Trò chơi toán học trên bàn cờ

54

E.Ya. GIK

TRÒ CHƠI TOÁN TRÊN BÀN CỜ

Trò chơi cờ vua đã được tạo ra qua nhiều thế kỷ và luật chơi của nó đã thay đổi nhiều lần. Tuy nhiên, từ quan điểm toán học, sự chuyển động của quân cờ và hình dạng của bàn cờ là rất có điều kiện. Có nhiều trò chơi khác nhau trên bảng hình chữ nhật, lý thuyết của chúng chiếm một vị trí quan trọng trong tài liệu toán học. Chỉ riêng có hơn chục trò chơi cờ đam được biết đến: cờ Nga, cờ trăm ô, cờ Lasker (xem «Kvant», 1970, số 4), quà tặng, góc và các trò chơi khác. Ngay cả cờ vua hiện đại cũng có nhiều loại. Ví dụ, M. Gardner trong cuốn “Câu đố toán học và giải trí” (M., “Mir”, 1971) nói về cờ Nhật (sogi), cờ Trung Quốc (qun ki) và cờ Hàn Quốc (tian keui). Bây giờ chúng ta sẽ tập trung vào một số trò chơi và bài toán (có chứa các yếu tố toán học) trong đó bàn cờ hoặc luật chơi khác với những ván cờ hoặc luật chơi thông thường.

Cho đến lần kiểm tra đầu tiên

Trong trò chơi này, mọi thứ giống như trong cờ vua thực sự, chỉ có người chiến thắng không phải là người “ra quân đầu tiên” mà là người tuyên bố chiếu trước. Với thế cờ xuất phát thông thường, Trắng thắng bằng vũ lực và không muộn hơn nước đi thứ năm:

1. Nb1-c3. Có mối đe dọa về một cuộc tấn công của hiệp sĩ vào e4, d5 hoặc b5 với sự kiểm tra không thể tránh khỏi, Đen chỉ có đáp số: 1…e7-e6. Bây giờ sau 2. Kc3—e4

Ke8-e7 hiệp sĩ thứ hai vào cuộc với tác dụng quyết định: 3.Kg1-f3 Qd8-e8 4. Kf3-e5 và kiểm tra nước đi tiếp theo.

Để “tăng thêm gia vị” cho ván đấu, bạn nên thay đổi vị trí bắt đầu bằng cách nào đó, chẳng hạn di chuyển quân tốt trắng từ c2 sang c3, ​​và quân tốt đen từ c7 sang c6. Bây giờ 1. Kc3 là không thể, và do đó toàn bộ biến thể được chỉ ra. Chiến thắng bắt buộc không còn hiển thị nữa, ví dụ: 1. Qb3 d5! 2. Qb4 Qd6! 3. Qa4 Bd7 4. Qh4 Kf6, và vua đen được bảo vệ an toàn.

Cờ vua hai nước

Trong trò chơi này, mỗi nước đi của Trắng và Đen bao gồm hai nước đi thông thường. Rõ ràng, nó không đơn giản hơn cờ vua thực sự. Điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là có thể chứng minh một sự thật không hiển nhiên sau đây: nếu Trắng chơi cờ hai nước một cách chính xác, Trắng ít nhất được đảm bảo hòa.

Đây là bằng chứng được đưa ra trong một số nguồn. Giả sử điều ngược lại: để trắng thua nếu cả hai bên đều chơi tốt nhất. Sau 1. Nb1-c3-b1, vị trí ban đầu được giữ nguyên và nước đi đầu tiên đã thuộc về Đen. Trên thực tế, bây giờ Đen đang chơi Trắng và theo giả định là đang thua. Sự mâu thuẫn.

Bằng chứng này không hoàn toàn chính xác. Sau nước đi đầu tiên của Trắng, thế trận quả thực được lặp lại, nhưng tình thế đã khác! Vì vậy, sau 1…Ng8 - f6 - g8 2. Nb1 - c3 - b1 Trắng chưa thể yêu cầu hòa, nhưng Đen có thể, vì 2…Ng8 - f6 - g8 dẫn đến việc lặp lại vị trí ban đầu gấp ba lần khi Trắng đi. Vì vậy, không thể

55

hãy cân nhắc rằng sau 1.K b1 - c3 - b1 “đen đóng trắng” - có thể là các vùng bên. Nhân tiện, có thể đưa ra một ví dụ tương tự cho quy tắc 50 nước đi.

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra một bằng chứng chặt chẽ. Chúng tôi vẫn tin rằng Đen thắng nếu cả hai bên chơi hoàn hảo. Chúng ta sẽ chơi trên hai bảng cùng một lúc. Ở lượt phụ đầu tiên 1.K b1 - c3 - b1, và nước đi phản công của Đen sẽ được sao chép trên bàn cờ thứ hai từ phía Trắng. Sau đó, chúng tôi sẽ lặp lại đáp số của Đen ở bàn thứ hai ở bàn đầu tiên dành cho Trắng, nước đi của Đen ở bàn đầu tiên - đối với Trắng ở bàn thứ hai, v.v. Theo giả định của chúng tôi, Đen thắng và do đó, thời điểm sẽ đến khi ở bàn đầu tiên với nước đi tiếp theo, họ sẽ chiếu tướng Vua Trắng. Nhưng sau đó ở bàn cờ thứ hai, khi nước đi này được lặp lại với quân Trắng, một thế cờ sẽ xuất hiện trong đó vua đen được giao phối! Nhưng Đen cũng chơi hoàn hảo ở bàn thứ hai – một điều mâu thuẫn.

Bằng chứng trên, như các nhà toán học nói, không mang tính xây dựng. Chúng tôi đã chứng minh rằng Trắng không thể thua trong cờ vua hai nước, nhưng chúng tôi vẫn chưa tìm ra cách trắng nên chơi. Hơn nữa, nếu quân Trắng buộc phải thắng (chẳng hạn như trong trò chơi “trước lượt kiểm tra đầu tiên”), thì nước đi đầu tiên rất indo 1. Nb1 - c3 - b1 thua. Vì vậy, có thể chứng minh của chúng ta về tình huống đôi bên cùng thắng của Trắng được thực hiện bằng nước đi thua!

Cờ vua không có zugschang

Nếu trong một trò chơi bình thường, một thế cờ phát sinh mà bất kỳ nước đi nào của chúng ta đều thua, thì chúng ta nói về một zgushang (nếu bất kỳ nước đi nào trên mặt đất cũng thua, thì zugshang là tương hỗ). Cờ vua không có zugschang khác với cờ vua thông thường ở chỗ có thêm một nước đi - một nước đi tại chỗ. Không có zugschang trong đó, vì luôn có thể vượt qua lượt di chuyển trên mặt đất.

Bằng chứng trên cho thấy nếu Trắng chơi đúng thì chắc chắn sẽ hòa, hoàn toàn đúng đối với cờ vua không có zugschang. Tuy nhiên, không giống như cờ vua hai nước, ở đây việc tìm được một quân cờ không có đại diện là điều vô vọng! Chúng ta hãy nhớ lại rằng trong cờ vua thực sự, nơi mà cơ hội của Trắng, theo thống kê, cao hơn đáng kể, người ta hoàn toàn không chứng minh được rằng ngay cả với lối chơi hay nhất, trắng vẫn được đảm bảo ít nhất là một trận hòa.

Học sinh trung học của Đại học bang mexmata Moscow thích thú với trò chơi vượt rào và vượt rào sau đây. Trên tờ giấy ca rô có hình dạng bất kỳ (thậm chí là “vô tận”), hai người thay phiên nhau đặt những cây thánh giá và những hình chấm bi.

Cơm. 1. Phần kết có quà tặng.

Người chiến thắng là người đầu tiên đặt năm biểu tượng của mình liên tiếp (theo chiều dọc, chiều ngang hoặc đường chéo). Tương tự như cờ đôi và cờ vua không có zugschang, có thể chứng minh rằng ở đây, người mới bắt đầu chơi hoàn hảo cũng không thua. Đúng, bằng chứng trong trường hợp này phức tạp hơn trong ván cờ.

Quà tặng

Trò chơi này phổ biến hơn ở môn cờ đam nhưng phiên bản cờ vua của nó cũng rất thú vị. Người chiến thắng trong đó là người tách được tất cả các quân cờ của mình. Việc bắt giữ trong trò chơi này là bắt buộc (bao gồm cả vua, có thể được đưa vào trận chiến) và nếu có thể bắt được nhiều người thì việc lựa chọn là tùy ý. Nhân tiện, Đại kiện tướng D. Bronstein chơi cờ vua một cách sẵn sàng không kém gì cờ vua thực sự.

Lý thuyết tặng quà khá phương Đông và khác hoàn toàn với luật cờ vua thông thường. Khoảng cách là trò chơi kết thúc đơn giản nhất (Hình 1). Chỉ có hai con tốt trên bàn cờ, nhưng hãy nhìn xem vị trí đó chứa đựng bao nhiêu điều tinh tế. 1. a2—a3! Nhưng không phải 1. a4, vì quân trắng phải được thăng cấp muộn hơn quân đen. 1…h6—h5 2. a3—a4 h5—h4. 3. a4—a5 h4—h3 4. a5—a6 h3—h2 5. a6—a7 h2—h1Л! Đó là quân xe; trong các lần biến đổi khác của quân tốt đen (thành nữ hoàng, giám mục hoặc hiệp sĩ), quân Trắng đặt quân hậu, quân hậu này sẽ tách ra ngay lập tức hoặc ở nước đi tiếp theo. 6. a7—a8C!! Đây là cách duy nhất, nếu không Đen sẽ dễ dàng bắt được quân của mình. Bây giờ với bất kỳ nước đi đen nào

56

Cơm. 2. Con đường của hiệp sĩ đi qua tất cả các ô vuông của bảng thể tích 4x4x4.

băn khoăn theo sau 7. Ca8—h1!, và Trắng loại bỏ quân tượng.

Chúng tôi mời bạn đánh giá độc lập một kết thúc trong trò chơi tặng quà và giải quyết một màn.

Căng thẳng 1. Trắng có quân tốt ở d7 và Đen có quân mã ở f5 (không có quân nào khác trên bàn cờ). Trò chơi tặng quà sẽ kết thúc như thế nào:
a) khi Trắng đi;
b) khi Đen di chuyển?
Căng thẳng 2 (X. Klüver và K. Fabel). Vua trắng ở f3, quân đen có hai quân - vua ở d7 và hậu ở c8. Trắng bắt đầu và thua (nghĩa là thắng khi tặng quà).

Cờ vua trên bàn cờ thẳng
Nhiều trò chơi và bài toán phát sinh khi chuyển sang bảng thẳng $m \times n$ với các giá trị khác nhau của $m$ và $n$. Hầu hết các câu đố toán học-cờ vua nổi tiếng bài toán và các câu đố về chuyển động của quân cờ, lộ trình, cách sắp xếp, sức mạnh của quân cờ đều có thể được dịch dễ dàng trên các bảng như vậy (xem «Kvant», 1971, Số 9; 10; 1973, Số 1; 1974, Số 6). Bạn cũng có thể chơi trên bàn cờ vô hạn và có tính xạ ảnh (xem «Kvant», 1974, số 3). Tất cả những bàn cờ này, giống như bàn cờ truyền thống, đều phẳng.

Cờ vua thể tích
Chúng được chơi trên một bảng ba chiều, là một hình song song $m \times n \times k$, các khối đơn vị của nó tạo thành các trường của bảng.

Một bài toán nổi tiếng là điều Euler làm: cùng quân mã đi vòng quanh tất cả các ô trên bàn cờ $8 \times 8$, thăm từng ô một lần (xem «Kvant», 1971, số 9). Chúng ta hãy xem xét một bài toán tương tự trên một bàn cờ ba chiều, bao gồm, giống như một bàn cờ thông thường, gồm 64 ô vuông (cốc): dùng quân mã bỏ qua tất cả các ô vuông của bàn cờ ba chiều $4 \times 4 \times 4$, nâng lên mỗi ô một lần.

Thật thuận tiện khi tưởng tượng tấm ván có bốn lớp nằm ngang nằm chồng lên nhau. Hình 2 cho thấy bề mặt của các lớp này và bản thân các lớp này được chiếm giữ. Để tìm ra lộ trình mong muốn, chỉ cần chỉ ra cách đánh số trong đó các khối có số liền kề cách nhau bằng một nước đi hiệp sĩ là đủ. Việc đánh số như vậy là có thể; nó được thể hiện trong Hình 2.

Thì U 3. Tìm đường đi của quân mã trên mặt bảng thể tích $8 \times 8 \times 8$. Ở đây hiệp sĩ thực sự di chuyển trên sáu tấm ván phẳng. Khó khăn chính của bài toán là việc chia sáu tuyến đối tượng; đối với lời giải, việc sử dụng quét khối sẽ rất thuận tiện.

Cờ vua hình trụ
Nói chung, từ một tấm bảng thông thường, người ta có thể tạo ra hai tấm hình trụ (xem thêm «Kvant», 1970, Số 5; 1971, Số 8). Một tấm ván hình trụ thẳng đứng có được bằng cách dán chữ “a” thẳng đứng vào “h” và một tấm ván ngang bằng cách dán tấm ván dọc vào tấm thứ tám.

57

4

Cơm. 3. Chiếu tướng trong 1 nước đi.

Cơm. 4. Chiếu hết trong 4 nước đi.

Khi chuyển sang bảng hình trụ, không thể giải được một số bài toán có lời giải trên bảng thông thường. Ví dụ, bài toán nổi tiếng về cách sắp xếp tám con hậu, được Gauss nghiên cứu, có 92 lời giải trên một bảng thông thường và không có con nào trên một bảng hình trụ!

Bài tập 4. Chứng minh rằng trên một bảng hình trụ không thể đặt tám quân hậu sao cho không có hai quân hậu nào đe dọa nhau.

Hình 3 hiển thị vị trí ban đầu của ba bài toán cùng một lúc: cả bảng thông thường và hai bảng hình trụ đều có lời giải riêng:

a) trên bảng thông thường 1.Fe2-e8 mate;

b) trên hình trụ thẳng đứng 1. Qe8 chỉ là séc do đáp số 1… Kra8-h7!, và 1. Qe2-g8 mate dẫn đến mục tiêu (quân hậu trắng đi theo đường e2-a6-h7-g8);

c) trên một hình trụ nằm ngang 1. Qe8+ cũng không mang lại kết quả gì vì 1… Kra8-a1!, và 1. Qe2-a2 mate giải quyết được nó!

Cờ vua hình xuyến

Một tấm ván hình xuyến có được bằng cách dán hai cạnh đối diện của một tấm ván thông thường.

Hãy giải bài toán như trong Hình 4. Sau 1. Qf5—h7! Đen có hai đáp số tùy ý sử dụng:

a) 1… Ke8-f8 (các ô d1, e1 và f1 do vua trắng điều khiển với e2 - quy tắc ngang áp dụng trên hình xuyến

tal trụ!) 2. Qh7—g6 Kpf8—e7 3. Kpe2—e1 Kpe7—d7 (bây giờ vua trắng với e1 nắm giữ các ô d8 và f8) 4. Qg6—e8 chiếu tướng!

b) 1… Ke8—d8 2. Qh7—c7+ Kpd3—e8 3. Kb5—h6! (hiệp sĩ di chuyển dọc theo hình xuyến như thể dọc theo một hình trụ thẳng đứng!) 3…Ke8—f8 4. Qs7—e1 bạn đời! (các ô f7 và g8 do quân mã trắng giữ, các ô còn lại do quân hậu giữ).

Cờ vua trên bàn khác thường

Bạn có thể tiếp tục danh sách các trò chơi cờ vua trên nhiều bảng khác nhau, thu được từ một bảng thông thường bằng cách sử dụng các phép biến đổi hình học. Có bàn cờ đa chiều, bàn cờ hai chọi hai (ở đây gọi là ván cờ tứ phương) và bàn cờ ba đấu ba (ở đây người thắng là người ăn được cả hai quân vua của đối thủ).

Bạn có thể chơi trên hai bảng song song - trên mỗi bảng, các quy tắc là bình thường và ngoài ra, các quân cờ được phép di chuyển từ bảng này sang bảng khác giống như trong thang máy. Nếu khi dán tấm ván bị xoắn nửa vòng thì thay vì tấm ván hình trụ, chúng ta sẽ nhận được dải Möbius! Trên đó, một quân cờ trong một nước đi có thể kết thúc trên cùng một sân, nhưng chỉ ở phía bên kia!

Tấm bảng ngộ nghĩnh được thể hiện trong Hình 5, nó được trưng bày tại triển lãm của các nghệ sĩ tiên phong người Pháp!

58

truyện cổ tích

Trong bố cục cờ vua bài toán, các trò chơi có luật chơi khác thường, trên bàn cờ không chuẩn và có quân cờ khác thường được phân loại là cờ vua cổ tích (hoặc tuyệt vời). Chúng tôi đã nói về một số trò chơi tuyệt vời trên các bảng khác thường. Bây giờ chúng ta hãy tập trung vào một số nhân vật cổ tích nổi tiếng nhất.

Một số nhân vật trong truyện cổ tích có được bằng cách kết hợp các bước di chuyển thông thường của quân xe, quân tượng và hiệp sĩ. Có bốn sự kết hợp có thể xảy ra: quân xe+quân (trong trường hợp này kết quả là quân hậu), quân xe+mã (chưởng tướng), quân mã+mã (nhân mã), quân xe+quân+quân mã (maharajah hoặc amazon).

Maharaja là một quân cờ rất mạnh, sức mạnh vượt trội đáng kể so với nữ hoàng (cố gắng tìm ra sức mạnh của Maharaja bằng phương pháp được mô tả trong «Kvant», 1974, số 6). Trò chơi phổ biến tiếp theo gắn liền với Maharaja.

Một người chơi có đầy đủ các quân cờ ở vị trí ban đầu, trong khi người kia chỉ có một maharajah mà anh ta đặt trên một ô ngẫu nhiên. Maharajah sẽ thua nếu bị ăn thịt và thắng nếu chiếu hết vua đối phương.

Trong trò chơi này, các quân tốt bị cấm thăng hạng, vì nếu không thì chiến thắng quá đơn giản - chỉ cần di chuyển cả hai quân tốt bên ngoài thành quân hậu là đủ, sau đó ba quân hậu và hai quân xe sẽ dễ dàng bao vây maharajah. Nếu đặt chỗ trước, Maharajah sẽ phản kháng ngoan cố và một người chơi thiếu kinh nghiệm có thể thua. Chưa hết, người chơi chơi đầy đủ quân cờ sẽ bị buộc phải thắng. M. Gardner trong cuốn “Tiểu thuyết toán học” (M., “Mir”, 1974) đề xuất một kế hoạch bao vây Maharaja, gồm 25 nước đi. Tuy nhiên, mục tiêu có thể đạt được sớm hơn ít nhất mười nước đi.

Bỏ qua những chuyển động của Maharajah, White đưa ra một lời đề nghị phụ

loạt 14 chiêu sau: a4, h4, Ra3, Rhh3, Nc3, Nf3, Rb3, Rg3, d4, Qd3, Qe4, Rb7, Qd5, Rg8 (dễ dàng nhận thấy cho đến nay Maharajah không thể ăn được một quân trắng hay chiếu tướng). Bây giờ maharajah chỉ có hai ô vuông an toàn - a6 và f6. Trong trường hợp đầu tiên, nó chết sau 15.Cg5 và trong trường hợp thứ hai - sau 15.e4. Có lẽ bạn có thể cải thiện kỷ lục này?

Bài tập 5. Xếp 10 maharajas lên bảng $10\times10$ sao cho chúng không va vào nhau (trên các bảng nhỏ hơn không thể sắp xếp chúng theo cách yêu cầu).

Cơm. 5. Bàn cờ là nơi trưng bày triển lãm của các nghệ sĩ tiên phong.

Ngựa cổ tích

Nhiều hình tượng cổ tích khác nhau có được từ hiệp sĩ tổng quát $(a, b)$ bằng cách chọn các giá trị nhất định $a$ và $b$. Một hiệp sĩ như vậy di chuyển các ô vuông $a$ theo một hướng và các ô vuông $b$ theo hướng vuông góc. Đối với một hiệp sĩ thông thường $a=1$, $b=2$.

Ngựa $(1,3)$ được gọi là lạc đà, $(1,4)$ - hươu cao cổ, $(2,3)$ - ngựa vằn. Nếu một trong các số $a$, $b$ bằng 0 thì kết quả là quân Xe di chuyển đến một số ô cố định, nhưng nếu $a=b$ thì kết quả là quân tượng,

59

trao tặng tài sản giống nhau. Một con ngựa nhảy nhiều bước liên tiếp trong một bước đi sẽ có “danh hiệu” là người làm vườn. bài toán M268 được dành riêng cho một trò chơi thú vị (xem «Kvant», 1974, số 6). Trong đó, một người chơi di chuyển quân giống như một hiệp sĩ thông thường (với một nước đi kép) và người còn lại là một con lạc đà. Đồng thời, con ngựa tỏ ra xảo quyệt hơn con lạc đà!

Có rất nhiều trò chơi toán học và bài toán có tính đến các nhân vật trong truyện cổ tích; tất cả các chủ đề nêu trên (tuyến đường, sự sắp xếp, sức mạnh của các số liệu và những chủ đề khác) đều có thể dễ dàng chuyển sang các số liệu đó.

Shashmy

Trò chơi này là sự kết hợp giữa cờ vua và cờ đam, được phát minh bởi nhà toán học người Mỹ S. Golomb, người được biết đến ở nước ta với trò chơi “polyominoes”. Cờ vua được chơi bằng quân cờ, nhưng chỉ trên các ô vuông màu đen (như cờ caro). Một hiệp sĩ bình thường ở đây không thể thực hiện một nước đi nào (nó ngay lập tức kết thúc trên một ô vuông màu trắng bị cấm), vì vậy nó được thay thế bằng một con lạc đà - một hiệp sĩ (1,3), không làm thay đổi màu của các cánh đồng.

Hình 6 cho thấy một trong những đường đi khép kín của con lạc đà đi qua tất cả các ô trên bàn cờ. Được biết, có thể xếp tối đa 32 quân mã trên bàn cờ mà không đe dọa lẫn nhau (có thể đặt toàn quân trắng hoặc toàn quân).

Cơm. 6. Đường đi khép kín của con lạc đà trên bàn cờ.

trường màu đen). Số lượng lạc đà “yên bình” tối đa trên bàn cờ là 16, tức là chúng cũng có thể chiếm một nửa số ô. Lạc đà có thể được đặt trên các ô vuông có cả bốn hoặc tất cả các số lẻ trong Hình 6. Do đó, mẫu này cho lời giải hai bài toán trên bàn cờ. Bạn có thể tìm thấy câu chuyện chi tiết hơn về cờ vua (đặc biệt là việc sắp xếp các quân cờ trước khi bắt đầu ván đấu) trong cuốn sách thứ hai được đề cập của M. Gardner.

Để kết luận, chúng tôi sẽ kể cho bạn nghe về một vài nhân vật trong truyện cổ tích trông không giống bất cứ thứ gì khác chút nào! Con dế di chuyển như một nữ hoàng, nhưng lại nhảy qua quân của mình và của người khác, khiến quân cờ bị bỏ lại phía sau. Sư tử, không giống như dế, nhận ra quân bị lật trên bất kỳ sân trống nào. Có những quân cờ không phải đế quốc mà cả quân trắng và quân đen đều có thể chơi được. Quân chiến đấu chỉ được phép di chuyển với quân đã bắt được. Con ngựa đang đập được gọi là zinnonomatom và hình trước đây được gọi là khủng long. Hình dinlomat không tự đi được, nhưng cũng không thể lấy được; Hơn nữa, xung quanh nhà ngoại giao, hình dáng của chính mình là bất khả xâm phạm! Và quân kamikadze (tự sát) sẽ bị xóa khỏi bàn cờ cùng với quân bị bắt!

Cho đến sáu năm trước, nó chỉ là về số liệu. Tuy nhiên, nhiều giống đã được tạo ra cho những con tốt. Con tốt tắc kè hoa khi bắt được một quân không che giấu, nó sẽ biến thành quân cờ giống nhau nhưng có màu sắc riêng. Phần trên cùng di chuyển đến bất kỳ số trường nào theo đường thẳng và đến bất kỳ số trường nào theo đường chéo. Maxi Pawn di chuyển cả về phía trước và phía sau. Cuối cùng, trong một ván cờ, một con tốt có thể được phép trở thành một “quả bom nguyên tử”. Ngay sau khi xuất hiện, quân cờ này được đặt trên bất kỳ ô nào trên bàn cờ và trong bán kính các trường r (số r được chỉ định trước) sẽ phá hủy mọi thứ xung quanh nó.