Sự bình đẳng từ các trận đấu

Hình 2.

Tương tự như vậy chúng ta nhận được

$$\sphericalangle B_{n+1} = (-2)^n \cdot \left( \sphericalangle B_1 - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi}{3}$$

Và

$$\sphericalangle C_{n+1} = (-2)^n \cdot \left( \sphericalangle C_1 - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi}{3}.$$

Tóm lại, chúng tôi cung cấp cho độc giả một số bài toán dành cho lời giải độc lập.

Bài tập

1. Một tam giác nhọn $A_1B_1C_1$ ngoại tiếp một tam giác nhọn $A_2B_2C_2$, các cạnh của tam giác này tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ tại các đỉnh của nó. Gần tam giác $A_2B_2C_2$ tam giác nhọn $A_3B_3C_3$ được mô tả theo cách tương tự, v.v., cho đến và bao gồm cả tam giác $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$. Tìm các góc của tam giác $A_{n+1}\,B_{n+1}\,C_{n+1}$.

2. Một tam giác $A_2B_2C_2$ được mô tả gần tam giác $A_1B_1C_1$, các đỉnh của tam giác này trùng với tâm của các đường tròn ngoại tiếp trong tam giác $A_1B_1C_1$. Xung quanh tam giác $A_2B_2C_2$ tam giác $A_3B_3C_3$ được mô tả theo cách tương tự, v.v. Tìm các góc của tam giác $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$. Chứng minh rằng tam giác $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$ khi $n$ tăng vô hạn sẽ hướng tới tam giác đều.

3. Các đường phân giác của tam giác $A_1B_1C_1$ được kéo dài cho đến khi cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ tại các điểm $A_2$, $B_2$, $C_2$ tương ứng. Các đường phân giác của tam giác $A_2B_2C_2$ cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại các điểm $A_3$, $B_3$, $C_3$, v.v. Tìm các góc của tam giác $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$.

4. Tam giác $A_1B_1C_1$ được nội tiếp với tam giác $A_2B_2C_2$, được hình thành bởi hình chiếu của tâm của đường tròn nội tiếp lên các cạnh của nó. Tam giác $A_2B_2C_2$ được nội tiếp theo cách tương tự vào tam giác $A_3B_3C_3$, v.v. Tìm các góc của tam giác $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$.

Câu đố

Trong các ví dụ sau, các số khác nhau được mã hóa bằng các chữ cái khác nhau (có thể khác nhau trong các ví dụ khác nhau). Giải mã!

1. $\text{do} \times \text{do} = \text{sol}$.
2. $\text{la} \times \text{la} = \text{sol}$.
3. $\text{си} \times \text{си} = \text{соль}$.
4. $\text{до} \times \text{до} \times \text{до} = \text{соль}$.
5. $\text{ля} \times \text{ля} \times \text{ля} = \text{соль}$.

TRONG. S. Maksimov

Sự bình đẳng từ các trận đấu

Có sai sót trong các phương trình trận đấu này. Sắp xếp lại chỉ một trận đấu trong mỗi đẳng thức để tất cả các đẳng thức trở thành đúng.

N. K. Antonovich

Bài toán

1. Giải phương trình $x^4 - 3x^3 + 3 = 0$.

2. Chứng minh điều đó với mọi $p$ thực sao cho $|p| \leqslant \sqrt[4]{4q}$, phương trình.

$$x^4 + px^3 + q = 0, \quad q > 0$$

không có lời giải thực sự.

3. Chứng minh rằng với mọi số thực $p$ sao cho $|p| \leqslant \sqrt[4]{12}$ phương trình

$$x^4 - px^3 + 3 = 0$$

không có lời giải thực sự.

4. Tìm các hệ thống lời giải thực $x^3y = -4$, $x - y = 1{,}5$.

G. Yu. Zaitsev

39