Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho lời giải bài toán

37

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho lời giải bài toán
S. T. Berkolaiko

Trong môn toán ở trường, các tính chất của bất đẳng thức nguyên tố và phương pháp chứng minh chúng chiếm một vị trí quan trọng. Tuy nhiên, trong các tài liệu nhập môn của các trường đại học, nhiều thí sinh gặp khó khăn khi vận dụng các bất đẳng thức vào nghiên cứu các hàm nguyên tố và lời giải bài toán cho giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (chủ yếu là nội dung hình học và vật lý). Trong khi đó, đối với lời giải tương tự bài toán chỉ cần biết và quan trọng nhất là có thể áp dụng nghiên cứu so sánh.

Trong số các bất đẳng thức đó, trước hết là bất đẳng thức Cauchy: trung bình số học của hai số dương a và b không nhỏ hơn trung bình hình học của chúng:

$$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}.$$

(1)

Cùng với bất đẳng thức Cauchy, sẽ rất hữu ích nếu người nộp đơn biết một số hệ quả của nó, cụ thể là:

$$a+b \geq 2\sqrt{ab},$$
$$a^2+b^2 \geq 2ab,$$
$$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2,$$
$$ab \leq \frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)$$

(tự mang chúng ra).

Như đã biết, trong bất đẳng thức (1) đẳng thức chỉ đạt được khi a=b. Do đó, bất đẳng thức (2)–(5) chỉ chuyển thành đẳng thức khi a=b.

Các bất đẳng thức (1)–(5) tương đương với nhau (với a>0, b>0), bất kỳ bất kỳ trong số chúng đều có thể được áp dụng cho lời giải bài toán, và, như thực tiễn của các ví dụ giới thiệu cho thấy, có thể dễ dàng tìm thấy lời giải cụ thể bài toán cực đại và cực tiểu một cách chính xác với sự trợ giúp của các bất đẳng thức này. Hãy xem xét một số ví dụ.

Bài tập 1. Nêu giá trị tích của hai biến, tính tổng của chúng.

Câu hỏi này được giải quyết bằng bất đẳng thức (4), trong đó khẳng định rằng tích của hai số dương không lớn hơn bình phương trung bình số học của chúng. Thật vậy, nếu a và b là hai biến, a+b=M, trong đó M là một hằng số nào đó, thì với a≠b ​theo (4) ab < $\left(\frac{M}{2}\right)^2$, và với a=b bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức ab = $\left(\frac{M}{2}\right)^2$.

Do đó, khi a=b thì tích ab đạt giá trị lớn nhất bằng $\left(\frac{M}{2}\right)^2$.

Tương tự, nếu bạn cần tìm giá trị lớn nhất của tổng hai biến có tích được xây dựng thì bất đẳng thức (2) sẽ được áp dụng.

Nhiệm vụ 2 (MSU, cơ chế, 1966). Từ các ranh giới cần phải cắt bỏ và sắp xếp nó theo dạng một đường song song hoàn chỉnh trực tiếp, chiều cao của nó phải bằng các đường chéo của đường chính

38

vania và diện tích của đáy phải bằng 4 $м^2$. Với độ dài các cạnh của đế thì diện tích bề mặt của bệ sẽ nhỏ nhất?

Gọi $x$ và $y$ là chiều dài (tính bằng mét) của các cạnh của hình chữ nhật nằm ở chân bệ. Khi đó, theo điều kiện bài toán, chiều cao $z$ của bệ là $\sqrt{x^2+y^2}$ và diện tích bề mặt của nó (tính bằng $м^2$)

$$S = 2(x+y)\cdot\sqrt{x^2+y^2}+8,$$

đồng thời $xy = 4$. Sử dụng bất đẳng thức (2) và (3), chúng ta thu được

$$x+y \geqslant 2\sqrt{xy}=4;\quad x^2+y^2 \geqslant 2xy=8,$$

từ đâu $\sqrt{x^2+y^2}\geqslant\sqrt{8}$. Kể từ đây,

$$S \geqslant 2\cdot4\cdot\sqrt{8}+8=8+16\sqrt{2}\ (м^2),$$

Hơn nữa, sự bằng nhau đạt được ở $x=y$, vì chu vi của đáy $(2(x+y))$ và chiều cao $(\sqrt{x^2+y^2})$ đồng thời ở $x=y\ (=2)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Vì vậy, diện tích bề mặt nhỏ nhất sẽ ở bệ, ở đáy bệ là một hình vuông có cạnh 2 m.

Bài toán 3 (MSU, Cơ học và Toán học, 1966). Bạn cần làm một chiếc hộp có dạng hình chữ nhật song song có diện tích đáy bằng 1 $см^2$. Tổng chiều dài của tất cả các cạnh của hình bình hành phải bằng 20 cm. Diện tích bề mặt của hộp sẽ lớn nhất ở kích thước nào?

Gọi $x$ và $y$ là độ dài các cạnh của hình chữ nhật (tính bằng cm) nằm ở đáy của hình bình hành và $z$ chiều cao của nó. Sau đó theo điều kiện $xy=1$, $4x+4y+4z=20$, từ đó $x+y+z=5$.

Diện tích bề mặt của hộp là

$$S = 2(x+y)\cdot z+2.$$

Xét mối quan hệ $(x+y)+z=5$ và bất đẳng thức (4), ta thu được

$$(x+y)\cdot z \leqslant \left[\frac{(x+y)+z}{2}\right]^2 = \frac{25}{4},$$

và sự bất bình đẳng này trở thành

sự bình đẳng chỉ dành cho $x+y=z=2{,}5$. Do đó, sản phẩm $(x+y)z$ và cùng với nó là diện tích bề mặt của hộp sẽ đạt giá trị lớn nhất nếu $z=2{,}5\ (см)$ và $x+y=2{,}5$. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} x+y=2{,}5, \\ xy=1, \end{cases}$$

tìm kích thước của hộp: $2\times0{,}5\times2{,}5\ (см)$.

Vấn đề 4 (NSU, 1968). Cho một hình chữ nhật $ABCD$ có cạnh $AB=a$; $BC=b$. Các hình chữ nhật được mô tả xung quanh nó sao cho mỗi cạnh của hình chữ nhật được mô tả đi qua một trong các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$. Tìm hình chữ nhật ngoại tiếp có diện tích lớn nhất và xác định diện tích của nó.

Gọi $a$ và $b$ là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật đã cho (Hình 1), $\alpha$ là góc giữa các cạnh tương ứng của hình chữ nhật đã cho và được mô tả. Khi đó độ dài các cạnh của hình chữ nhật ngoại tiếp là $a\sin\alpha+b\cos\alpha$, $a\cos\alpha+b\sin\alpha$, diện tích của nó

$$S(\alpha)=(a\sin\alpha+b\cos\alpha)\times$$
$$\times(a\cos\alpha+b\sin\alpha)=$$
$$=(a^2+b^2)\sin\alpha\cos\alpha+ab.$$

Ở đây biến là tích $\sin\alpha\cdot\cos\alpha$. Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của sản phẩm này. Xét rằng $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, chúng ta áp dụng bất đẳng thức (5):

$$\sin\alpha\cdot\cos\alpha \leqslant \frac{1}{2}(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\frac{1}{2}.$$

Sự bình đẳng chỉ đạt được ở $\sin\alpha=\cos\alpha$, tức là ở $\alpha=45^\circ$ (vì theo điều kiện $0^\circ<\alpha<90^\circ$). Do đó, diện tích lớn nhất có hình chữ nhật ngoại tiếp có các cạnh tạo thành một góc $45^\circ$ với các cạnh của hình đã cho. Dễ dàng nhận thấy hình chữ nhật này là hình vuông, diện tích của nó là

$$S_{наиб}=\frac{1}{2}(a+b)^2.$$

39

Cơm. 1.

Nhiệm vụ 5 (NSU, 1968). Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là h. Đường thứ ba, song song với các dinya, nằm bên ngoài các sọc giữa chúng và cách đường xa một khoảng H. Đoạn thẳng AB được phân bố lại thành các đường thẳng và hai đầu của nó nằm trên hai đường thẳng đầu tiên.

Tìm điểm M trên đường thẳng thứ ba sao cho AMB lớn nhất.

Ví dụ, vị trí của điểm M trên đường thẳng thứ ba được xác định bằng khoảng cách từ điểm M đến điểm K của giao điểm của đường AB với đường thẳng thứ ba (Hình 2). Hãy ký hiệu KM bằng x. Với lời giải bài toán, chỉ cần tìm giá trị của x sao cho góc tương ứng α = AMB là đủ nhất.

Chúng ta hãy giới thiệu góc phụ β = KMA và sử dụng nó để biểu thị tan α dưới dạng hàm của x. Sử dụng công thức tính tiếp tuyến của hiệu hai đối số và định nghĩa tiếp tuyến của góc nhọn, ta thu được tan α = tan [(α + β) - β] =
$$\frac{tg(\alpha + \beta) - tg\beta}{1 + tg(\alpha + \beta) \cdot tg\beta} = \frac{H}{x} - \frac{H - h}{x} = \frac{h}{1 + \frac{H - h}{x^2}}.$$

Điều này chứng tỏ tan α (a, do đó, α) đạt giá trị cực đại khi tổng x + \frac{H(H - h)}{x}

đạt ý nghĩa nhất. Vì x \frac{H(H - h)}{x} là hằng số nên chúng ta sử dụng bất đẳng thức (2):

$$x + \frac{H(H - h)}{x} \geq 2 \sqrt{x \frac{H(H - h)}{x}} = 2 \sqrt{H(H - h)}.$$

Giá trị mong muốn x là nghiệm dương của phương trình x = \frac{H(H - h)}{x}, tức là

$$x = \sqrt{H(H - h)}.$$

Bây giờ, điểm cần tìm có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng một cấu trúc đơn giản: trên đoạn KB, chúng ta mô tả là đường kính một hình bán nguyệt cắt đường thẳng thứ hai (đi qua A) tại điểm C (Hình 2) và vẽ đoạn KM₁ = KC trên đường thẳng thứ ba; điểm M₁ là điểm mong muốn (đây là một bằng chứng riêng).

Dễ dàng nhận thấy rằng điểm M₂, đối xứng với điểm M₁ so với điểm K, có các tính chất giống như điểm M₁. Vì vậy, có hai điểm cần có: M₁ và M₂.

Nhiệm vụ 6 (MSU, 1971). ô tô đi từ điểm A đến điểm B với vận tốc không đổi 42km/h. Tại điểm B, nó chuyển sang chuyển động chậm đều và cứ sau mỗi giờ tốc độ của nó giảm đi một km/h và dừng hẳn. Sau đó, nó ngay lập tức bắt đầu chuyển động đều với gia tốc km/h2.

40

Giá trị của $a$ phải là bao nhiêu để 3 giờ sau khi tiếp tục chuyển động, ô tô ở gần điểm $B$ nhất?

Cho xe dừng lại ở điểm $C$, sau 3 giờ xe dừng lại ở điểm $D$. Xét chuyển động của ô tô trong tiết diện $BC$. Theo điều kiện, vận tốc của ô tô tại điểm $B$ bằng $v_B=$ $=42$ $\mathit{км/ч}$; tốc độ này là tốc độ ban đầu trong phần $BC$. Tốc độ cuối cùng trên đoạn đang xem xét là $v_C=0$, do đó thời gian di chuyển trên đoạn $BC$ (tính bằng giờ) là $t_{BC}=\dfrac{42}{a}$.

Sử dụng công thức tính độ dài đường đi với chuyển động thẳng biến thiên đều, chúng ta biểu thị $BC$ và $CD$ thông qua tham số $a$:

$$BC=\frac{882}{a},\quad CD=\frac{9a}{2}.$$

Như vậy,

$$BD=BC+CD=\frac{882}{a}+\frac{9a}{2}.$$

Vì tích của các số hạng $\dfrac{882}{a}$ và $\dfrac{9a}{2}$ không đổi nên tổng kết quả—điều này suy ra từ bất đẳng thức (2)—đạt giá trị tối thiểu tại

$$\frac{882}{a}=\frac{9a}{2},$$

từ đâu $a=14$ $\mathit{км/ч^2}$. Trong trường hợp này, $BD=$ $=126$ $\mathit{км}$.

Bài tập

1 (MSU, 1966). Bạn cần làm một con diều có hình lăng trụ thẳng có đáy hình tam giác vuông có cạnh huyền bằng 50 $см$. Bề mặt bên của lăng kính này có diện tích 0,96 $м^2$. Các cạnh của tam giác đáy phải bằng bao nhiêu để tổng chiều dài tất cả các cạnh của lăng trụ là nhỏ nhất?
2 (MSU, 1966). Đáy của một lăng trụ đứng có một tam giác vuông có diện tích bằng 2 $м^2$ và chiều cao của lăng trụ bằng cạnh huyền của đáy. Các cạnh của đáy phải bằng bao nhiêu để bề mặt bên của lăng kính nhỏ nhất?
3 (MSU, 1966). Cần phải làm một chiếc hộp có dạng hình chữ nhật song song. Diện tích đáy hộp phải là

bằng 2 $дм^2$, và mặt bên là 18 $дм^2$. Với kích thước nào của hình hộp thì tổng chiều dài tất cả các cạnh của nó sẽ nhỏ nhất?
4 (MSU, Khoa Kinh tế, 1969). Biểu thức $x$ thực sự là gì

$$y=\frac{2x-1}{2x-x^2-4}$$

nhận giá trị nhỏ nhất?
5 (MSU, 1971). Người lái xe mô tô rời khỏi điểm $A$ và chuyển động với gia tốc không đổi 12 $км/ч^2$ (tốc độ ban đầu bằng 0). Sau khi đạt tốc độ $v$ $км/ч$, anh ta di chuyển với tốc độ 25 $км$, sau đó chuyển sang chuyển động chậm đều, và cứ sau mỗi giờ, tốc độ của anh ta giảm đi 24 $км/ч$ và di chuyển như vậy cho đến khi dừng hẳn. Sau đó, anh ta ngay lập tức quay lại và lái xe tới điểm $A$ với tốc độ không đổi $v$ $км/ч$.

Với tốc độ nào $v$ người đi xe máy sẽ quay trở lại từ điểm dừng đến điểm $A$ nhanh nhất?
6 (MSU, Khoa Ngữ văn, 1972). Biểu thức $x$ dương với giá trị nào

$$y=2x+\frac{3\dfrac{1}{8}}{x+1}$$

lấy giá trị nhỏ nhất?
7 (MEPhI, 1972). Tìm thể tích của hình nón nhỏ nhất trong số tất cả những hình nón có thể mô tả xung quanh một quả cầu có bán kính $R$.

---

Sửa đổi

Các lỗi đánh máy sau đây được thực hiện ở «Kvant» Số 2.
Trang 25, cột bên trái, dòng thứ 14 từ dưới lên.
Đã in: Nên đọc:
$\ldots \overline{A}\Rightarrow\overline{B}$ $\ldots A\Rightarrow B$

Trang 26, tại bài toán M309.
Đã in: Nên đọc:
$x^{2n}+x+1$ $x^{2n}+x^n+1$

Trang 44, cột bên phải:
Hình 1 và Hình 2 nên được hoán đổi cho nhau.
Trang 47, cột bên trái:
Hình 5 và Hình 6 nên được hoán đổi cho nhau.
Trang 63, cột bên phải, dòng thứ 2 từ trên xuống.
Đã in: Nên đọc:
$-(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})+\ldots$ $=(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})^2+\ldots$

Trang 64, cột bên trái, dòng thứ 5 từ dưới lên.
Đã in: Nên đọc:
$заказ=59259$ $заказ=59295$

40