Trường tĩnh điện

Kvant 1975, số 4 tr. 41, 42, 43, 44, 45, 47 Thẻ 595G

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Trường tĩnh điện

Các bài toán trong phần “Tĩnh điện” có nhiều điểm chung với các bài toán về trọng lượng của vật trong cơ học, nhưng giữa chúng cũng có những khác biệt cơ bản. Sự khác biệt giữa tĩnh điện bài toán và cơ học trước hết là để mô tả sự tương tác của điện tích, một khái niệm đặc biệt được đưa ra - trường tĩnh điện, cũng như các đại lượng mới cho đặc tính định lượng của trường này - cường độ và điện thế. Nếu trường tĩnh điện được tạo ra bởi các điện tích đứng yên thì chúng ta nói đến trường tĩnh điện và sự tương ứng giữa cường độ và thế năng của trường tĩnh điện.

Mục đích của bài viết này là thu hút sự chú ý của người đọc về những vấn đề khó khăn nhất liên quan đến khái niệm trường tĩnh điện và để bảo vệ khỏi những sai sót có thể xảy ra.

Cường độ trường

Trước hết, bạn cần làm quen với việc xử lý giá trị này, học cách tính nó trong nhiều trường hợp khác nhau. Nguyên tắc chồng chất của các trường *) giúp giải quyết vấn đề này. Chỉ cần biết công thức cường độ trường của một điện tích chính xác là đủ để tính cường độ trường của vật tích điện có phân bố tùy ý trong
*) Ví dụ, xem bài viết của L. P. Bakanna và S. M. Kozel “Nguyên lý chồng chất trong tĩnh điện”, «Kvant», 1973, Số 3.

đi du lịch có tính phí. Sự tích điện của một vật có thể được coi là tập hợp các điện tích chính xác. Bằng cách tính tổng các trường hình học của từng điện tích, người ta có thể tìm được cường độ trường tại bất kỳ điểm nào. Đúng, việc tính toán số tiền này đôi khi trở thành một nhiệm vụ toán học rất khó khăn.

Điều quan trọng không kém là giảm bớt các thuộc tính của các đường trường dễ hiểu, mang lại một bức tranh định tính về sự phân bố trường trong không gian. Nhiều câu hỏi có thể được trả lời bằng cách tưởng tượng rõ ràng các đường sức chuyển động như thế nào.

Thật thú vị khi lưu ý rằng giá trị kích thước của cường độ trường và điện tích tĩnh điện cho phép trong một số trường hợp, với độ chính xác lên đến hệ số số, sự phụ thuộc của cường độ trường vào khoảng cách.

Thông thường lời giải bài toán trong tĩnh điện sử dụng thực tế là cường độ trường bên trong dây dẫn bằng 0 và trường tĩnh điện không xuyên qua dây dẫn. Điều này có nghĩa là tổng hình học của trường của mọi điện tích tại bất kỳ điểm nào bên trong dây dẫn đều triệt tiêu. Từ đây chúng ta có thể rút ra kết luận về sự tương ứng của sự phân bố điện tích trong không gian.

Định luật cơ bản của tĩnh điện, định luật Coulomb, rất giống với định luật vạn vật hấp dẫn. Tất nhiên, điều này tạo điều kiện thuận lợi cho hàng lời giải tĩnh điện bài toán. Tuy nhiên, bạn cần nhớ về những điều này

định luật: cùng với sự hút các điện tích khác loại còn có lực đẩy các điện tích cùng loại. Vì vậy, khi tính cường độ trường cần xét đến dấu của các điện tích.

Người ta cũng nên tránh phát biểu sai thường lặp đi lặp lại rằng toàn bộ hệ thống trung hòa điện không tạo ra điện trường nào cả. Cường độ trường của một hệ thống trung tính, bao gồm các điện tích dương và âm, bên ngoài hệ thống không bằng không. Đúng vậy, nó giết chết khoảng cách tới một thành phố nhanh hơn cường độ trường của một vật thể tích điện.

Hãy cùng xem xét một vài bài toán cụ thể.

Bài tập 1. Một điện tích cực mạnh đặt trong điện trường có thể ở trạng thái cân bằng ổn định được không? Điều cần thiết là khi điện tích trộn lẫn theo bất kỳ hướng nào thì sẽ có một lực tác dụng lên nó, đưa điện tích về vị trí cân bằng. Do đó, các đường sức phải hội tụ tại điểm đặt điện tích. Nhưng các đường sức của điện trường võng mạc bắt đầu từ điện tích dương và kết thúc ở điện tích âm. Tại điểm đặt điện tích đang xét, không có điện tích âm, và do đó, các đường sức trường bên ngoài điện tích không thể hội tụ tại điểm đặt nó.

Bài 2. Biết thứ nguyên của cường độ điện trường, tìm (với hệ số lũy thừa) cường độ trường của một mặt phẳng vô hạn đặt trong chân không và có mật độ bề mặt điện tích σ.

Cường độ điện trường tại một điểm cách tấm một khoảng R chỉ có thể phụ thuộc vào σ và R. Theo nguyên lý chồng chất, sự phụ thuộc vào phải là tuyến tính, nghĩa là E = |σ| f(R), trong đó f(R) là một hàm chưa biết. Kích thước của cường độ trường E và mật độ điện tích σ tương ứng

$[E] = \frac{[q]}{[\varepsilon_0] [R^2]} \text{ и } [\sigma] = \frac{[q]}{[R^2]}.$

Posny E = \frac{k |\sigma|}{\varepsilon_0}, trong đó k là hệ số không thứ nguyên. Cường độ trường không phụ thuộc vào khoảng cách. Tính toán chính xác sẽ cho giá trị $1/2$ của hệ số k.

Nhiệm vụ 3. Xét d từ một tấm dẫn lớn điện tích cực đại + q. Tấm đó tác dụng lên nó một lực như thế nào?

Dưới tác dụng của điện tích + q, các điện tích âm cảm ứng xuất hiện trên bản. Chúng được phân bố trên bề mặt của tấm sao cho điện áp tạo ra bởi các điện tích này và điện tích + q bên trong tấm bằng 0 (các điện tích dương riêng lẻ đi đến các cạnh xa của tấm và có thể khẳng định ảnh hưởng của chúng). Vì bản lớn nên giá trị của tổng điện tích cảm ứng gần bằng điện tích modulo + q. Ở bên phải của tấm (Hình 1), điện trường được tạo ra bởi một điện tích chính xác + q và một điện tích âm cảm ứng phân bố trên bề mặt của tấm - q. Bên trái không có điện trường (tác dụng bảo vệ lưới điện).

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đặt một điện tích âm chính xác - q (ảnh điện tích) ở bên trái của tấm một khoảng d. Nó sẽ tạo ra các điện tích dương trên bề mặt bên trái của tấm, các điện tích này sẽ được phân bổ trên nó giống như các điện tích âm trên bề mặt bên phải. Trong trường hợp này, điện trường ở bên phải của tấm không

sẽ thay đổi (bảo vệ tĩnh điện lại có hiệu lực).
Chúng ta có thể nói rằng ở bên phải của tấm trường, trường được tạo ra bởi hai điện tích +q và -q chính xác và các điện tích (âm và dương) cảm ứng trên cả hai mặt của tấm. (Trên thực tế, tổng độ định hướng của điện trường từ điện tích âm chính xác và điện tích dương cảm ứng bằng 0.) Nếu tấm mỏng (độ dày của nó nhỏ so với khoảng cách d), thì độ định hướng của trường của điện tích cảm ứng bên ngoài tấm bằng không.

Do đó, ở bên phải của tấm, điện trường được tạo ra bởi điện tích +q và các điện tích âm cảm ứng trùng với trường được tạo bởi hai điện tích chính xác +q và -q, nằm cách nhau 2d (Hình 2). Điều này có nghĩa là độ định hướng của trường điện tích cảm ứng tại điểm đặt điện tích +q bằng với độ định hướng của trường điện tích -q.

Cơm. 2. Các bề mặt tương đương được thể hiện bằng màu xanh lam.

Cơm. 3.

bằng

$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{4d^2} = \frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 d^2}.$

Bài toán 4. Các tính chất của động lực điện (một hệ gồm hai điện tích cực mạnh +q và -q, nằm cách nhau một khoảng l) được đặc trưng bởi mô men điện p = ql.

Tìm hướng của điện trường có mô men p trong lũy thừa cách tâm trục động lực R >> l, trong hai trường hợp:

lực nằm trên một đường thẳng đi qua trục động năng;
sức mạnh nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục động năng.

Trong trường hợp đầu tiên, như có thể thấy trong Hình 3, tính định hướng tại điểm A bằng

$E_A = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left\{ \frac{1}{(R-l/2)^2} - \frac{1}{(R+l/2)^2} \right\}.$

Vì R >> l nên

$\frac{1}{(R-l/2)^2} - \frac{1}{(R+l/2)^2} \approx \frac{2l}{R^3}.$

Kể từ đây,

$E_A \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q l}{R^3} = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0 R^3}.$

Trong trường hợp thứ hai (xem Hình 3), tính định hướng của trường được tạo ra là

$E_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{R^2 + l^2/4}.$

Vectơ định hướng tổng $E_B$ hướng dọc theo trục lưỡng cực. độ lớn của nó là

$E_B = 2E_1 \sin \alpha = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \times \frac{q l}{(R^2 + l^2/4)^3} \approx \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 R^3}.$

Lưu ý rằng trong cả hai trường hợp, tính định hướng giảm xuống là $\frac{1}{R^3}$ , tức là nhanh hơn tính định hướng của điện tích chính xác (tỷ lệ với $\frac{1}{R^2}$ ).

Tiềm năng và năng lượng tiềm năng

Gạt bỏ nhiều khó khăn hơn với lời giải tĩnh điện bài toán thường nảy sinh khi sử dụng khái niệm thế năng. Thế năng là một đặc tính năng lượng của một trường và bài toán sử dụng khái niệm thế năng là một bài toán chủ yếu trong định luật bảo toàn năng lượng.

Việc áp dụng định luật bảo toàn năng lượng trong cơ học gây ra những khó khăn đáng kể, chủ yếu là do sự phức tạp của khái niệm thế năng tương tác giữa các vật thể *). Trong tĩnh điện, chúng ta gặp phải một loại năng lượng tiềm năng mới. Hơn nữa, do sự hiện diện của các điện tích trái dấu, nên thế năng P và do đó, thế năng $\varphi = \frac{\Pi}{q}$ có thể vừa dương vừa âm.

Cùng với sự tương tác của các vật tích điện, vật tích điện nào có năng lượng riêng đó là năng lượng tương tác

*) Xem bài viết của G. Ya. Myakishva “Về định luật bảo toàn năng lượng trong cơ học”, «Kvant», 1974, số 3. (Chú thích của biên tập viên)

các bộ phận của vật thể tích điện với nhau. Ví dụ, năng lượng bản thân của một quả bóng tích điện có bán kính $R$ là
$\Pi=\frac{q^2}{2C}=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} \quad (q — \text{заряд шара}).$
Khi các vật tích điện tương tác, không chỉ thế năng lẫn nhau của chúng có thể thay đổi mà còn cả năng lượng của chính mỗi vật thể.

Cần phải nhớ rằng thế năng và thế năng được xác định trong một hằng số. Giá trị của hằng số này phụ thuộc vào việc lựa chọn mức năng lượng bằng không. Thông thường, điểm tham chiếu cho thế năng được chọn sao cho hằng số bằng 0. Bạn có thể chọn tùy ý, nhưng đã chọn mức 0 cho bài toán nhất định, trong tương lai tại lời giải bài toán thì không thể thay đổi được.

Thông thường với lời giải bài toán, thực tế là tất cả các điểm trên vật dẫn đều có cùng điện thế được sử dụng. Thật vậy, cường độ trường bên trong dây dẫn bằng 0 và không có công nào được thực hiện khi điện tích chuyển động bên trong dây dẫn. Một sai lầm điển hình thường mắc phải là: họ chọn một điện thế không đổi bên trong vật dẫn bằng 0 và quên rằng khi đó không thể coi điện thế của một vật tích điện ở vô cực là bằng 0 nữa (ở vô cực thì mức thế năng bằng 0, và do đó, thường được chọn nhất).

Bây giờ chúng ta hãy tiếp tục xem xét bài toán cụ thể.

Bài 5. Tiềm năng ở tâm của một quả cầu dẫn điện có bán kính $R$ , mang điện tích $q$ là bao nhiêu?

Cường độ điện trường bên trong quả cầu bằng không. Do đó, hiệu điện thế giữa hai điểm bất kỳ bên trong quả cầu hoặc trên bề mặt của nó bằng không. Nói cách khác, điện thế tại một điểm tùy ý bên trong quả cầu, và do đó ở tâm quả cầu, bằng điện thế của bề mặt quả cầu,

đó là
$\varphi_0=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R},$
nếu điện thế ở vô cực được coi là bằng 0.

Bài 6. Điện tích dương $+q_0$ phân bố đều trên một vòng dây mỏng có bán kính $R$ . Ở giữa vòng có một điện tích điểm $-q$ , khối lượng của nó là $m$ .

Điện tích có tốc độ ban đầu $v_0$ dọc theo trục của vòng. Xác định bản chất chuyển động của điện tích tùy thuộc vào giá trị vận tốc ban đầu. Chiếc nhẫn bất động.*

Tổng năng lượng của điện tích tại thời điểm ban đầu bằng tổng động năng và thế năng trong trường tĩnh điện của vòng:
$E_{\text{пол}}=\frac{mv_0^2}{2}-\varphi_0 q=\frac{mv_0^2}{2}-\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0 R},$
vì điện thế nằm ở tâm của vòng
$\varphi_0=\frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0 R}$
(điều này tuân theo nguyên lý chồng chất).

Ở mức $E_{\text{пол}}\geqslant 0$ điện tích sẽ tiến tới vô cùng. Hơn nữa, tốc độ của nó ở khoảng cách vô cùng lớn sẽ bằng 0 nếu $E_{\text{пол}}=0$ . Nếu $E_{\text{пол}}>0$ , tốc độ của điện tích ở một khoảng cách vô cùng lớn tính từ vòng là
$v=\sqrt{v_0^2-\frac{qq_0}{2\pi\varepsilon_0 Rm}}.$

Nếu $E_{\text{пол}}<0$ , thì điện tích sẽ thực hiện chuyển động tuần hoàn dọc theo trục của vòng. Khoảng cách lớn nhất $r$ , mà điện tích sẽ di chuyển ra xa tâm vòng, có thể tìm được từ định luật bảo toàn năng lượng:
$\frac{mv_0^2}{2}-\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0 R}=-\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0 \sqrt{R^2+r^2}}.$
Từ đây
$r=R\sqrt{\dfrac{1}{\left(\dfrac{2\pi\varepsilon_0 mv_0^2 R}{qq_0}-1\right)^{2}}-1}.$

TỪ hài hước khoa học, hay điện và cuộc sống

(Phần đầu xem trang 18, 24)

Những người tham gia thí nghiệm đi chân trần phải thực hiện bao nhiêu công chống lại lực trường để di chuyển ngược chiều nhau 5 m? Để tính toán số, chúng ta có thể lấy diện tích bề mặt của các đĩa là 5 $\partial m^2$ và khoảng cách ban đầu giữa chúng là 0,5 cm.

Một vài điểm nữa nên được thực hiện. Nếu các cậu bé đi chân trần, tức là chúng tiếp xúc tốt với mặt đất, và nếu do jedr, chúng tiếp xúc tốt với các đĩa đồng, thì đơn giản là tụ điện sẽ không thể sạc được tấm phẳng, bất kể khoảng cách giữa các đĩa, điện tích sẽ ngay lập tức chảy vào Trái đất qua các cậu bé. Trong trường hợp này, xác suất bị điện giật phụ thuộc vào nhiều yếu tố, ví dụ như tình trạng của da (trong tất cả các bộ phận của tổ chức, nó có kết nối định hướng nhất giữa quả cầu bên ngoài và bên trong. Xác định điện tích $q_1$ của quả cầu bên ngoài sau khi kết nối.

Hai điện tích giống hệt nhau $q_1$ và $q_2$ có khối lượng $m_1$ và $m_2$ đang chuyển động hướng về nhau. Tại thời điểm khoảng cách giữa các điện tích là $r_1$ , chúng có tốc độ $v_1$ và $v_2$ . Các điện tích tiến tới khoảng cách tối thiểu bao nhiêu $r_2$ ?

Một quả bóng nhựa nhỏ có khối lượng $m=3 \cdot 10^{-15}$ kg rơi trong không khí với tốc độ không đổi $v_1=10^{-4}$ m/s. Điện tích của quả bóng là bao nhiêu nếu trong điện trường có hướng $E=2,8 \cdot 10^5$ v/m, hướng lên trên, nó bay lên với tốc độ xác định là $v_2=2 \cdot 10^{-4}$ m/s? Lực cản không khí ban đầu tỷ lệ thuận với tốc độ của quả bóng.

Hai quả cầu dẫn điện được tích điện sao cho quả cầu bên trong có điện thế $\phi_1$ , và quả cầu bên ngoài có điện thế $\phi_2$ . Quả cầu bên trong sẽ có điện thế bao nhiêu nếu cả hai quả cầu được nối với nhau bằng một dây dẫn?