Quá trình đoạn nhiệt

25

V. Kresin

Quá trình đoạn nhiệt

Các ngành vật lý khác nhau có liên quan chặt chẽ với nhau. Có thể đưa ra nhiều ví dụ minh họa. Vì vậy, bài viết này nói về một trong những quá trình quan trọng nhất được nghiên cứu trong vật lý phân tử - quá trình đoạn nhiệt. Trong quá trình này, nhiệt độ của khí thay đổi. Chúng ta không còn quan tâm đến cơ chế thay đổi nhiệt độ nữa; Điều này sẽ đòi hỏi một số kiến ​​thức về cơ học. Đó là lý do tại sao chúng ta sẽ bắt đầu với một bài toán cơ học.

Phản chiếu từ một bức tường chuyển động

Chúng ta hãy xem xét hiện tượng cơ học sau: quả bóng tiếp cận bức tường với tốc độ $v$ và sau một tác động đàn hồi tuyệt đối, hướng chuyển động của nó sẽ thay đổi. Để đơn giản, ta hạn chế trường hợp một quả bóng bình thường rơi vào tường.

Nếu bức tường đứng yên thì rõ ràng sau khi va chạm, hướng vận tốc của quả bóng sẽ đổi chiều ngược lại và giá trị tuyệt đối của nó $|v|$ không đổi.

Bây giờ hãy phức tạp hóa bài toán của chúng ta: quả bóng nằm cạnh một bức tường chuyển động. Giả sử rằng bức tường di chuyển về phía quả bóng với tốc độ $u$ (Hình 1). Trong trường hợp này, quả bóng sẽ chuyển động với tốc độ bao nhiêu sau va chạm? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy rút gọn bài toán thành câu hỏi nổi tiếng - sự va chạm của một quả bóng với một bức tường đứng yên. Nói cách khác, chúng ta sẽ xem xét hiện tượng trong hệ thống báo cáo liên quan đến bức tường. Theo quan điểm của người quan sát trong hệ thống báo cáo này, tốc độ của quả bóng đến gần bức tường sẽ khác nhau, cụ thể là $|v'| = |v| + |u|$. Sau khi phản xạ (hãy nhớ rằng trong hệ thống báo cáo đang xem xét, bức tường sẽ kết thúc), vận tốc sẽ thay đổi hướng, nhưng về giá trị tuyệt đối thì nó vẫn giữ nguyên. Đối với lời giải bài toán cuối cùng, chúng ta lại chuyển sang hệ thống báo cáo cố định, kết nối với quả bóng đang tiến gần đến bức tường so với bức tường và bức tường tự chuyển động so với mặt đất với tốc độ $|u|$. Do đó, tốc độ của quả bóng so với mặt đất là $|v| + 2|u|$.

Như vậy, do sự phản xạ đàn hồi từ bức tường chuyển động, tốc độ của quả bóng trở về gấp đôi tốc độ của bức tường.

Điều này kết thúc phần xem xét của chúng ta về cơ khí phụ trợ bài toán và chuyển sang vấn đề chính - mô tả quá trình đoạn nhiệt.

Cơ chế thay đổi nhiệt độ trong quá trình đoạn nhiệt

Giả sử có một lượng khí lý tưởng trong xi lanh dưới piston (Hình 2). Chuyển động của piston $AB$ cho phép bạn tùy ý lăn xuống và giãn nở

Hình 1.

27

Điều này là do tốc độ của các phân tử giảm khi chúng bị phản xạ từ piston đang lùi dần.

Luật cơ bản của quá trình adnabate
Trong quá trình adnabate, sự thay đổi thể tích của khí lý tưởng đi kèm với sự thay đổi nhiệt độ của nó. Chủ yếu bài toán Phần này của bài viết nhằm thu được công thức kết nối nhiệt độ và thể tích trong quá trình adnabate. Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng hình ảnh động học phân tử của quá trình này.

Chúng ta hãy xem xét chuyển động của bất kỳ phân tử nào của khí lý tưởng đơn nguyên tử. Gọi tốc độ của nó là $v$ và động năng

$$\varepsilon = \frac{m |\vec{v}|^2}{2}.$$

Chuyển động của một phân tử trong không gian có thể được biểu diễn dưới dạng ba chuyển động độc lập dọc theo các trục $X$, $Y$ và $Z$. (Theo nghĩa này, họ nói về ba bậc tự do của các phân tử.) Gắn liền với mỗi chuyển động độc lập này là các quá trình tương ứng $v_x$, $v_y$ và $v_z$ của tốc độ phân tử. Khi đó biểu thức động năng có thể được viết như sau:

$$\varepsilon = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z$$

$$= \frac{m v_x^2}{2} + \frac{m v_y^2}{2} + \frac{m v_z^2}{2}.$$ (1)

Chúng ta sẽ quan tâm đến các chồng phân tử có piston đi xuống (để xác định khoảng cách, trường hợp adnabate scatium). Do đó, chúng ta sẽ chỉ nói về chuyển động dọc theo trục $X$ (xem Hình 2). Để piston đi xuống với tốc độ $\vec{u}$. Lượng năng lượng $\varepsilon_x$ sau va chạm với piston trở nên bằng nhau

$$\varepsilon' = \frac{n (|v_x| + 2 |\vec{u}|)^2}{2},$$

và sự thay đổi năng lượng

$$\Delta \varepsilon_x = \varepsilon' - \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}| + 2m |\vec{u}|^2.$$

Thông thường $|\vec{u}| \ll |v_x|$. Khi đó, trong biểu thức của $\Delta \varepsilon_x$ chúng ta có thể sử dụng số hạng thứ hai so với số hạng thứ nhất và xem xét

$$\Delta \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}|.$$ (2)

Công thức (2) mô tả sự thay đổi năng lượng của một phân tử do một lần va chạm với piston. Mỗi sự thay đổi trên một đơn vị thời gian của nội năng có được coi là lý tưởng đối với một chất khí không? Đối với đáp số câu hỏi này, chúng ta phải tổng hợp sự thay đổi năng lượng của tất cả các phân tử đã va chạm trong vài giây với piston đi xuống. Chúng ta biểu thị bằng $N$ số lượng phân tử khí trong bình, bằng $V$ thể tích của bình và $S$ diện tích của pít-tông. Để đơn giản, chúng tôi sẽ giả định rằng tất cả các phân tử khí được đặc trưng bởi cùng một giá trị số của tốc độ xử lý $v_x$ (trong tương lai chúng tôi sẽ thực hiện các điều chỉnh cần thiết). Hơn nữa, tại bất kỳ thời điểm nào, một nửa số phân tử sẽ di chuyển về phía pít-tông và nửa sau - ra xa nó (nếu không sẽ có sự trộn lẫn toàn bộ khí). Trong vòng 1 giây, sẽ chỉ xảy ra va chạm với những phân tử, thứ nhất, di chuyển về phía pít-tông và thứ hai, ở khoảng cách với nó không quá $|v_x|^*$), tức là số lượng phân tử gặp va chạm bằng

$$N' = \frac{1}{2} \frac{N}{V} |v_x| S.$$ (3)

Đối với tất cả các phân tử $N'$, năng lượng sau khi va chạm với pít-tông thay đổi một lượng $\Delta \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}|$ (xem công thức (2)). Do đó, tổng sự thay đổi năng lượng khí trên một đơn vị thời gian

$$\Delta E = N' \Delta \varepsilon_x$$

$$= \frac{1}{2} \frac{N}{V} |v_x| S \cdot 2m |v_x| |\vec{u}|$$

$$= 2 \frac{N}{V} \frac{m |v_x|^2}{2} |\vec{u}| S.$$ (4)

*) Nghiêm ngặt hơn, khoảng cách này bằng $|v_x| + |\vec{u}|$, nhưng chúng ta sẽ sử dụng thực tế là $|\vec{u}| \ll |v_x|$.

28

Rõ ràng là các giá trị $|\vec{u}| S$ bằng nhau về mặt số lượng, nhưng ngược lại về giá trị với thể tích của bình: $|\vec{u}| S = -\Delta V$. Sau đó

$$\Delta E = -2 \frac{N}{V} \frac{m |v_x|^2}{2} \Delta V = -2 N \varepsilon_x \frac{\Delta V}{V}.$$

(5)

Chúng tôi giả định rằng tất cả các phân tử được đặc trưng bởi cùng một giá trị hình chiếu vận tốc $v_x$. Tất nhiên, giả định này là không đúng sự thật. Trên thực tế, tất cả các phân tử đều chuyển động với tốc độ khác nhau và trên thực tế, có sự thay đổi đáng kể về giá trị của $\varepsilon_x$. Do đó, trong biểu thức (5), thay vì năng lượng $\varepsilon_x$, chúng ta phải lấy giá trị năng lượng trung bình $\varepsilon_x$ cho tất cả các phân tử:

$$\Delta E = -2 N \varepsilon_x \frac{\Delta V}{V}.$$

(6)

Nội năng của khí lý tưởng đơn nguyên tử chứa $N$ phân tử bằng

$$E = \frac{3}{2} N k T,$$

(7)

trong đó $k$ là hằng số Boltzmann và $T$ là nhiệt độ tuyệt đối của chất khí. Giá trị $\frac{3}{2} k T$ và biểu thị giá trị năng lượng trung bình của các phân tử khí lý tưởng đơn nguyên tử. Vì các phân tử bao gồm ba chuyển động độc lập bằng nhau (dọc theo các trục tọa độ đó), nên rõ ràng là $\varepsilon_x = \frac{k T}{2}$. Hãy thay thế giá trị này vào biểu thức (6):

$$\Delta E = -N k T \frac{\Delta V}{V}.$$

(8)

Bây giờ chúng ta hãy viết một biểu thức khác cho $\Delta E$. Chúng ta hãy sử dụng công thức (7) tính nội năng của khí lý tưởng. Với adnabate sctine, nhiệt độ khí thay đổi. Để nhiệt độ của khí thay đổi $\Delta T$ khi thể tích thay đổi $\Delta V$. Khi đó nội năng của chất khí chứa $N$ phân tử bằng $E' = \frac{3}{2} N k (T + \Delta T)$ và độ biến thiên nội năng

$$\Delta E = \frac{3}{2} N k \Delta T.$$

(9)

Đánh đồng các quy tắc của các phần của biểu thức (8) và (9), chúng ta đi đến đẳng thức sau:

$$-N k T \frac{\Delta V}{V} = \frac{3}{2} N k \Delta T,$$

(10)

hoặc

$$\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3} \frac{\Delta V}{V}.$$

(11)

Công thức (11) thiết lập mối liên hệ giữa nhiệt độ, thể tích và sự thay đổi của chúng trong quá trình adnabate.

Câu hỏi đặt ra: nhiệt độ $T$ và thể tích $V$ của chất khí phải liên hệ với nhau như thế nào để khi thay đổi tương ứng thành $\Delta T$ và $\Delta V$ thì đẳng thức (11) được thỏa mãn? Hóa ra kết nối này với mọi $T$ và $V$ đều phải có dạng *)

$$\ln T = -\frac{2}{3} \ln V + \text{const},$$

(12)

trong đó $\ln$ là logarit tự nhiên, tức là logarit cơ số $e \approx 2,72$.

*) Các nhà cổ điển thứ mười có thể tự mình xác minh điều này (ví dụ: xem “Đại số và phân tích đầu 10,” đoạn 114). Đối với những độc giả khác, chúng tôi sẽ kiểm tra biểu thức (12) thực sự mang lại biểu thức (11).

Trên thực tế, hãy để nhiệt độ và âm lượng thay đổi lần lượt theo các giá trị nhỏ $\Delta T$ và $\Delta V$. Khi đó từ biểu thức (12) suy ra:

$$\ln (T + \Delta T) = -\frac{2}{3} \ln (V + \Delta V) + \text{const},$$

hoặc

$$\ln T + \ln \left(1 + \frac{\Delta T}{T}\right) =$$

$$= -\frac{2}{3} \ln V - \frac{2}{3} \ln \left(1 + \frac{\Delta V}{V}\right) + \text{const}.$$

Tính đến đẳng thức (12), chúng ta thu được

$$\ln \left(1 + \frac{\Delta T}{T}\right) = -\frac{2}{3} \ln \left(1 + \frac{\Delta V}{V}\right).$$

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng công thức gần đúng: với $\alpha$ ln $(1 + \alpha) \approx \alpha$ nhỏ, thì

$$\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3} \frac{\Delta V}{V}.$$

29

Như vậy, nhiệt độ và thể tích trong quá trình adnabate có liên hệ với nhau bằng công thức (12), dễ dàng rút gọn về dạng

$$\ln (TV^{2/3}) = \text{const},$$

hoặc

$$TV^{2/3} = \text{const.}$$

(13)

Đây là công thức được tìm kiếm cuối cùng, thể hiện định luật cơ bản của quá trình adnabate đối với khí lý tưởng đơn nguyên tử: $T \sim \frac{1}{V^{2/3}}$.

Số mũ $2/3$, xuất hiện trong biểu thức (13), có một ý nghĩa vật lý nhất định. Có thể chỉ ra (xem Phụ lục) rằng

$$\frac{2}{3} = \frac{C_p}{C_V} - 1,$$

trong đó $C_p$ là nhiệt dung riêng của chất khí nếu nó được nung nóng ở áp suất không đổi, và $C_V$ là nhiệt dung riêng của chất khí ở thể tích không đổi. Vì vậy, định luật mô tả quá trình adnabate (biểu thức (13)) thường được viết dưới dạng

$$TV^{\gamma-1} = \text{const},$$

ở đâu $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$.

Chúng tôi đã kiểm tra chi tiết quá trình adnabate đối với khí đơn nguyên tử. Nhưng hóa ra phương trình (14) mô tả quá trình adnabate trong trường hợp khí đa nguyên tử. Chỉ có giá trị của số lượng $\gamma$ thay đổi. Ví dụ: đối với khí hai nguyên tử $\gamma - 1 = \frac{2}{5}$ (chứ không phải $2/3$, như đối với khí đơn nguyên tử). Điều này là do thực tế là đối với khí hai nguyên tử, nội năng là $E = \frac{5}{2} NkT$ (không phải $\frac{3}{2} NkT$).

Các phân tử hai nguyên tử không chỉ có thể chứa chuyển động tịnh tiến mà còn có thể quay quanh các trục đi qua tâm của phân tử. Ngoài ra còn có một năng lượng nhất định liên quan đến vòng quay này. Đó là lý do tại sao số mũ $\gamma - 1$ hóa ra khác: $\gamma - 1 = \frac{2}{5}$. Chúng tôi mời độc giả tự mình đạt được giá trị này.

Ứng dụng

Độ lớn nhiệt dung của một chất không chỉ phụ thuộc vào bản chất hoặc nhiệt độ của nó mà còn phụ thuộc vào các điều kiện diễn ra quá trình gia nhiệt. Ví dụ, khi đun nóng trong một bình kín, thể tích khí không thay đổi, nhưng trong một bình kín bằng pít-tông chuyển động thì áp suất không đổi. Trong trường hợp này, nhiệt lượng được cung cấp không chỉ dùng để tăng nội năng của khí mà còn để thực hiện công phân phối. Nhiệt độ trong hai trường hợp này là khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, nó được gọi là nhiệt dung ở thể tích không đổi và được ký hiệu là $C_V$, trong trường hợp thứ hai, nó được gọi là nhiệt dung ở áp suất không đổi $C_p$. Rõ ràng là $C_p > C_V$. Hãy tìm sự khác biệt giữa các đại lượng này.

Theo định luật bảo toàn năng lượng, lượng nhiệt $Q$ cung cấp cho khí bằng tổng độ biến thiên nội năng của khí $\Delta E$ và bằng khí $A$:

$$Q = \Delta E + A.$$

Đối với khí đơn nguyên tử, độ biến thiên nội năng $\Delta E = \frac{3}{2} Nk\Delta T$. Công của khí $A$ đối với những thay đổi nhỏ về thể tích $\Delta V$ bằng $A = p\Delta V$ (p là áp suất của khí). Đó là lý do tại sao

$$Q = \frac{3}{2} Nk\Delta T + p\Delta V,$$

và nhiệt lượng của khí

$$C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{3}{2} Nk + p \frac{\Delta V}{\Delta T}.$$

Nếu thể tích của một chất khí không thay đổi thì nhiệt dung riêng của nó

$$C_V = \frac{3}{2} Nk.$$

Nếu áp suất vẫn thay đổi thì

$$C_p = \frac{3}{2} Nk + p \frac{\Delta V}{\Delta T} = \frac{3}{2} Nk + \frac{\Delta (NkT)}{\Delta T} = \frac{5}{2} Nk$$

(chúng ta sẽ sử dụng phương trình cơ bản về trạng thái của khí lý tưởng $pV = NkT$). Từ đây

$$C_p - C_V = Nk.$$

Khi đó công thức (10) có thể viết dưới dạng

$$- (C_p - C_V) T \frac{\Delta V}{V} = C_V\Delta T,$$

hoặc

$$\frac{\Delta T}{T} = - \left( \frac{C_p}{C_V} - 1 \right) \frac{\Delta V}{V} = - (\gamma - 1) \frac{\Delta V}{V},$$

cuối cùng chúng ta đến được đâu

$$TV^{\gamma-1} = \text{const.}$$