Геометрия круга

38

Геометрия круга

В. Вавилов

«Все мои произведения — это церы.
Серьезные церы».

Мориц Эшер

На этом занятии мы рассакжем об одном преобразования плоскости — инверсии, а затем, как обычно, сформируем задание и приложим образец для его выполнения.

1. Определение. Инверсии I относительно окружности γ называется преобразование плоскости, которое каждой точке M плоскости, омличной от центра O окружности, ставим в соответствие точку M на луче OM макую, что

$$|OM'| \cdot |OM| = r^2;$$

здесь r — радиус окружности γ. Окружность γ называется окружностью инверсии, а точка O — центром инверсии.

Если M лежит на окружности инверсии (M ∈ γ), то есть, если |OM| = r, то тогда |OM’| = r²/|OM| = r и M’ ∈ γ. Но точки M и M’ лежат на одном луче; следовательно, они совпадают. Значит, все точки окружности γ являются неподвижными точками преобразования I: I(M) = M, M ∈ γ.

Заметим, что для центра O нет соответствующей точки. Дело в том, что величины |OM’| = r²/|OM| стремятся к бесконечности, когда |OM| стремятся к нулю, то есть когда M → O. Для того, чтобы изменно однозначное соответствие для всех без исключения точек плоскости, мы должны плоскость одной новой точкой O∞ («бесконечно удаленной») и будем считать, что точке O при инверсии I соответствует точке O∞, а точке O∞ — точка O.

Кроме того, будем считать, что все прямые содержат O∞.

Пусть M₁ = I(M), M₂ = I(M₁). Все точки M, M₁ и M₂ лежат на

39

одном луче и
$$|OM_1| \cdot |OM| = r^2,$$
$$|OM_1| \cdot |OM_2| = r^2.$$
Отсюда получаем, что
$$|OM_2| = |OM|.$$
Таким образом, если $M$ — произвольная точка плоскости, то дважды выполненная инверсия $I$ переводит точку $M$ снова в эту же точку. Следовательно, «квадрат» инверсии является тождественным преобразованием плоскости.

Подобным же свойством обладает симметрия относительно прямой; поэтому иногда инверсию называют «симметрией относительно окружности».

Возьемем точку $M$, лежащую в нутр и кругга с гранией $\gamma$ и отличную от $O$, и построим точку $I(M) = M'$. Пусть $N$ — один из концов хорды окружности инверсии $\gamma$, проходящей через точку $M$ перепендикулярно $[OM)$ (см. рис. 1). тогда искомая точка $M'$ — это точка пересечения луча $OM$ и касательной к окружности $\gamma$ в точке $N$. В самом деле, так как прямогольные треугольники $ONM$ и $ONM'$ подобны и $|ON| = r$, то $|OM| / r = r / |OM'|$, то есть $|OM'| \cdot |OM| = r^2$. Когда же нужно построить точку $I(M)$ для точки $M$, лежащей в не кругга с гранией $\gamma$, то из этого же рисунка видно, что если $N$ — одна из точек пересечения окружности $\gamma$ с окружностью, построенной на $[OM]$ как на диаметре, то искомая точка $M'$ — основание перепендикулара, опущенного из точки $N$ на $[OM]$.

Вот еще один пример геометрического построения точки $I(M)$ — при помощи одного только циркуля. Расстоянием случай, когда точка $M$ лежит в не кругга с гранией $\gamma$. Радиусом $|OM|$ опишем дуг с центром $M$, пересекающий $\gamma$ в точках $L$ и $N$ (рис. 2). Затем из этих точек как из центров опишем дуги радиусом $r$ (равным радиусу окружности $\gamma$); эти дуги пересекаются с прямой $OM$ в двух точках — точке $O$ и неокторой точке $M'$. В равноведренных треугольниках $OLM'$ и $OLM$ углы при основании конгрузны:

$$\widehat{OLM} = \widehat{MO}L = \widehat{OM'}L,$$

40

3°. Окружность, проходящую через точку O, в прямую, не проходящую через точку O (рис. 3).

4°. Окружность, не проходящую через точку O, в окружность, также не проходящую через точку O (рис. 4).

Доказательство этих свойств мы не приводим. Докажите их самостояльно или прочитайте в статье A. П. Савина «Инверсия и оружность Аполлоня» («Квант», 1971, № 8).

Из свойств 1°—4° видно, что окружности и прямые равноправны. Если условиться считать прямую линию окружностью «бесконечно большого радиуса», то перечисленные свойства означают, что при инверсии окружность всегда переходит в окружность. Инверсия же относительно окружности «бесконечно большого радиуса» (то есть относительно прямой линии) совпадает с обычной симметрией относительно прямой (почему?).

Определение. Величиной между двумя пересекающими окружностями (в том числе и прямыми линиями) называется величина наименьшего уела, который образует касательные в точке их пересечения.

Две окружности называются ортогональными, если они пересекаются под прямым углом.

Отметим еще два свойства инверсии:

5°. Инверсия переводит окружность, ортогональную к окружности инверсии γ, саму в себя.

6°. Инверсия не изменяет величины углов пересекающихся окружностями.

Свойство 5° означает, что окружность, ортогональная к окружности инверсии γ, неподвижна (но не точечно неподвижна: γ делит эту окружность на две части, которые при инверсии переходят на другую — см. рисунок 5).

Задача 1. Постройте образ изображенного на рисунке 6 с слова при инверсии относительно окружности γ. Результат сравните с рисунком на с. 66.

Задача 2. Докажите, что точка M==(x; y) при инверсии относительно окружности с центром в начале координат и радиусом r переходит в точку M’=(x’; y’), координаты которой определяются по формулам

$$x' = \frac{xr}{x^2 + y^2}, \quad y' = \frac{yr}{x^2 + y^2}.$$

Решите эти уравнения относительно x и y.

Задача 3. Основываясь на задаче 2, докажите свойства 1°—4° аналитических.

Задача 4. Во что перейдет два семейства прямых x=const и y=const, параллельных координатным осм, при инверсии относительно единичной окружности с центром в начале? Дайте ответ сначала без формул задачи 2, а затем — с помощью этих формул.

Многие из вас слышали (или читали) о геометрии Лобачевского, отличия от обычной (евклидовой) геометрии на плоскости тем, что в ней не выполняется аксиома о парал-

Рис. 4.

41

лельных линиях. Прекрасную модель для геометрии Лобачевского предложил французский математик Анри Пуанкаре. В этой модели «точками» являются только точки, лежащие внутри неокторого круга с границей γ (точки окружности γ не расматривают), а «прямы» определяются как ортогональные к γ других окружностей (или части прямых), также расположенные внутри расматриваемого круга *).

Задача 5. Нарисуйте несколько «прямы» в модели Пуанкаре и проверьте аксиomyю параллельных.

В геометрии Лобачевского, в отличие от евклидовой геометрии, существует «бесконечный» треугольник с нулевыми углами — он изобразен на рисунке 7. Обозначим этот треугольник через Δ.

Телерь почти все готово для того, чтобы формулировать задание нашего практикума.

Построим три новых треугольника, получающихся из треугольника Δ при симметрии относительно его стороны γ₁, γ₂, γ₃ (они являются образами треугольника Δ после трех соответствующих преобразований инверсии). Треугольник, симметричный с треугольником Δ относительно любои его стороны, будет по-прежнему иметь нулевые углы, и его вершины будут лежать на окружности γ (рис. 8). Дейстивительно, преобразование инверсии величины углов не изменяет; а окружность γ при данных инверсии перейдет в себя, поскольку она ортогональная сторонам γ₁, γ₂, γ₃ треугольника Δ. На рисунке 8 показан способ построения: при помощи циркуля находим точку M’, симметрично точке M относительно стороны γ₃ (точка M принадлежит окружности с центром O₁, дуга γ₁ которой является стороной треугольника Δ). Тогда центр (точка O₁) искомой окружности является серединой отрезка M’N (N — неподвижная точка пересечения окружности γ со стороной γ₁).

*) Подробно о геометрии Лобачевского и ее модели можно прочитать в «Кванте», № 2 и № 3 за 1976 год.

42

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

Затем каждый из трех вновь полученных треугольников симметрично отображим относительно тех двух его сторон, которые не являются сторонами треугольника Δ (рис. 9); получим шесть треугольников «второго поколения».

Сделав четыре шага аналогичных построений, мы получим часть модулярной фигуры, показанную на рисунке 10.

Рис. 12.

Задание

Построите часть modулярной фигуры, порождаемую прямоугольным круговым треугольником с вершиной в начале координат и углом $\frac{\pi}{n}$ при этой вершине; $n \geq 3$ — целое число (рис. 11).

За образец для выполнения работы можно принять рисунки 10 и 12; фигура на рисунке 12 соответствует случаю $n = 7$.

Задание 6. Произведите инверсию фигуры, изображенной на рисунке 10, приняв за центр инверсии отмещению на рисунке точку O (радius окружности инверсии несуществен — почему?). Сравните результаты с обложкой 3-го номера журнала «Квант» за прошленный год.

В заключение мы предложаем вам несколько задач исследовательского характера.

Задание 7. При каких величины углов исходного треугольника (ужнее не обязательно прямогоугольного) можно симметрими относительно его сторон «замостить» без наложений весь исходный круг с границей γ?

Задание 8. Какие круговые многоугольные области годятся для того, чтобы получилось указанное в задание 7 замошение?

Об инверсии и ее применения можно прочитать в следующих книгах:

1. Д. Гильберт и Кон-Фосен, Назледная геометрия, М.—Л., Гостехидат, 1976.
2. Г. С. М. Кокстер, Введение в геометрия, М.，《Наука》，1966.
3. М. Гарднер, Математические новеллы, М.，《Мир》，1974.