Овалы Декарта

43

Овалы Декарта

Термин «овал» пронсходит от латинского «овитит» (яйцо). Овалами (в широком смысле слова) называют плоские кривыяйцеобразной формы.

Овалы Декарта — это множество точек на плоскости, расстояния $r_1, r_2$ каждой из которых от двух фиксированных точек $F_1, F_2$ той же плоскости удовлетворяют одному из уравнений

$$mr_1 + nr_2 = a,$$
$$mr_1 - nr_2 = a$$

$(m, n, a$ — фиксированные положительные constants). Объчно пару овалов Декарта, удовлетворяющих уравнениям (1), (2) (разумется, при одних и тех же параметрах $m, n, a$), рассматривают совместно (на рисунке 1 $M_1$—точка графика уравнения (1), $M_2$—графика уравнения (2)). При $n=0$ уравнения (1), (2) задают окружность. Эта окружность изображена штирисовой линия на второй странице обложки.

Точки $F_1, F_2$ называют фокусами. Как показал Шаль (1793—1880), помимо фокусов $F_1, F_2$ овалы Декарта имеют еще и третьий фокус $F_3$, равноправный относительно основного свойства овалов с каждой из фокусов $F_1, F_2$, т. е. для некоторыхCONSTANTS $m', n', a'$ и $m''', n''$, а графиком уравнения

$$m |MF_1| \pm n |MF_2| = a,$$
$$m' |MF_1| \pm n' |MF_2| = a',$$
$$m'' |MF_2| \pm n'' |MF_3| = a''$$
является одно и то же множество точек. Фокус $F_3$ помещается в пересечении прямой $F_1F_2$ с окружностью, проходящей через точки $F_2$. $M_1$ и $M_2$ (рис. 2). Доказательство и исследование этого интерсного факта предоставлено в следующей форме:

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

лятеся читатель (в этом вам может помочь подобие треугольников).

Вот еще одна задача, полезнее. И. Ньюот показал, что множество точек, относение расстояний каждой из которых от двух заданных окружностей есть величины постоянная, является одной из кривых, составляющих пару овалов Декарта. Какой именно?

Овалы Декарта представляют из себя две замкнутые линии, одна из которых объемляет другую (вторая страница обложки).