Решения задач М403, М405—М409; Ф413—Ф415, Ф417—Ф422

46

Ф461. Каждый квадратный метр поверхности тела, нагрето до температуры $T$, излучает за единицу времени энергия $E = 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot T^4$ вм. На каком расстоянии от Солнца железные пылики превращается в капли, если плотность потока солнечного излучения (энергия, прохождение за единицу времени через единицу площади) на орбите Земли $W = 1400$ вм/$m^2$? Термператур плавления железа принять равной 1535 °К, расстояние от Земли до Солнца 150·10⁹ м.

А. Стасенко

Ф462. Если терморегулятор электрического утюга поставлен в положение «капрон», то утог периодически включается на 10 сек и выключается на 40 сек. Поверхность утюга при этом нагревается до температуры 100°С. Если терморегулятор поставить в положение «хлопок», то утог периодически включается на 20 сек и выключается на 30 сек. Определить установившуюся температуру поверхности утюга в этом положении терморегулятора. Найти, до какой температуры нагреется включенный утог, если терморегулятор выйдет из строя.

Считать, что теплотдача пропорциональна разности температур утюга и окружащего воздуха. Термература в комнате 20 °С.

В. Скордаров

Решения задач

M403, M405 — M409; Ф413 — Ф415, Ф417 — Ф422

М403. Докажите, что если в выпуклом многообразнике из каждой вершины выходим чемное число ребер, то в любом секции его плоскостью, не проходящей ни через одну из его вершин, получится многоочегодник с чемным числом сторон.

Нетрудно убедиться, что наш многоограничок можно раскрасти в два цвета — скажем белый и красный — так, чтобы любые две соседние (гранница по ребру) грани имели разные цвета. В самом деле, расположим многоограничок так, чтобы все его вершины находились на разной высоте (т. е. чтобы никакое ребро и никакая диагональ не были параллельны горизонтали — см. рис. 1. Проведем через самую вершину горизонтального плоскость. Послепенно опуская эту плоскость, мы раскрасти многоограничок требуемым образом: поскольку в каждой вершине сходится четное число граней, около вершины мы можем выбрать цвет граней

Рис. 1.

49

М408. Из 30 конгрузимых прямоуольников составлен прямоуольник, подобный исходным. Каким может быть отношение длины строки этого прямоуольника?

Рис. 7

Прием длину меньше стороны исходного (маленького) прямоуольника за единицу, а длину его больше стороны обозначим через $a$ ($a > 1$). Пусть $A$ — длина большей стороны «составного» прямоуольника, а $B$ — длина его меньшей стороны. Поскольку большей прямоуольник составлен из маленьких, длинный сторон которых равны 1 и $a$, найдет такие нагурая е числа $x, y, z$ и $t$, что $A = x + ay, B = z + at$. При этом площадь большого прямоуольника в 30 раз больше площади маленького. Значит, большой прямоуольник $A \times B$ подобен маленьскому $a \times 1$ с коэффициентом $\sqrt{30}$. Поэтому

$$\begin{cases} x + ay = \sqrt{30}a, \\ z + at = \sqrt{30}. \end{cases}$$

Отсюда

$$a = \frac{x}{\sqrt{30} - y} = \frac{\sqrt{30} - z}{t},$$

$$yz + 30 - xt = (y + z)\sqrt{30}.$$

(*)

Поскольку $\sqrt{30}$ число irrationalное, последнее равенство возможно только, если $y = -z$. В свою очередь равенство $y = -z$ возможно только при $y = z = 0$ (ведь $y$ и $z$ также натуральные числа!). Таким образом, $A = x \cdot 1, B = t \cdot a$.

Это означает, что из трицати маленьких прямоуольников можно сложить подобный им большой, расположая эти прямоуольники только так, как показано на рисунке 7: исходные прямоуольники лежат как бы поперек большого — из меньших сторон составляется большая.

Подставляя $y = z = 0$ в соответствии (*), получаем $xt = 30$, так что $x$ и $t$ — какие-то делители числа 30. И, наконец, искомое отношение $a = \frac{\sqrt{30}}{t}$, где $t$ — некоторый делитель 30: $t = 1, 2, 3, 5$.

П. Панков

M409. В строку подряд написано 1000 чисел. Под ней пшеничся вторая строка чисел по следующему правилау: под каждой числом $A$ первой строки вычисляется науральное число, указанное, сколько раз $A$ встречается в первой строке. Из второй строки максимое образом пшеничся третья: под каждой числом $B$ второй строки вычисляется науральное число, указанное, сколько раз $B$ встречается во второй строке. Затем из третьей строки максимое образом пшеничся четвертая, из четвертой пяная и так далее.

а) Доказите, что некоморая строка совпадаем со следующей.

б) Более того, доказите, что 1-я строка совпадаем с 12-й.

в) Приведите пример максимального строки, для которого 10-я строка не совпадаем с 11-й.

a) Очевидно, что, начиная со второй строки, все числа в таблице не больше 1000. Кроме того, каждое число не больше написанного под ним. Поэтому сумма чисел в третьей строке не меньше, чем во второй, и т. д.; и каждая из этих сумм не больше миллиона. Следовательно, поскольку все суммы возрастать не могут, в каждих-то соседних строках суммы совпадают, а тогда совпадут и сами строки.

б) Доказем, что если в $m$-й строке, при $m \ge 2$, число отлично от написанного над ним, то оно не меньше чем $2^{m-2}$. Действительно, для $m = 2$ это очевидно, так как все вторые строки натуральные. Пусть это уже проверено для всех строк с номерами, меньшими $m$. Пусть в $m - 1$-й строке написано число $a$, а под ним написано число $b$, большшее $a$. тогда в $m - 1$-й строке написано $b$ чисел, равных $a$. Ясно, что в $m - 2$-й строке будет несколько групп одинаковых чисел, по $a$ чисел в каждой группе, причем числа из разных групп различны. Отсюда вытекает, что $b$ делится на $a$, то есть $b \ge 2a$. Кроме того, по крайней мере одно из чисел в этих группах отличается от $a$, а значит, по предположению индикции $a \ge 2^{(m-1)}-2$. Итак, $b \ge 2a \ge 2^{m-2}$. Наше утверждение доказано по индикции для всех $m \ge 2$. Если предположить, что 11-я строка отлична от 12-й, то какое-то число в 12-й строке будет больше чем $2^{12-2} = 1024 > 1000$, что невозможно.

в) Предыдущие рассудения подсказывают при име:

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, …, 256, 488, …, 488;
1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, …, 256, 488, …, 488;
2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, …, 256, 488, …, 488;
4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 256, 488, …, 488;

256, …, 256, 488, …, 488;
512, …, 512, 488, …, 488

50

(в первой строчке 0 и 1 встречются по одному разу, 2 — два раза, 4 — четыре раза, 8 — восемь раз, …, 256—256 раз, 488 встречается 488 раз; в 11-й строчке встречается 512 раз число 512 и 488 раз число 488).

С нашей задачей связано интересное наблюждение. Возьмем какой-нибудь осмысленный текст, записанный буквами русского (можно и любого другого) алфавита. Рядом с каждой буквой написем, сколько раз она повторяется в этом тексте, а дальше будем составлять таблицу так, как мы это делали раньше. В примере, приведенном на рисунке 8, пятый столбец уже совпадает с предыдущим: последним оказался четвертый числовой столбец. Оказывается, для различных по содержанию и по длине осмысленных текстов количество неповторяющихся числовых столбцов не бывают меньше двух и больше четырех — примеры с одним или пятую или большим числом столбцов неизвестны. Примеры текстов с четырьмя неповторяющимися столбцами (наш пример) очень редки. Разумеется, можно найти такой набор повторяющихся букв, чтобы последним числовым столбцем в таблице оказался, скажем, десятый. Из этого набора букв можно даже составить слова, использув все буквы; но составить осмысленный текст пока не удалось. Почему это так, мы не знаем. Пока это только любопытное наблюждение. Попробуйте найти или составить такой осмысленный текст, чтобы в соответствии таблице последним числовым столбцем оказался первая или пятый. Наверное, первая задача легче: ведь требование очень просто — различные буквы должны встречаться в тексте различное число раз.

М. Серов

Ф413. Имеется идеальный запирающий слой с р—n-переходом. Толщина эмод слоя d, диэлектрическая пропищевая e. Нарисуйте график напряженности и помещила электрическое поля в слое, полаяя распределение плотности заряда в слое максим, как показано на рисунке 9.

Рассмотрим точку $A$, находящуюся на расстоянии $x$ от середины запирающего слоя (рис. 10), и найдем напряженность электрического поля в этой точке. Разобем весь слой на очень тонкие участки толщиной $\Delta l$ и возьмем два таких участка, расположенных симметрично относительно середины слоя. Выбранные участки образуют плоский конденсатор с плотностью заряда $\Delta \sigma = \rho_0 \Delta l$. Напряжение электрического поля, созданного этим конденсатором, между его обкладками равна

$$|\Delta E| = \frac{\Delta \sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon} = \frac{\rho_0 \Delta l}{\varepsilon_0 \varepsilon},$$

а вне конденсатора равна нулю.

Согласно принципу суперпозиции, напряжность поля $\vec{E}$ в точке $A$ равна сумме напряжностей таких конденсоров. При этом в создании электрического поля участок те конденсаторы, обкладки которых на расстоянии, большем $|x|$ от середины слоя:

$$|\vec{E}| = \sum \frac{\rho_0 \Delta l}{\varepsilon_0 \varepsilon} = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 \varepsilon} \sum \Delta l = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 \varepsilon} \left(\frac{d}{2} - x\right).$$

Аналогично для точки $C$ координатами $0 \geq x \geq -d/2$

$$|\vec{E}| = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 \varepsilon} \left(\frac{d}{2} + x\right).$$

51

График напряженности электрического поля в запиращем слое приведен на рисунке 11.

Теперь найдем, как меняется потенциаль поля. Выберем за нуль потенциаль точек с координатой $x = 0$, то есть середину слоя. Тогда потенциаль точки $A$ равен работе электрического поля по перемещению единичного положительного заряда из этой точки к середине слоя. Сила, действующая на заряд при таком перемещении, направлена противоположно перемещению, поэтому работа, а значит, и потенциаль поля в точке $A$ отрицательны. Абсолютную величины потенциальа $\varphi_A$ проще всего найти графические:

$$|\varphi_A| = \frac{\rho_0}{2\varepsilon_0} x^2 - \frac{\rho_0 d}{2\varepsilon_0} x.$$

(Выражение для потенциаль точки с координатой $0 \geq x \geq -d/2$ получите самостояльно.) График изменения потенциальа показан на рисунке 12.

Ф414. Козффициент жесткости резинового железа длины $l$ и массы $m$ равен $k$. Колъюц, изготовленное из эмодюжного железа, врачается с угловой скоростью $\omega$ в горизонтом плоскости вокруг кольца. Определить радиус $R$ врачающей кольца.

Рис. 13.

Обозначим через $L$ длину врачающегося кольца ($L=2\pi R$). Расмотрим небольший участок кольца длиной $\Delta L$. Его масса

$$\Delta m = \frac{m}{L} \Delta L.$$

На выделенный участок на его концах действуют две силы натяжения $\vec{T}$, направленные по касательным кольцу (рис. 13).

Их равновесийousая $\vec{F}$ направлена по радиусу к центру кольца и сообщает расматриваемому участку центростремительное ускорение $|\vec{a}| = \omega^2 R$. Из рисунка 13

$$|\vec{F}| = 2|\vec{T}| \sin \alpha/2.$$

Запишем уравнение движения выделенного участка:

$$|\vec{F}| = |\vec{a}| \Delta m,$$

или

$$2|\vec{T}| \sin \frac{\alpha}{2} = \omega^2 R \frac{m \Delta L}{L}.$$

Поскольку

$$|\vec{T}| = k(L - l),$$

и при малых углах

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} = \frac{\Delta L}{2R},$$

получаем

$$k(2\pi R - l) \frac{\Delta L}{R} = \frac{\omega^2 m}{2\pi} \Delta L.$$

Отсюда

$$R = \frac{l}{2\pi} \frac{1}{1 - \frac{\omega^2 m}{4\pi^2 k}}.$$

И. Слободецкий

Ф415. Упрощенно амом еелия можно представлять как систему, в котором два электронасовершатом кольцами около общего центра — неподвижного ядра. Используя эту модель, попробуйте оценить приближенное диэлектрическую пропищаемость жидкого

Эта задача, несомненно, относится к трудным задачам и даже несколько выходит за рамки школьной программы.

По условию задачи гелян силы полOUцем излучение с длиной волны $\lambda=0,06$ мкм. Это означает, что такое излучение вызывает кольбания электронов в atomе геля с большой амплитудой (это и приводит к сильному поглощению), то есть насупает резонанс. Любое вещество способно сильно поглощать излучение, частота которого совпадает с резонанс-

52

ней части его atomов. Следовательно,

$$v_{\text{pe}_3} = \frac{c}{\lambda} = 5 \cdot 10^{15} \text{ e} \mu.$$

Будем считать, что электrons в atomе геля связи с ядром упругими связями («пружинками»). Зная резонансную частоту, можно вычислить коэффициент «жесткости» $k$ такой «пружинки»:

$$2\pi v_{\text{pe}_3} = \sqrt{\frac{k}{m}},$$

и

$$k = 4\pi^2 v_{\text{pe}_3}^2 m \approx 9 \cdot 10^2 \text{ ke} / \text{cek}^2$$

(здесь $m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ ke}$ — масса электрона).

Если такой atom помещить в постоянное электрическое поле с направлением $\vec{E}$, то каждый электрон сметится из положения равновесия на расстояние $\Delta x = \frac{e |\vec{E}|}{k}$, где $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ k}$ — заряд электрона. Телерь atom можно расстривать как электрический диполль. Его поведение в электрическом поле приятно характеризовать диполным моментом

$$p = 2e\Delta x = \frac{2e^2 |\vec{E}|}{k}.$$

Единница объема вещества прибретает диполный момент

$$P = Np = \frac{2e^2 N}{k} |\vec{E}|.$$

Здесь $N$ — концентрация atomов, которое можно определить, зная плотность $\rho$ жидкого геля и его молярную массу $\mu$:

$$N = N_A \frac{\rho}{\mu} \approx 2 \cdot 10^{28} \text{ m}^{-3},$$

где $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ — число Авогадро.

Явление возникновения электрических диполей в веществе в электрическом поле носит название поляризации диэлектрика. Способность вещества поляризовать колчественно характеризуется с помощью коэффициента поляризации $\alpha$, который в единицах СИ определяется из соответствия

$$P = \alpha \varepsilon_0 |\vec{E}|,$$

где $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \kappa^2 / (\mu \cdot m^2)$ — электрическая постоянная. В нашем случае

$$\alpha = \frac{P}{\varepsilon_0 |\vec{E}|} = \frac{2e^2 N}{\varepsilon_0 k}.$$

Диэлектрическая пропищемость вещества $\varepsilon$ связана с коэффициентом поляризации $\alpha$ соответствием

$$\varepsilon = 1 + \alpha = 1 + \frac{2e^2 N}{\varepsilon_0 k}.$$

Подставляя сюда числовые значения соответствующих величины, найдем

$$\varepsilon \approx 1 + \frac{2(1,6 \cdot 10^{-19})^2 \cdot 2 \cdot 10^{28}}{8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 9 \cdot 10^2} \approx 1,13.$$

Полученный результат достаточно хорошо согласуется с экспериментальным значением диэлектрической пропищемости жидкого геля.

C. Козел

53

Ф416*). В меллоизолированном баллоне нахождения 5 e водорода и 12 e кислорода. Смеся поджизZAIM. Определить давление и температуру в состоянии, если известно, что при образовании 1 моля воды выделяется количество теплоты $Q_0=2,4.10^5$ дж. Объем сосуда 100 литров. Начальная температура смеси кислорода и водорода $t_0=20^\circ C$. Удельная температура воды при постоянном объете равна $c_B=14,3$ кДж/(кк.ераД), а водяных паров $c_\pi=2,1$ кДж/(кк.ераД).

При горении смеси происходит химическая реакция
$$2H_2 + O_2 = 2H_2O,$$
в результате которой образуется вода (точнее, воданые пары). При этом 2 моля (или 4 e) водорода соединиются с 1 молем (или 32 e) кислорода. Так как в сосуде имеет только 12 e кислорода, в реакцию вступает $\frac{4\cdot12}{32}=1,5$ e водорода, и образуется $m_1=13,5$ e водяных паров. Остальные $m_2=3,5$ e водорода не прореагируют и будут присутствовать в сосуде вместе с водяными парами.

Поскольку молярная масса воды равна 18 e/mоль, 13,5 e воды составляют $n=\frac{13,5}{18}$ моля и при сторании смеси выделяется количество теплоты $Q=nQ_0=1,8\cdot10^5$ дж. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии воды паров и водорода:

$$Q=(c_\pi m_1+c_B m_2)\Delta T,$$
где $\Delta T=T-T_0$ — изменение температуры газов. Отсюда найдем $T$:

$$T=T_0+\Delta T=T_0+\frac{Q}{c_\pi m_1+c_B m_2}\approx2800\text{ ераД}.$$

По закону Дальтона давление в сосуде равно сумме парциальных давления воды и водорода:

$$p=p_\pi+p_B.$$
Согласно уравнению газового состояния,

$$p_\pi=\frac{m_1}{\mu_\pi}\frac{RT}{V} \text{ и } p_B=\frac{m_2}{\mu_B}\frac{RT}{V}.$$

Следовательно,

$$p=\left(\frac{m_1}{\mu_\pi}+\frac{m_2}{\mu_B}\right)\frac{RT}{V}\approx5,6\cdot10^5\text{ н/m}^2.$$

И. Словодечкий

Ф418. Сложенные вместе смежные оконные стекапрактически невозможно отделить друge от друга, пимясь оторвать одно стекло от друgeo. Почему?

Рис. 14.

*) Решение задачи Ф416 будет опубликовано в одном из ближайших номеров журнала.

Пусть края пластин — прямы линни, толщина слоя воды между пластинами — $d$. Так как вода смачивает стекло, свободная поверхность воды по краям пластин будет искривлена. Будем считать, что вода полностью смачивает стекло. Тогда ее свободная поверхность — это часть поверхности цилиндра с радиусом поперечного сечения $r=d/2$ (рис. 14). Искривление поверхности жидкости приводит и тому, что давление внутренней жидкости (в воде между пластинами) и давление снаружи не одинаковы. Посмотрим, какова разность этих давлений.

На тонкий слой жидкости, приложаяший к ее свободной поверхности, действуют сила внешнего давления, сила давления со стороны воды и сила поверхного натяжения. Если длина границы свободной поверхности равна $l$ (линейный размер пластин), то сила поверхного натяжения равна $2\sigma l$, где $\sigma$ — коэффициент поверхного натяжения жидкости. Запишем условие равновесия жидкости:

$$pld=2\sigma l+p'ld,$$

где $p$ — внешнее давление, $a$ $p'$ — давление внутренней жидкости. Отсюда разность давления, буторки. В состоянии равновесия пластин содержаются друг с другом в верхних буторков (рис. 15). Возникающие при этом силы реакции, действующие со стороны

55

Ф420. На криштейне ACBOE из 6 неверсных жестких стержней одинаковой длины, соединенных шарнирно (рис. 16), в точке C подвешен груз массы m. Растянут или скат стержень AB? Наименси силу упруgosми в этом стержне.

Рис. 16.

Рис. 17.

Рис. 18.

Ф421. Тонкостенный цилиндр радиуса R раскрутили до целовой скорости w и постоянны в угол (рис. 19). Козффициент треня скольжения между стенками уела и цилиндром равен μ. Определить, сколько оборотов сделаем цилиндр до остановки.

Выяснить, растут или скат тот или иной стержень в шарнирной системе, проще всего следующего образом. Удалим мысленно из системы интерсуоший нас стержень и посмотрим, как будет вести себя оставшаяся часть системы. Если шарниры, которые равше находились на концах расматриваемого стержня, после его (мысленного) удаления начут сближаться, значит, стержень был скат и преяствовал сближению. И наоборот, если эти два шарнира будут расходиться, значит, мы убрали растутый стержень.

Применяя этот метод, легко установить, что в криштейне ACBOE стержни CB, BO и OA растуты, а стержни AC, AE и интерсуоший нас стержень AB скаты.

Телер найдем численное значение силы упруgosти в стержне AB. Прежде всего, заметим, что любой стержень может действовать на шарнир, находящейся на его конце, лишь с силой, направленной вдоль самого стержня. Действительно, если бы это было не так, то по третьему закону Ньютона шарнир также действовал бы на стержень с силой, направленной не вдоль стержня. Такая сила создала бы момент относительной оси, прохождение через шарнир на другом конце стержня. В результате стержень врашался бы вокруг шарнира, а не находился в равновесии.

Рассмотрим шарнир C (рис. 17). Так как стержень AC скат, а BC растут, на шарнир C действуют три силы, составляющие друг с другом углы по 120°. Поскольку шарнир поконтся, все три силы должны быть равны по modulo. Однако из них — сила упруgosти $F_{yпр}$нити, на которой неподвижно висит груз массы m. Поэтому

$$|F_{yпр}| = m|g|, \quad |F_{AC}| = |F_{BC}| = m|g|.$$

На шарнир B также действуют три силы, составляющие друг с другом углы по 120° (рис. 18). Однако из сил известна.

Это сила упруgosти растянутого стержня BC: $|F_{BC}| = m|g|$. Следовательно, и остальные силы, приложенные к шарниру B, а именно — сила упруgosти растянутого стержня BO и искомая сила упруgosти скатого стержня AB, равны тому же. Иначе говоря,

$$|F_{AB}| = m|g|.$$

Эту задачу можно решить и энергетически. Предположим, что нам удалось удлинить стержень AB на ничтожно малую величины Δx. Для этого пришлось совершить работу против искомой силы упруgosти $F_{AB}$. Эта работа $\Delta A = |F_{AB}| \Delta x$ поддет на увеличение потенциальной энергии системы, так как груз массы m поднимается. Причем поднимется на столько же, на сколько поднимется шарнир C. Величину перемещения шарнира C можно найти из таких сообщений. Диагональ (воображаемая) OC ромба OACB, прохождение через середину стержня AB, до удаления стержня AB была горизонтальная. После удаления стержня на малую величины Δx середина стержня AB поднялась на Δx/2. Следовательно, поднялась на Δx/2 и середина воображаемой диагонали ромба. Конец же этой диагонали (то есть точка C) поднялся на Δh = 2Δx/2 = Δx. Отсюда $|F_{AB}| \Delta x = m|g| \Delta h$, и следовательно,

$$|F_{AB}| = m|g|.$$

Б. Буховцев

Поскольку цилиндр и стенками угла есть трение, угловая скорость вращения цилиндра со временем уменьшается. Согласно теореме о кинетической энергии, изменение кинетической энергии цилиндра равно работе действиях на него сил. Очевидно, что в нашем случае редет о работе сил трения $F_{тр1}$ и $F_{тр2}$ (см. рис. 19). Поэтому прежде всего нейdem эти силы.

56

Цилиндр поступательно не перемещается. Это означает, что равноведействующая силы тяжестен $mg$, сил реакции стенок угла $\vec{N}_1$ и $\vec{N}_2$ и сил трения $\vec{F}_{\text{тр1}}$ и $\vec{F}_{\text{тр2}}$ равна нулю. Спроектием силы на вертикальную и горизонтальную оси и запишем соответствующие условия равновесия:

$$|\vec{N}_1| + |\vec{F}_{\text{тр2}}| - |mg| = 0, \quad |\vec{N}_2| - |\vec{F}_{\text{тр1}}| = 0.$$

Кроме того,

$$|\vec{F}_{\text{тр1}}| = \mu |\vec{N}_1| \quad \mu |\vec{N}_2|.$$

Отсюда

$$|\vec{F}_{\text{тр1}}| = \frac{\mu m |\vec{g}|}{1 + \mu^2} \quad \mu |\vec{F}_{\text{тр2}}| = \frac{\mu^2 m |\vec{g}|}{1 + \mu^2}.$$

Пусть цилиндр до остановки сделал $n$ оборотов. Это соответствует сменинию тonne приложения сил трения на расстояние $2\pi Rn$. Работа сил трения при этом равна

$$-(|\vec{F}_{\text{тр1}}| + |\vec{F}_{\text{тр2}}|) 2\pi Rn = -\frac{2\pi Rn \mu (1 + \mu) m |\vec{g}|}{1 + \mu^2}.$$

Приравнять эту работу изменению кинетической энергии цилиндра

$$0 - \frac{m\omega^2 R^2}{2},$$

найдем $n$:

$$n = \frac{\omega^2 R (1 + \mu^2)}{4\pi \mu |\vec{g}| (1 + \mu)}.$$

◆

В диэлектрике направлено электрическою поля ослабляется в $\varepsilon$ раз. Поэтому при одной и той же плотности зарядов направлениям, поскольку они представляют собой проводящие поверхности. Следовательно, между любыми двумяками, принадлежащими разным сферам, разность потенциальной должена быть одна и та же. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы плотность зарядов на нижней половине конденсатора была в $\varepsilon$ раз больше, чем на верхней. При этом электрическое поле во всем конденсаторе будет таким же, как в конденсаторе диэлектрика, но с одинаковой плотностью заряда на верхней и нижней половинах.

Тепер найдем EMкость конденсатора. Для этого надо знать заряд конденсатора и разность потенциальной между его обкладками. Обозначим через $\sigma$ плотность заряда на верхней половине конденсатора, а через $S$ — площадь поверхности внутренней сферы. Тогда заряд конденсатора

$$q = \sigma S/2 - \varepsilon \sigma S/2.$$

Как мы уже говорили, электрическое поле внутреннего конденсатора также же, как в конденсаторе диэлектрика, но с одинаковой плотностью заряда $\sigma$, то есть с равномерно распределенным зарядом

$$q' = \sigma S.$$

Следовательно, разность потенциальной между обкладками

$$\Delta q = \frac{q'}{4\pi \varepsilon_0 r} - \frac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R} = \frac{\sigma S}{4\pi \varepsilon_0} \frac{R - r}{rR}.$$

Разделив $q$ на $\Delta q$, найдем EMкость $C$:

$$C = \frac{q}{\Delta q} = \frac{(1 + \varepsilon) \sigma S/2}{\frac{\sigma S}{4\pi \varepsilon_0} \frac{R - r}{rR}} = \frac{2\pi \varepsilon_0 (1 + \varepsilon) rR}{R - r}.$$

И. Словодечкий