Mối quan hệ giữa các phân khúc, diện tích và khối lượng

Mối quan hệ giữa các phân đoạn, diện tích và khối lượng

G. V. Dorofeev

Như đã biết, chương trình giảng dạy của môn hình học phổ thông được cấu trúc theo cách mà học sinh lớp 9 và lớp 10 chủ yếu giải quyết bài toán theo phép đo lập thể và phép đo phẳng bài toán chỉ xuất hiện trong thực tế của họ liên quan đến việc sử dụng lượng giác. Tất nhiên, điều này là hoàn toàn tự nhiên, nhưng tình trạng này không có tác dụng tốt nhất trong kỳ thi tuyển sinh: các ứng viên, sau khi giải quyết tốt các vấn đề có thể giải quyết bằng các phép tính lượng giác trực tiếp (đôi khi rất cồng kềnh), lại gặp khó khăn bởi các vấn đề tương đối đơn giản đòi hỏi lời giải chỉ yêu cầu kiến ​​thức tích cực về tiêu chuẩn và nói chung là các định lý nổi tiếng về phép đo phẳng.

Điều này dẫn đến một kết luận hiển nhiên: khi chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh, cần đặc biệt chú ý đến việc kích hoạt kiến ​​thức hình học đã tiếp thu ở lớp 6–8; cần giải thêm bài toán câu hỏi yêu cầu ý tưởng “thuần túy hình học”.

Hãy nhấn mạnh ngay rằng chúng tôi không nói về bất kỳ sự đối lập nào giữa các phương pháp hình học và lượng giác thuần túy lời giải bài toán. Ngược lại, sự kết hợp hợp lý của chúng có thể thành công nhất, và khi đó trong các kỳ thi sẽ không còn mong muốn giải một bài toán hình học đơn giản bài toán bằng cách sử dụng các phép tính khó hiểu hoặc ngược lại, xem xét nhiều hình tam giác giống nhau trong các bài toán trong đó việc đưa ra các hàm lượng giác là một con đường tự nhiên và hợp lý dẫn đến lời giải. Học cách kết hợp thông minh các phương pháp này là bài toán chính khi chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét bài toán liên quan đến việc chia các đoạn đường, diện tích và thể tích ở một khía cạnh nào đó. Chúng tôi sẽ đảm bảo rằng bài toán thuộc loại này hoàn toàn không khó và trong mọi trường hợp, độ phức tạp khách quan của chúng không tương ứng với những khó khăn mà chúng thường gây ra cho người nộp đơn.

Hãy bắt đầu với một bài toán rất đơn giản, tuy nhiên, rất ít người nộp đơn giải được.

Vấn đề 1 (MSU, Khoa Địa chất, 1964). Điểm K chia đường trung tuyến AD của tam giác ABC theo tỉ lệ 3:1 tính từ đỉnh. Đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỷ lệ nào?

Dễ dàng nhận thấy rằng các tam giác $BAE$ và $BEC$ (Hình 1) có một đỉnh chung và hai đáy của chúng nằm trên cùng một đường thẳng nên tỉ số diện tích cần tìm bằng tỉ số độ dài các đoạn $AE$ và $EC$, do đó cần tìm ra tỉ số giữa đường thẳng $BE$ chia cạnh $BC$.

Có vẻ khá rõ ràng rằng đường dẫn tính toán trực tiếp (ví dụ như giới thiệu đường dẫn tính toán phụ trợ)

Hình 1.

55

các yếu tố cơ thể - độ dài các cạnh hoặc kích thước các góc) gắn liền với những khó khăn lớn và khó có thể dẫn đến thành công. Đồng thời, một ý tưởng hình học thuần túy lời giải được tìm kiếm một cách tự nhiên. Trên thực tế, chúng ta cần tìm xem một cạnh của góc $DAC$ được chia theo tỷ lệ nào và chúng ta biết rằng cạnh thứ hai của nó được chia thành 4 đoạn bằng nhau. Và bây giờ định lý về việc chia các cạnh của một góc cho các đường thẳng song song không thể không xuất hiện trong đầu, và tất nhiên, việc vẽ các đường thẳng song song với $BK$ đi qua các điểm chia đường trung tuyến là điều hoàn toàn tự nhiên. Sau đó, bốn đoạn bằng nhau xuất hiện ở bên $AC$. Đối với đoạn thứ năm $FC$, chúng ta vẫn cần lợi dụng $AD$ là đường trung tuyến nên $DF$ là đường trung bình của tam giác $BCE$, và do đó $FC = EF$.

Như vậy, cạnh $AC$ được chia thành 5 đoạn bằng nhau và tỉ lệ cần tìm là $3 : 2$.

Nếu chúng ta suy nghĩ sâu hơn về lời giải được đề xuất, thì rõ ràng là bài toán tổng quát hơn có thể được giải theo cách tương tự: thay vì mối quan hệ $3 : 1$, chúng ta có thể xem xét phép chia tùy ý của đoạn $AD$, và hơn nữa, trong lời giải không cần thiết rằng $AD$ là trung vị mà chỉ cần điểm $D$ chia $BC$ ở một khía cạnh nào đó.

Hãy tự giải quyết vấn đề này tổng quát hơn bài toán.

Hình 2.

56

Bài 2. Trên các cạnh $AB$ và $AC$ của tam giác cân $ABC$ lấy các điểm $K$ và $L$ sao cho $AK : KB = 2$, $AL : LC = 1/2$. Đường $KL$ chia chiều cao $AD$ theo tỷ lệ nào?

Ý tưởng lời giải của bài toán này giống với ý tưởng trước và bản thân lời giải được thể hiện rõ ràng trong Hình 2: tỷ lệ mong muốn là $2x : (x + y)$ và theo điều kiện $\dfrac{2x}{x + 2y} = \dfrac{1}{2}$, từ đó $3x = 2y$, và do đó,

$$\frac{2x}{x + y} = \frac{2}{1 + \dfrac{y}{x}} = \frac{4}{5}.$$

Và một lần nữa, hóa ra là trên thực tế, chúng ta đang giải một bài toán tổng quát hơn: chúng ta cần sự bằng nhau của các cạnh của tam giác $ABC$ chỉ để coi chiều cao $AD$ là đường trung tuyến, để theo cách tương tự, chúng ta có thể giải bài toán cho một tam giác tùy ý trong đó biết các điểm $D$, $K$ và $L$ chia các cạnh của nó.

Rất thường xuyên, trong các nhiệm vụ được giao cho người nộp đơn, cần phải tính diện tích phần bị cắt của đa giác hoặc thể tích của phần bị cắt của khối đa diện nếu điểm phân chia của các cạnh hoặc cạnh được chỉ định bằng cách nào đó. Các tuyên bố sau đây cực kỳ hữu ích trong những vấn đề này:

(1) Nếu trong tam giác $ABC$ $AK = \alpha AB$, $AL = \beta AC$, thì

$$S_{\triangle AKL} = \alpha\beta S_{\triangle ABC}.$$

(2) Nếu trong hình chóp tam giác $SABC$ $SK = \alpha SA$, $SL = \beta SB$, $SM = \gamma SC$, thì $V_{SKLM} = \alpha\beta\gamma V_{SABC}$.

Câu (1) được chứng minh đơn giản nhất bằng cách sử dụng công thức tính diện tích tam giác $S = \dfrac{1}{2} bc \sin A$ và câu (2) - bằng phương pháp “cắt tuần tự”: từ kim tự tháp $SABC$ người ta phải đi đến kim tự tháp $SABM$, sau đó đến $SALM$ và đến $SKLM$. Ý tưởng này dẫn đến lời giải theo dõi bài toán đơn giản.

Vấn đề 3 (MSU, khoa địa chất, 1968). Trong tam giác $ABC$ vẽ các đường phân giác $AD$ và $CF$ của các góc $BAC$

Hình 3.

Hình 4.

và $ACB$. Tìm tỉ số diện tích của các hình tam giác $ABC$ và $AFD$, nếu $AB = 21$, $AC = 28$, $CB = 20$.

Tam giác $AFD$ (Hình 3) có thể được lấy từ $ABC$ như sau: tam giác đầu tiên $ADB$ bị cắt bỏ và từ đó là tam giác $AFD$. Để tính tỉ số cần tìm, ta vận dụng định lý đường phân giác của một góc trong tam giác chia hai cạnh đối diện thành những phần tỉ lệ với các cạnh kề. chúng tôi có

$$\frac{BD}{DC} = \frac{BA}{AC} = \frac{3}{4}\ ,\qquad \frac{BF}{FA} = \frac{BC}{CA} = \frac{5}{7}\ ,$$

từ đâu (sử dụng tỷ lệ dẫn xuất)

$$\frac{BD}{BC} = \frac{3}{7}\ ,\qquad \frac{BF}{BA} = \frac{5}{12}\ .$$

Kể từ đây,

$$S_{\triangle AFD} = \frac{7}{12}\cdot S_{\triangle ABD} = \frac{7}{12}\cdot\frac{3}{7}\times$$

$$\times S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4}\,S_{\triangle ABC},$$

vậy tỉ số cần tìm là 4.

Vấn đề 4 (MSU, Khoa Sinh học, 1970). Cho một tam giác $ABC$ có diện tích 1. Trên các đường trung tuyến $AK$, $BL$ và $CM$ lần lượt lấy các điểm $P$, $Q$ và $R$ sao cho

$$AP = PK,\ \ BQ = \frac{1}{2}\,QL,\ \ CR = \frac{5}{4}\,RM.$$

Tìm diện tích tam giác $PQR$.

Gọi $O$ là giao điểm của các đường trung tuyến (Hình 4); chúng tôi tính diện tích cần thiết bằng tổng diện tích của ba ma-

hình tam giác nhỏ có đỉnh $O$. Tam giác $OPQ$ thu được từ tam giác $OAB$ bằng cách cắt bỏ các đoạn $OP$ và $OQ$ trên các cạnh của nó; cùng lúc

$$AP = \frac{1}{2}\,AK,\quad AO = \frac{3}{2}\,AK,\ \text{так что}$$

$$OP = \frac{1}{6}\,AK = \frac{1}{4}\,AO. \qquad \text{Аналогично,}$$

$$OQ = \frac{1}{2}\,OB,\ \text{поэтому}$$

$$S_{\triangle OPQ} = \frac{1}{8}\,S_{\triangle OAB}\,.$$

Mặt khác, dễ dàng thấy rằng $S_{\triangle AOB} = \dfrac{1}{3}\,S_{\triangle ABC}$, vậy

$$S_{\triangle OPQ} = \frac{1}{24}\,.$$

Tính diện tích của các hình tam giác $OPR$ và $OQR$ theo cách tương tự, chúng ta thu được $S_{\triangle PQR} = \dfrac{1}{12}$.

Bài 5 (MSU, Khoa Hóa học, 1970). Trong lăng kính tam giác vuông $ABCA_1B_1C_1$ có $AC = 6$, $AA_1 = 8$, qua đỉnh $A$ có một mặt phẳng cắt các cạnh $BB_1$ và $CC_1$ lần lượt tại các điểm $M$ và $N$. Mặt phẳng này chia thể tích của lăng kính theo tỷ lệ nào nếu $BM = MB_1$ và $AN$ là phân giác của góc $CAC_1$?

Dễ dàng nhận thấy rằng tỉ số thể tích của các hình chóp $ACBMN$ và $ACBB_1C_1$ bằng tỉ số diện tích các đáy của chúng, và để tìm tỉ số này cần tìm tỉ số giữa điểm $N$ chia cạnh $CC_1$

57

(Hình 5). Dễ dàng tìm thấy mối quan hệ cuối cùng: theo định lý Pythagore $AC_1 = 10$ và theo định lý phân giác $CN : NC_1 = 3 : 5$.

Bây giờ không khó để tính $S_{CBMN} : S_{CBB_1C_1} = 7 : 16$ đó, và do đó
$$V_{ACBMN} = \frac{7}{16}\, V_{ACBB_1C_1}.$$

Mặt khác, hình chóp $ACBB_1C_1$ được hình chóp $AA_1B_1C_1$ bù với toàn bộ lăng kính, thể tích của nó bằng $^1/_3$ thể tích của lăng kính, sao cho thể tích của hình chóp $ACBB_1C_1$ bằng $^2/_3$ thể tích của lăng kính. Do đó, thể tích của hình chóp $ACBMN$ bằng $^7/_{24}$ thể tích của lăng kính và tỷ lệ cần tìm là $7 : 17$.

Bài 6 (MSU, Khoa Toán tính toán và Điều khiển học, 1973). Hình cầu đi qua các điểm A, B, C, D và cắt các đoạn SA, SB, SC và SD lần lượt tại các điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$. Được biết, $SD_1 = 9/4$, $DD_1 = 47/36$, tỷ lệ diện tích của các hình tam giác $SA_1B_1$ và $SAB$ là $15 : 32$, tỷ lệ thể tích của hình chóp $SB_1C_1D_1$ và $SBCD$ là $1701 : 4096$, và tỷ lệ thể tích của hình chóp $SA_1B_1C_1$ và $SABC$ bằng $105 : 256$. Tìm các đoạn $SA_1$, $SB_1$, $SC_1$.

Dễ hiểu là trong bài toán chúng ta đang nói về hình chóp tứ giác

$SABCD$, trên các cạnh lấy các điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ (Hình 6). Đối với lời giải bài toán, chúng tôi giảm dữ liệu phức tạp về mối quan hệ giữa diện tích và thể tích theo tỷ lệ của các phân đoạn tương ứng.

Đã xây dựng một hệ thống bình đẳng
$$\frac{SA_1}{SA}\cdot\frac{SB_1}{SB} = \frac{15}{32}, \qquad \frac{SB_1}{SB}\cdot\frac{SC_1}{SC}\cdot\frac{SD_1}{SD} = \frac{1701}{4096},$$
$$\frac{SA_1}{SA}\cdot\frac{SB_1}{SB}\cdot\frac{SC_1}{SC} = \frac{105}{256}$$

và cho rằng $SD_1 : SD = 81 : 128$, chúng ta tìm thấy
$$\frac{SA_1}{SA} = \frac{5}{8}, \qquad \frac{SB_1}{SB} = \frac{3}{4}, \qquad \frac{SC_1}{SC} = \frac{7}{8}.$$

Mặt khác, các đoạn thẳng $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ là các cát tuyến của mặt cầu được thảo luận trong điều kiện bài toán, và do đó tích của các cát tuyến này với các phần bên ngoài của chúng đều bằng bình phương của tiếp tuyến với mặt cầu vẽ từ điểm $S$ (ở đây chúng ta sử dụng mệnh đề hiển nhiên nhưng chưa được chứng minh về tiếp tuyến và cát tuyến cho tất nhiên, sự tương tự của nó với mệnh đề tương ứng đối với hình tròn không phải là bằng chứng; Vì vậy, $SA_1\cdot SA = SB_1\cdot SB =$
$$= SC_1\cdot SC = SD_1\cdot SD = \frac{9}{4}\cdot\frac{128}{36} = 8.$$

Hình 5.

Hình 6.

58

Bây giờ không khó để tìm thấy các phân khúc cần thiết:

$$SA_1 = \sqrt{5}, \quad SB_1 = \sqrt{6}, \quad SC_1 = \sqrt{7}.$$

Bài tập

1 (MSU, Khoa Sinh học, 1970). Các điểm sau được lấy trên các cạnh của tứ giác lồi $ABCD$ của diện tích 1: $K$ trên $AB$, $L$ trên $BC$, $M$ trên $CD$ và $N$ trên $DA$. Trong trường hợp này, $AK : KB = 2 : 1$, $BL : LC = 1 : 3$, $CM : MD = 1 : 1$, $DN : NA = 1 : 5$. Tìm diện tích hình lục giác $AKLCMN$.

2 (MSU, Khoa Sinh học, 1972). Trong tam giác $ABC$, các đường phân giác $AD$ và $BE$ cắt nhau tại điểm $O$. Tìm tỉ số diện tích của tam giác $ABC$ với diện tích của tứ giác $ODCE$, biết rằng $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

3 (MSU, Khoa Hóa học, 1972). Trong tam giác $ABC$, góc $A$ bằng $45^\circ$ và góc $C$ là nhọn. Từ giữa cạnh $BC$ một đường vuông góc $NM$ được thả xuống cạnh $AC$. Diện tích của hình tam giác $NMC$ và $ABC$ có tỷ lệ $1 : 8$. Tìm các góc của tam giác $ABC$.

4 (MSU, Khoa Sinh học, 1972). Trong hình bình hành $ABCD$, điểm $E$ chia đôi cạnh $CD$, phân giác của góc $ABC$ cắt đoạn $AE$ tại điểm $O$. Tìm diện tích tứ giác $OBCE$, biết rằng $AD = a$, $DE = b$, $\sphericalangle ABO = \alpha$.

5 (MSU, Khoa Hóa học, 1970). Mặt phẳng cắt các cạnh bên $SA$, $SB$, $SC$ của hình chóp $SABC$ lần lượt tại các điểm $K$, $L$, $M$. Mặt phẳng này chia thể tích của hình chóp theo tỷ lệ nào nếu $SK : KA = SL : LB = 2 : 1$ và đường trung tuyến $SN$ của tam giác $SBC$ bị chia đôi bởi mặt phẳng này?

6 (MSU, Khoa Hóa học, 1970). Mặt phẳng cắt các cạnh $A_1B_1$, $B_1C_1$ và $BC$ của lăng trụ tam giác $ABCA_1B_1C_1$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$ và $P$. Mặt phẳng này chia thể tích của lăng kính theo tỷ lệ nào nếu $B_1M : A_1B_1 = 1 : 2$, $B_1N : B_1C_1 = 2 : 3$, $BP : CB = 1 : 3$?

7. Xây dựng câu 1 và 2 từ bài viết (trang 56) cho trường hợp các điểm $K$, $L$, $M$ không nằm trên các cạnh (cạnh) mà nằm trên phần mở rộng của chúng.

8. (MSU, Khoa Toán tính toán và Điều khiển học, 1973). Các điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ nằm trên một hình cầu có bán kính $\sqrt{2}$. Các đoạn $AD$, $BE$ và $CF$ cắt nhau tại điểm $S$, nằm cách tâm hình cầu 1 đơn vị. Thể tích của hình chóp $SABC$ và $SDEF$ có ​​liên quan là $1 : 9$, hình chóp $SABF$ và $SDEC$ có liên quan là $4 : 9$, hình chóp $SAEC$ và $SDBF$ là $9 : 4$. Tìm các đoạn $SA$, $SB$, $SC$.

9. Điểm $K$, $L$, $M$ chia các cạnh $AB$, $BC$ và $CA$ của tam giác $ABC$ lần lượt liên quan đến $\alpha : \beta$, $\gamma : \delta$, $\rho : \sigma$ (đếm mỗi lần từ đỉnh được đề cập trước) và $\alpha + \beta = \gamma + \delta = \rho + \sigma = 1$. Đường $KM$ chia đoạn $AL$ theo tỷ lệ nào? Đường $BM$ chia $CK$ theo tỷ lệ nào?