Hình bầu dục Descartes

43

Hình bầu dục Descartes

Thuật ngữ “hình bầu dục” xuất phát từ tiếng Latin “ovitis” (trứng). Hình bầu dục (theo nghĩa rộng của từ này) là những đường cong phẳng, hình quả trứng.

Hình bầu dục Descartes là một tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, khoảng cách $r_1, r_2$ của mỗi điểm đó đến hai điểm cố định $F_1, F_2$ của cùng một mặt phẳng thỏa mãn một trong các phương trình

$$mr_1 + nr_2 = a,$$
$$mr_1 - nr_2 = a$$

$(m, n, a$ - hằng số dương cố định). Thông thường, một cặp hình bầu dục Descartes thỏa mãn các phương trình (1), (2) (tất nhiên, có cùng tham số $m, n, a$) được xem xét cùng nhau (trong Hình 1 $M_1$ là điểm đồ thị của phương trình (1), $M_2$ là đồ thị của phương trình (2)). Đối với $n=0$, phương trình (1), (2) xác định đường tròn. Vòng tròn này được mô tả như một đường bút stylus trên trang thứ hai của trang bìa.

Điểm $F_1, F_2$ được gọi là tiêu điểm. Như Chasles (1793-1880) đã chỉ ra, ngoài tiêu điểm $F_1, F_2$, hình bầu dục Descartes còn có tiêu điểm thứ ba $F_3$, tương đương với đặc tính chính của hình bầu dục với mỗi tiêu điểm $F_1, F_2$, tức là đối với một số hằng số $m', n', a'$ và $m''', n''$, và đồ thị của phương trình

$$m |MF_1| \pm n |MF_2| = a,$$
$$m' |MF_1| \pm n' |MF_2| = a',$$
$$m'' |MF_2| \pm n'' |MF_3| = a''$$
là cùng một tập hợp điểm. Tiêu điểm $F_3$ được đặt tại giao điểm của đường $F_1F_2$ với đường tròn đi qua các điểm $F_2$. $M_1$ và $M_2$ (Hình 2). Bằng chứng và nghiên cứu về sự thật thú vị này được cung cấp dưới dạng sau:

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hãy thư giãn nhé người đọc (sự giống nhau của các hình tam giác có thể giúp bạn điều này).

Đây là một bài toán khác, hữu ích hơn. I. Newot đã chỉ ra rằng một tập hợp các điểm, tỉ số khoảng cách giữa chúng với hai đường tròn cho trước là một hằng số, là một trong những đường cong tạo nên một cặp hình bầu dục Descartes. Chính xác thì cái nào?

Hình bầu dục của Descartes là hai đường khép kín, một đường bao quanh đường kia (trang thứ hai của bìa).