là đủ, được coi là tốc độ của dòng chảy hoặc tốc độ của chính vật thể (trong tự nhiên). Từ quan điểm cơ học, việc lựa chọn chính xác cái gì không quan trọng. Ngoài tốc độ, một môi trường chuyển động còn được đặc trưng bởi mật độ $\rho$ , tức là khối lượng trên một đơn vị thể tích. Chất lỏng và chất khí cũng khác nhau về độ nhớt: nước chảy nhẹ hơn dầu thực vật hoặc dầu bôi trơn, dầu chảy nhẹ hơn mật ong, v.v. Nói cách khác, dòng chảy phụ thuộc vào một đặc tính đặc biệt của môi trường, được gọi là hệ số nhớt $\eta$ .

Hãy cùng tìm hiểu xem $\eta$ có chiều gì. Trở lại thế kỷ trước, Poiseuille đã chứng minh bằng thực nghiệm rằng tốc độ chất lỏng chảy qua một mao quản hẹp tỷ lệ thuận với chênh lệch áp suất $\Delta p$ (ở các đầu khác nhau của mao quản), bình phương bán kính của nó $r$ và tỷ lệ nghịch với chiều dài của mao quản $l$ và hệ số $\eta$ . Hãy viết phương trình tương ứng của các kích thước:

$[v] = \left[\frac{\Delta p r^2}{\eta l}\right].$

Do đó kích thước $\eta$

$[\eta] = \left[\frac{\Delta p r^2}{v l}\right].$

Nhưng tích $\Delta p r^2$ có thứ nguyên là lực (áp suất là lực trên một đơn vị diện tích), vì vậy

$[\eta] = \left[\frac{mlt}{t^2 ll}\right] = \left[\frac{m}{lt}\right] = \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{LT}}.$

Trong hệ thống GHS, đơn vị đo hệ số nhớt được gọi là “poise” (được đặt theo tên của Poiseuille). Một trạng thái cân bằng - độ nhớt cao; ví dụ, nước ở nhiệt độ phòng có độ nhớt chỉ $0{,}01$ cân bằng.

Vì vậy, với chuyển động đều của một vật trong một môi trường, dòng chuyển động của nó xung quanh nó hoàn toàn được xác định bởi bốn đại lượng $d$ , $v$ , $\rho$ và $\eta$ . Đối với một hình dạng nhất định của các phần thân được sắp xếp hợp lý, các mô hình dòng chảy hoàn toàn

hoàn toàn giống nhau nếu tỷ số không thứ nguyên của các đại lượng thứ nguyên là như nhau. Nhưng hóa ra từ bốn đại lượng chiều được liệt kê, chỉ có thể xây dựng được một tổ hợp không thứ nguyên. Nó được gọi là số Reynolds và được ký hiệu bằng ký hiệu $\mathrm{Re}$ :

$\mathrm{Re} = \frac{dv\rho}{\eta}.$

(Ở đây bạn có thể sử dụng lại phương pháp số mũ chưa biết $x$ , $y$ , $z$ , như trong công thức suy ra (1).)

Hai luồng có cùng số $\mathrm{Re}$ giống nhau về mọi mặt. (Nói một cách chặt chẽ, điều này đúng miễn là không cần tính đến khả năng nén của môi trường, vốn tạo ra một hằng số bổ sung trong các phương trình chuyển động. Điều này sẽ xảy ra ở tốc độ gần bằng tốc độ âm thanh, nhưng chúng ta sẽ gác câu hỏi này sang một bên). Lưu ý rằng nếu có thể xây dựng một số quan hệ không thứ nguyên từ các đại lượng đặc trưng cho dòng chảy thì sự tương tự động chỉ đạt được nếu tất cả các quan hệ không có thứ nguyên đều bằng nhau. Thật vậy, chỉ trong trường hợp này, hai hiện tượng mới có thể được coi là tương tự nhau và từ những đặc điểm nhất định của hiện tượng này, người ta mới có thể thu được các đặc điểm của hiện tượng kia bằng cách tính toán lại đơn giản, giống như khi chúng ta chuyển từ hệ thống đơn vị này sang hệ thống đơn vị khác.

Ví dụ: giả sử mô hình đang được thử nghiệm nhỏ hơn 5 lần so với mô hình ban đầu. Sau đó, bạn cần thổi nó với tốc độ lớn hơn năm lần hoặc thay vì không khí lấy khí, tỷ lệ $\frac{\rho}{\eta}$ lớn hơn 5 lần so với không khí, hoặc thay đổi cả tốc độ và khí, nhưng sao cho $\mathrm{Re}$ không thay đổi. Vì vậy, đặc biệt, có thể đo lực nâng hoặc lực cản không khí cho một máy bay mô hình và tính toán lại chúng cho đời thực. Các lực tác dụng lên các điểm riêng lẻ của máy bay cũng được xác định, điều này rất quan trọng trong việc tính toán cường độ.

2 Lượng tử số 1

Dựa trên kích thước của các đại lượng, có thể chỉ ra cách chuyển đổi được thực hiện từ mô hình sang đối tượng. Từ $d$ , $v$ , $\rho$ và $\eta$ một đại lượng có thứ nguyên của lực có thể được xây dựng theo hai cách:

$F_1 = \rho v^2 d^2$

Và

$F_2 = d\eta v.$

Bạn nên thích cái nào hơn? Hãy lấy mối quan hệ $\frac{F_1}{F_2}$ :

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{dv\rho}{\eta} = \mathrm{Re}.$

Hóa ra tỷ lệ này bằng số Reynold. Do đó, nếu mô hình và số thực có cùng số Reynolds thì cả hai biểu thức lực đều tương đương nhau và bạn có thể sử dụng một trong hai biểu thức. Do đó, lực tác dụng lên mô hình khác nhiều lần so với lực trong tự nhiên vì tích $dv\eta$ (hoặc $\rho v^2 d^2$ ) của mô hình và của tính chất khác nhau.

Với ví dụ cụ thể này, chúng tôi muốn chỉ ra rằng lý thuyết các chiều làm cơ sở cho việc mô hình hóa.