Đại học bang Novosibirsk

48

Đại học bang Novosibirsk

Chúng tôi đã viết về Đại học bang Novosibirsk (xem «Kvant», 1973, số 5). Bây giờ hãy để chúng tôi kể cho bạn chi tiết hơn về Khoa Cơ học và Toán học của NSU.

Sinh viên tốt nghiệp của khoa này có kiến ​​thức sâu về các lĩnh vực toán học cơ bản như phân tích toán học, đại số và logic, và phương trình vi phân. Họ có thể tham gia tích cực vào việc phát triển các hướng đi mới về công nghệ và phương pháp khoa học cần thiết cho lời giải nền kinh tế quốc gia quan trọng bài toán.

Khoa Cơ học và Toán học của NSU có hai khoa: Khoa Toán học và Khoa Toán học Ứng dụng và Cơ học.

Khoa Toán đào tạo các chuyên gia về các phần sau: phương trình vi phân và phương trình vật lý toán, lý thuyết hàm số và giải tích hàm, logic toán, lập trình, đại số, hình học và cấu trúc liên kết, lý thuyết xác suất, toán kinh tế và toán tính toán.

Chuyên môn của sinh viên Khoa Toán tập trung xung quanh các lĩnh vực chính của toán học hiện đại.

Khoa Toán ứng dụng và Cơ học đào tạo các chuyên gia trong các lĩnh vực: thủy động lực học, động lực học chất khí, lý thuyết đàn hồi và dẻo, khí tượng động học, toán địa vật lý, toán tính toán, điều khiển học lý thuyết.

Sinh viên của khoa toán ứng dụng và cơ khí được giáo dục toán học rộng rãi và nắm vững kiến ​​thức cơ bản của một số ngành ứng dụng; họ có được các kỹ năng trong sản xuất và lời giải bài toán phát sinh trong các lĩnh vực công nghệ khác nhau.

Dưới đây là các lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh viết năm 1974 môn toán và vật lý tại các khoa của NSU.

Toán học

Khoa Cơ khí, Toán học, Vật lý và Kinh tế

Tùy chọn 1

1. Giải bất đẳng thức

$$2^{4x+2}\cdot4^{-x^2}-3\cdot2^{-x^2+2x+2}+5\geqslant0.$$

2. Tiếp tuyến và cát tuyến được vẽ từ một điểm bên ngoài đường tròn, còn các điểm tiếp tuyến và giao điểm của cát tuyến với đường tròn là các đỉnh của một hình thang nhất định. Tìm tỉ số hai đáy của hình thang biết góc giữa hai tiếp tuyến là $60°$.

3. Giải phương trình

$$\sqrt{\cos2x-\sin4x}=\sin x-\cos x.$$

4. Đối với hệ thống $a$ thực sự là gì

$$\begin{cases}x^2=y^2=z^2,\\x+y+z=3a,\\xy=z-\dfrac{4}{9}\end{cases}$$

có lời giải thực thỏa mãn điều kiện $xyz\geqslant0$? Tìm những lời giải này.

5. Trong hình chóp tam giác $SABC$, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng của tam giác $ABC$, $AC=CB=a$, $AS=AB=\,=a\sqrt2$. Một mặt phẳng được vẽ qua giữa cạnh $AC$, vuông góc với cạnh $SB$. Tìm khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng này.

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức

$$5\cdot9^{2x+2}\cdot3^{x^2-1}-2^4\cdot3^{\frac{x^2}{2}+1}\cdot9^x+1\leqslant0.$$

2. Trong hình thang $ABCD$, cạnh $CD$ vuông góc với đáy $AD$, $BC=a$, $AD=b$, $a<b$. Dựa vào $AD$ tồn tại một điểm $M$ sao cho $MB$ vuông góc với $AC$ và $MC$ vuông góc với $BD$. Tìm chiều cao của hình thang.

3. Giải phương trình

$$\dfrac{\sin x-\cos3x}{1+\sin3x}=\dfrac{1}{2}.$$

4. Với số thực $m$ đều là nghiệm của phương trình

$$2y^2-(3m+1)y+m^2+m=0$$

thỏa mãn bất đẳng thức

$$y^2-my-3m-1\geqslant0?$$

5. Dưới đáy kim tự tháp $SABC$ là một tam giác vuông $ABC$. Cạnh $SB$ vuông góc với mặt phẳng của đế, $SB=AB=AC=a$. Một mặt phẳng được vẽ qua giữa $AB$ vuông góc với $SC$. Tìm diện tích mặt cắt ngang.

49

Khoa Khoa học tự nhiên (các chuyên ngành: hóa học, sinh học) và Khoa Địa chất

Tùy chọn 3

1. Giải bất đẳng thức $(0,05)^{-\log(x-0,25)}x \geq (2\sqrt{5})^{\log(x-0,25)}(4x-1)$.

2. Một hình thang cân bằng được mô tả xung quanh một hình tròn có bán kính $R$. Tìm diện tích của nó nếu biết khoảng cách giữa các điểm tiếp xúc của hình tròn với các cạnh bên là $R\sqrt{3}$.

3. Giải phương trình
   $$\sin x - \cos x = \sqrt{4-3(\sin x + \cos x)}$$.

4. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{a}, \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{x+z} = \frac{1}{b}, \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{c}. \end{cases}$$

5. Cho một khối lập phương $ABCDA'B'C'D'$. Điểm $M$ là trung điểm của cạnh $AA'$ và điểm $N$ là trung điểm của cạnh $A'B'$. Mặt phẳng vẽ qua các điểm $M$, $N$ và $C$ chia khối lập phương thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích của các phần đó.

Tùy chọn 4

1. Giải bất đẳng thức
   $$\left(\frac{1}{8}\right)^{\log(x+2)|x-2|} \leq (2\sqrt{2})^{-\log(x+2)}(11-2x)$$.

2. Góc $ABC$ bằng $60^\circ$ và $AB = BC = a$. Vòng tròn $O_1$ chạm $AB$ tại điểm $A$ và vòng tròn $O_2$ chạm $BC$ tại điểm $C$, ngoài ra, các vòng tròn này chạm vào nhau từ bên ngoài. Tìm bán kính của đường tròn biết tỉ số của chúng bằng 2.

3. Giải phương trình
   $$tg x + ctg x = 2(\sin 2x + \cos 2x).$$

Cơm. 1

Cơm. 2. Hình 3.

50

Pis. 4.

Pis. 5.

Pis. 6.

Pis. 7.

Pis. 8.

Pis. 9.

phát ra âm thanh ở một tần số nhất định bằng cách sử dụng loa $D_1$ được lắp ở một trong các đầu của loa. Chiều dài của ống thay đổi khi piston $P$ di chuyển. Trên thành bên của ống có một micrô $M$, tín hiệu từ đó được đưa qua bộ khuếch đại $Y$ đến loa $D_2$. Giải thích tại sao cường độ tín hiệu âm thanh từ loa $D_2$ thay đổi khi piston chuyển động. Thí nghiệm này có thể được sử dụng để xác định các thông số của quá trình bình trong đường ống không? Có thể xác định các tính chất của môi trường trong đó sóng âm lan truyền (tốc độ âm thanh, mật độ, …)? (5)

2. Một vòng có khối lượng $m$ lăn không trượt dọc theo mặt phẳng nằm ngang và va chạm với một bức tường thẳng đứng và nổi lên đó. Tìm lượng tín hiệu được giải phóng trong quá trình va chạm nếu tâm của vòng chuyển động với tốc độ $v$. (4)

3. Một hình trụ có bán kính $R$ nằm trên một giá đỡ được cắt làm đôi dọc theo mặt phẳng thẳng đứng đi qua trục của nó (Hình 2). Toàn bộ nửa của hình trụ là $P$ và trọng tâm cách trục hình trụ một khoảng $a$. Để ngăn hình trụ không bị rơi ra, một sợi chỉ có các nhóm giống hệt nhau ở hai đầu được luồn qua nó. Ma sát là không đáng kể. Tìm trọng lượng tối thiểu của hàng hóa không để bị phân hủy. (4)

4. Dưới nước có một thấu kính hai mặt lõm rỗng, có tiêu cự $F$ trong nước (Hình 3). Một chùm ánh sáng song song chiếu vào nó. Chiết suất của nước là $n$. Thấu kính nằm cách mặt nước một khoảng $l (l < F)$, song song với mặt nước này. Tìm khoảng cách từ thấu kính các tia sáng sẽ hội tụ. Giả sử rằng đối với bất kỳ tia nào, góc giữa tia và trục quang là nhỏ, nghĩa là sao cho $tg\alpha \approx \sin\alpha$. (5)

5. Trong một bình hình trụ đặt dưới một pít-tông không trọng lượng có hơi nước bão hòa ở nhiệt độ $T$. Xác định khối lượng hơi nước ngưng tụ nếu công $A$ được thực hiện khi chuyển động pít-tông. Trọng lượng phân tử của hơi $μ$, hằng số khí $R$. (6)

6. Trong đèn bốn electron có các điện cực phẳng song song, cùng diện tích điện cực $S$ và khoảng cách từ κατάda $K$ đến: anode $A - l$, lưới $G_2 - a$, lưới $G_1 - b$ được xác định. Điện áp cực dương $u_1$, giữa lưới $G_2$ và điện áp cực âm $K$ $u_2$ (Hình 4). Tìm điện tích trên lưới $G_1$ khi dòng điện qua đèn dừng lại. (8)

Tùy chọn 2

1. Xem bài toán 1 từ tùy chọn 1.
2. Bình chứa đầy hai chất lỏng không chuyển động với mật độ $\rho_1$ và $\rho_2$ (Hình 5). Một khối lập phương có chiều dài cạnh $l$ nổi ở bề mặt chất lỏng. Tìm độ sâu ngâm của khối lập phương trong chất lỏng có mật độ $\rho_2$. Mật độ của khối lập phương là $\rho (\rho_2 > \rho > \rho_1)$. (3)
3. Tìm điện trở giữa các đỉnh liền kề của khối dây (Hình 6).

51

Điện trở của mỗi cạnh là $R$. (4)

4. Đầu của hình nón có góc $2\alpha$ được quan sát qua kính lúp có tiêu cự $F$, nằm cách đỉnh hình nón một khoảng $a$ ($a < F$) (Hình 7). Góc của hình nón có thể nhìn thấy qua kính lúp như thế nào? Trục của thấu kính đi qua trục đối xứng của hình nón. (6)

5. Trong một bình hình chữ nhật có chiều dài $2l$ với thành không thể xuyên thủng, có một chất lỏng nặng ở bên trái (ví dụ: rutub), được ngăn cách bởi một pít-tông mỏng có thể di chuyển được với không khí ở phía bên phải của bình (Hình 8). Tại thời điểm ban đầu, piston ở trạng thái cân bằng và chia thể tích của bình làm đôi. Piston dịch chuyển sang bên phải bao nhiêu nếu nhiệt độ tuyệt đối của hệ giảm ba lần? Bỏ qua sự giãn nở nhiệt của bề mặt và thành bình cũng như ma sát. (7)

6. Hai hạt có khối lượng $m$ và $M$ mang điện tích trái dấu dưới tác dụng của lực hút điện lẫn nhau của chuyển động tròn. Tốc độ của một hạt có khối lượng $m$ tăng ngay lập tức mà không thay đổi hướng của nó. Cần phải tăng tốc độ tối thiểu bao nhiêu lần để các hạt sau đó bay xa nhau ra xa nhau vô thời hạn? (8)

Tùy chọn 3

1. Một thiết lập thử nghiệm đã được lắp ráp, sơ đồ được hiển thị trong Hình 9. Từ bộ tạo tần số âm thanh $\exists\Gamma$, hướng hình sin được cung cấp cho diamic D và tới tấm làm lệch hướng ngang của ống điện tử $\exists\Lambda\Gamma$. Tín hiệu được cung cấp cho tấm làm lệch hướng dọc $\exists\Lambda\Gamma$ từ micrô $M$, là bộ thu rung động âm thanh được kích thích bởi diamic D. Giải thích lý do cho những thay đổi quan sát được trên màn hình $\exists\Lambda\Gamma$ khi micrô $M$ di chuyển so với diamic D. Có thể sử dụng thí nghiệm này để xác định tốc độ âm thanh không? (5)

2. Một bóng đèn đang phát sáng được treo ở độ cao $h$ phía trên điểm bàn $O$. Hỏi khoảng cách từ điểm $O$ là bao nhiêu thì độ sáng của bàn $n$ kém hơn điểm $O$ lần? (3)

3. Hai chất dẫn điện tử có diện tích piston $S$ tạo thành một tụ điện phẳng chứa đầy không khí ở áp suất khí quyển $p_a$ (Hình 10). Khoảng cách giữa các pít-tông sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu chúng được tích điện với các điện tích khác nhau $Q$? Hệ thống dây dẫn nhiệt tốt. Trennium có thể bị bỏ qua. (5)

4. Trên bề mặt nằm ngang có một điện tích cố định $Q$ và cách nó một khoảng $r_0$ một khối lượng $m$ có ​​cùng điện tích $q$, có thể chuyển động dọc theo bề mặt với hệ số ma sát $k$. Tại thời điểm ban đầu, khối lượng $m$ đào lên và sau đó bắt đầu chuyển động dưới tác dụng của điện tích cố định. Nó sẽ ở khoảng cách bao nhiêu so với điện tích $Q$? Gia tốc trọng lực $g$. (6)

5. Cái muôi đựng chất lỏng nặng được treo gọn gàng ở đầu tay cầm. Muỗng của muôi là một bán cầu có bán kính $R$ và tay cầm tiếp xúc với bán cầu có chiều dài $l$ (Hình 11). Bỏ qua trọng lượng của muôi, tìm vật lỏng còn sót lại trong muôi. (6)

6. Trong một ống thẳng đứng có bán kính $R$, chứa đầy chất lỏng có mật độ $\rho_0$, có một hình trụ có bán kính $r$ và chiều dài $l$ và $l \gg R$ (Hình 12). Mật độ xi lanh $p$. Bỏ qua ảnh hưởng của các đầu của hình trụ, xác định vận tốc và gia tốc phụ thuộc vào quãng đường mà hình trụ đi được $h$, nếu tại thời điểm ban đầu hình trụ bị chôn vùi. Gia tốc trọng lực $g$. Bỏ qua tổn thất nhiệt. (9)

G. V. Meledin,
A.I. Shirtsov