Bài toán M316—M320; F328—F332

25

Người giải quyết vấn đề lượng tử

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 6 năm 1975 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant», M316, M317” hoặc “… F328”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới được gửi trong các phong bì riêng. Vui lòng gửi bài tập từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, hãy gửi hai bản sao cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi cho biết người đang trò chuyện đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. bài toán khó khăn nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

Bài toán

M316—M320; F328—F332

M316. a) Chứng minh rằng tổng các bình phương $k$ của các số tự nhiên liên tiếp không thể là bình phương của một số nguyên nếu $k$ là 3, 5, 7 hoặc 9.

6. Hãy nghĩ ra 11 số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương của số nguyên đó.

E. G. Gotman

M317*. Trên một số hành tinh, mỗi quốc gia có biên giới không quá 7 quốc gia khác. Mỗi quốc gia đều có trữ lượng vàng. Phải phân bổ vàng sao cho mỗi nước có chung biên giới chênh lệch nhau về lượng vàng không quá 13 lần. Chứng minh rằng việc phân phối vàng có thể được tổ chức sao cho mỗi quốc gia mất không quá một nửa số vàng của mình.

G. V. Egorov

M318. Trong tam giác $ABC$ bissertrices $[AD]$ và $[CE]$ được vẽ. Chứng minh rằng $|CE| \cdot |AB| = |AD| \cdot |BC|$ khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai điều kiện được thỏa mãn: 1) $|AB| = |BC|$; 2) $\widehat{ABC} = 60^\circ$.

A. P. Sabin

M319. Một đường tròn $\gamma$ và một điểm $P$ bên trong nó được cho trên mặt phẳng. Hãy xem xét tập hợp các tứ diện $ABCD$, cả bốn đều bị tắc nghẽn và hình tam giác $ABC$ được gắn vào đường tròn $\gamma$ sao cho các đường trung tuyến của nó cắt nhau tại điểm $P$.

a) Tại vị trí nào của điểm $P$ bên trong $\gamma$ tứ diện cũng tồn tại?

6. Chứng minh rằng các đỉnh $D$ của tứ diện đó nằm ở một trong hai điểm cố định trong không gian (đối xứng với mặt phẳng tương đối).

I. F. Sharyzin

26

M320*. Những $n$-giác lồi nào có thể được chia thành các hình tam giác sao cho không có hai hình tam giác nào trong phân hoạch có các cạnh chung (hoàn toàn trùng nhau)? (Hình 1 cho thấy tam giác có thể được chia nhỏ như thế này.)

A. Pechkovsky

F328. Các thanh cứng có chiều dài $l_1$ và $l_2$ được nối bằng bản lề tại điểm $A$. Các đầu tự do của chúng di chuyển ra xa nhau một cách đồng đều với tốc độ của $v_1$ và $v_2$ tương ứng, hướng dọc theo cùng một đường thẳng (Hình 2). Tìm gia tốc của điểm $A$ tại thời điểm đó; khi các thanh tạo thành một góc $90^\circ$ với nhau. Chuyển động của các thanh xảy ra trong một mặt phẳng.

B. B. Bukhovtsevo

F329*. Nhiều người trong số các bạn rõ ràng đã nhận thấy rằng khoảnh khắc bạn bước lên cát ướt, cát sẽ trở nên nhẹ hơn. Điều này là do thực tế là cát trở nên khô hơn. Nhưng vừa mới rút chân ra, vết chân để lại lập tức bị nước lấp đầy. Giải thích hiện tượng này.

F330. Trong một hình trụ, đặt dưới một pít-tông không trọng lượng có diện tích $S$ có không khí ở áp suất khí quyển $p_0$ và nhiệt độ $T_0$. Thể tích bên trong của hình trụ được chia thành hai phần bằng nhau bằng một vách ngăn nằm ngang cố định có phản ứng nhỏ. Một tải trọng có khối lượng $M$ được đặt lên piston, dưới tác dụng của nó, piston chạm tới vách ngăn. Tìm nhiệt độ của không khí bên trong xi lanh nếu thành xi lanh và piston không dẫn nhiệt.

B. A. Lugovtsovo

F331. Một hình xoắn ốc phẳng có số vòng quay rất lớn $n$ và bán kính ngoài $R$ (Hình 3) nằm trong một từ trường đều vuông góc với mặt phẳng của hình xoắn ốc và thay đổi theo định luật $B = B_0 \cos \omega t$. Tìm e. d.s. quy nạp

tsini, tràn ngập theo hình xoắn ốc. Khoảng cách giữa các vòng xoắn ốc là không đổi.

G. L. Komkin

F332. Tìm khoảng cách giữa nguồn sáng $S$ và ảnh của nó trong hệ quang học như hình 4. Tiêu cự của đường thẳng $A$ và $B$ bằng nhau và bằng $F$.

V. G. Serbo