Закон всемирного тяготения

Квант 1977, №6 с. 12-18 Тег S8L4

Я. Смородинский

В современной физике есть постоянные, которые называют фундаментальными. Средние их скорость света $c$ , заряд электрона $e$ , масса электрона $m$ , gravitationная постоянная $\gamma$ , постоянная Планка $h$ . Эти постоянные входят в формулы, описывающие физические процессы в микромире и в космическом пространстве. Фундаментальное этих постоянных в том, что их значения не изменяются ни со временем, ни с местом в пространстве. Где бы мы ни изменяли эти постоянные, мы всегда получим один и те же значения. Физики знают, что эти постоянные не изменились сколь-нибудь заметно за миллиарды лет эволюции Вселенной.

Первую фундаментальную постановку — gravitationную постановку $\gamma$ — введ в физку Исаак Ньюотон. Появился она с открытом закона всемирного тяготения.

В истории этого открытия много удивительных и интересного. Забавна легенда о том, как Ньюотон открыл этот закон, сидя под яблоне, когда ему на голову уплотнилось. Интересно, как Ньюотон смог доказать справедливость этого закона, изучая движение Луны. Удивительно, сколь точным оказался этот закон.

Но самым удивительным было, с какой смелостью Ньюотон обьявил, что закон тяготения есть всеобщий закон, который определяет взаимодействие любых тел во Вселенной.

Из равенства ускорения всех падающих тел он заключит, что сила, действующая на падающей тело, пропорциональная массе этого тела; сила, с которой Луна пригитается Землей, должна быть пропорциональная как массе Луны, так и массе Земли, поскольку можно с таким же успехом считать, что Земля пригитается Луной.

Это было главное в открытии Ньюотона. Но Ньюотон понял и то, что, хотя для разных тел ускорение должно быть одним и тем же, оно должно уменьшаться с возрастанием расстояния между пригитающейшимся телами.

В своей сочинини «Математические начала натуральной физиологии», вышедем в Англия в 1686 году,

Ныютон подвел итог своим многоолетним исследованием в механике *); он излагает, как он нашел зависимость сил прятяжения между телами от расстояния между ними.

Проще всего было бы вывести этот закон для движения по окружности (мы это и сделаем ниже); но планеты движутся по эллипсам, и надо было доказать, что из того же закона можно получить и эллиптическую траекторию.

В своей книге Ныютон формулирует четыре правила, которые должны руководствоваться естественным тательем. Он называет эти правила «правилами философствования». Мы приведем их полностью:

«Прави ило I. Не должно принимать в природаных принципах сверх тех, которые истинны и достаются для объяснения явлений.

Прави ило II. Позмоту, поскольку возможно, должно принимать те же принципы того жерода проявлениями природы.

Прави ило III. Такие свойства тела, которые не могут быть ни успешными, ни ослабляемы и которые оказываются присущими всем телам, над которых возможно произведение испitationя, должны быть почтаемы за свойства всех тел вообще.

Прави ило IV. В опытной физике предложения, выведенные из совершающихся явлений помощи наведения, несмотря на возможность противных им предположений, должны быть почтаемы за верные или в точности или приближению, пока не обнаружатся такие явления, которые они еще более уточняются или уже оказываются подверженными исключением.»

Правило III позволяет Ныютону сделать следующий вывод: «…Обытами и астрономических наблюдениями установливается, что все тела по соседству с Землей тяготют к Земле»

*) Натуральной физической в Англии называют в XVII века физик. Книга Ныютона была переведена на русский язык в 1915 году заменыным русским ученым А. Н. Крыловым. Этот перевод помещен в V томе Собраня социнней Крылова. Ниже в тексте статьи все цитаты приводятся из этого перевода.

ле, и притом пропорционально количеству материки каждой из них; так, Луна тяготет к Земле пропорционально своей массе, и взаимно наши моря тяготют к Луне, все планеты тяготют друг к другу, подобно этому и тяготение комет к Солнцу. На основании этого правил должны учитывать что все тела тяготют друг к другу. Зависимость сил тяготения от расстояния Ныютон формулировал так: «Если времена находится в получибическом отношении радиусов, то центростремительное силы обратно пропорционально квадратам радиусов…». Первая половина этой теоремы есть простой третий закон Кеплера:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{R_1^{3/2}}{R_2^{3/2}}$

— перiodы обращения планет относится как получибическом отношении радиусов, то центростремительное же сила есть та сила, которая заставляет планеты падать на Солнце, то есть сила прятяжения планет Солнцем.

Книга Ныютона была первой книгой, где механика излагалась как точная наука; эту книгу нужно считать первой книгой по теоретической физике и считать год выхода книги — 1686 год — годом рождения теоретической физики. Влияние этой книги на научку было огромным. После нее нельзя было ограничиться только рассужданием, словесными описаниями явлений природы — надо было создавать их теорию. А правильность теории может быть установлена только опитной проверкой: если предсказания теории совпадают с данными опитов, наблюдений, — теория верна. Создание Ныютоном и Лейбницем математического анализа должно средства для выполнения этой программы.

Еще древние греки создали первый теоретический движение планет. Эта теория была изложена Птолемем в трактate «Алмагест». Но она совсем не касалась вопроса о том, почему движутся планеты. Такой вопрос и не возникал. Следуя учению Аристотеля, греки

Клавдий Птолемей (11 век н. э.)

считали, что планетам свойственное движение по окружности, подобно тому как тяжелим телам свойственное падать, а легким, как дым, подыматься вверх. Даже в средние века рассуждать о принципах движения планет значило смешивать астрономию с физикой, что было по представлении того времени не позволительно; законы небесные и земные принадлежали разным областям и в них не следовало искать чего-либо общего.

Все же Коперник в 1543 году говорил о том, что тяжеть — это общее свойство тел, «…страмление, благодаря которого они, смыкаясь в форме шара, образуют единое целое. И следует допустить, что этострамление присуше также Солнцу, Лунце и остальных планетами…».

Кеплер (а до Кеплара еще и Гильберт) сравнивал тяжость с магнитным действием. При этом Кеплер был первым, кто объявил задачу о движении планет физической задачей, и первым, кто ясно поставил вопрос, почему движется планеты, в то время как все остальные астрономыли лишь придумывали геометрические модели, которые описывают как движутся планеты. Физики времен Галилея и Кеплара решали физические задачи, составляя пропорции. Так, о падании тел на Земле говорилось, что если промежутки времени расположить в форме арифметической про-
грессии, то отрезки путь, проходимых телом за последовательные промежутки времени, будут относиться как квадраты последовательных чисел. Галилей знал, что все тела на Земле падают с одинаковымускорением; он вполне мог обьясить, почему брошенное на Земле тел летит по параболе. Описывая полет снаряда, он говорил, что это движение складывает из равноускоренного падения и равномерного прямолинейного движения по инерции, и не задавался вопросом о том, почему снаряд падает равноускоренно. Очень трудно было прийти к мысли, чтоускорение зависит от высоты. Галилей считал, что даже Луна (если остановить ее поступательное движение) будет паать на Землю с тем жеускорением, с каким камень падает на Земле.

Правда, Галилей считал, что и для Луны должны выполнять «земной» закон независястиускорения свойбодного падения от массы. Так что «половину» задачи он понял правильно! Но Галилей никак не мог воспринять идею, что Земля приятывает камень. Падение камня (Луны) на Землю есть просто проявление стремления всех тел собственся по близке к одному центру, собственся в некуло шарообразную «кучу». В то время считалось очевидным, что одно тело может действовать на другое, только соприкасаясь с ним. Действие на расстоянии казалось просто немыслимым. Поэтому Галилей ответил дою Кеплара о том, что приливы и отливы на Земле связаны с прияжением Луной вод океанов. Ко времени Ньюотона положение начало изменяться.

Не все слепо следовали за Галилеем. Так, Роберт Гук, основываясь на аналогии тяжости с прияжением магнитна, пытался в 1666 году опытным путем определить, как изменяется вес тела с высотой. Он проводил опыты с магнитами разной длины в Вестминстерском аббатстве в Лондоне. Ясно, что обнаружить что-либо существенно он так и не смог. Далее высказывая предположение о том, что сила прияжения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, он не смог облечь свои мысли в строгу форму уравнения.

Николай Конерник (1473—1543)

Гук не умел еще ни писать уравнения, ни решать их и потому не смог проверить справедливость этого предложения. Также ничего не смог сделать и другой знаменитый в то время механик англичанин Рен. Рен также говорил о законе обратных квадратов, но и у него все ограничивалось словами.

Только в руках Ньютона все стало на свой месте. Первая, и главная, идея пришла ему в голову в 1665 году, когда он спасался от чумы в своем родовом помеще. Как рассказывалот, все дело началось с яблока, упавшего с дерева. 23-летнего ученого поразила мысль, что причина, заставляющая яблоко падать на Землю, должна быть родственна причене, заставляющей Луну отклоняться от своего прямолинейного пути. Сейчас это кажется очевидным, но во время Ньютона сама мысль о подчинении космических тел простым земным законом была необычайно смелой. Но одно дело поверить самому в смелую гипотезу, а другое — убедить в ее справедливости других. Для этого надо, по крайней мере, найти способ ее проверки, найти способ, как мы говорим сейчас, сравнить теорию с опытом.

Лучше всего было начать с исследования движения Луны, использую имеющиеся результаты наδιοдений. Это требовал сил и времени. Ньютон, кроме того, был еще занят оптическими исследованиями; и вообще ученые того времени обычно не торопились с публикациями. Вероятно, поэтому лишь через 20 лет — в апреле 1686 года Ньютон представил Королевскому обществу (Англійской академии наук) первый том «Начал», а весь труд был опубликован к середине 1687 года. Только тогда теория была выдана на суд других физиков.

Напишем закон всемирного тяготения для Солнца и планеты (обозначая их массы $M$ и $m$ ). Сила притяжения

$F = \gamma \frac{Mm}{r^2}.$

Ускорение, сообщаемое этой силе планете,

$a = \gamma \frac{M}{r^2}.$

Как же Ньютон получил эти формулы?

В своих понках закона тяготения Ньютон исходил из третьего закона

Галилео Галилей (1564–1642)

Кеплера: квадраты средних времен образения планет относится как кубы их средних расстояний от Солнца. (Этот закон Ньютон называет полукубический относением.) Еще тогда, когда Ньютон сравнивал падение яблока и Луньи, он знал, что если тело движется по окружности, на это тело действует сила, прятягающая его к центру окружности; он знал также, что центростремительное ускорение пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально расстоянию.

Правда, честь открытия законов кругового движения приписывается Гюйгенсу, но Гюйгенс опубликовал свое открытие лишь в 1673 году (хотя знал о нем еще в 1659 году). Ньютону пришлось поэтому разбираться во всем самому.

Ньютон рассуждал примерно так. Третий закон Кеплера гласит, что для планет одной системы

$\frac{R_1^3}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{T_2^2} = \dots = \text{const.}$

Пусть планеты движутся по окружности. Введем угловую скорость вращения планеты по орбите $\omega = 2\pi/T$ . Тогда третий закон Кеплера примет вид:

$\omega_1^2 R_1^3 = \omega_2^2 R_2^3 = \dots = \text{const.}$

Предположим теперь, что сила вззада-

$F = \gamma \frac{M_\odot m}{R^2}.$

В этом вывода, однako, задача слишком упрощена. На самом деле она значительное сложнее.

Вводя в формулу одно-единственное расстояние $R$ , мы рассуждали так, как будто бы Солнце — матерIALная точка, не имеющая размеров. Но Ньюотон понимал, что для того чтобы проверить закон тяготения, например, по движению Луны, надо уметь решать задачу для тела конечного размера, просуммировать как-то включы от разных частей Земли и Луны. Задча была сложной, и ее решение было получено не скоро. Вероятно, это было главной причиной, почему Ньюотон так долго не публиковал свое открытие.

Результаты решения этой сложной задачи Ньюотон представил в виде теорем. Для однородных по плотности тел формула для закона притяжения выглядит так, как будто бы вся масса тела сосредоточена в его центре. Ньюотон доказал, что сферический слой однородной плотности притягивает другими телами и, по закону равенства действия и противодействия, притягивает сам другие тела так, как будто вся его масса сосредоточена в центре *). Если представить себе шар сложным из сферических слов, то можно видеть, как вычислять поле тяготения тела с сферическим симметриным распределением массы. Эти теоремы Ньюотона решили дело. Теперь в выражении для силы, действующей между Луной

*) Речь идет о телах, находящихся в слоя. Ньюотон доказал, что внутреннюю гравиатционные силы равны нулю.

В «Началах» Ньюотон излагает решение обратной задачи: он находится, каков должен быть закон взаимодействия, чтобы траекторий был эллипс, и показывает, что это должен быть закон «обратных квадратов». Более того, Ньюотон доказывает, что если бы закон сил, действующих между планетой и Солнцем, хотя бы немного отклонения от закона обратных квадратов, то точки набольшего и наименьшего удаления планеты от Солнца не были бы неподвижны в пространстве. А из наблюдайшего, что эти точки (их называют апсидами) почти неподвижны. Это доказательство Ньюотона — одно из самых блестих в астрономии.

Обратим еще раз внимание на сказанное: можно утверждать, что закон обратных квадратов для сил

притяжения следует из одного только факта неподвижности апсид; так что расчеты силы прятяжения с помощью тревого закона Кеплера излиши; на самом деле третий закон является следствием первого. Это, конечно, Кеплер знать не мог *).

Много лет теория Ньютона была основой небесной механики, и хотя многое пытается обнаружить каким-либо поправки к закону всемирного тяготения, найти их удалость только Эйнштейну. Сейчас мы знаем, когда закон всемирного тяготения становится неточным, и умеем вычислять к нему поправки. Закон тяготения верен до тех пор, пока расстояние между телами много больше так называемого gravитационного радиуса прятягивающего тела. Гравитационным радиусом тела массы $M$ называют величины

$R_{\text{rp}} = \frac{2\gamma M}{c^2},$

где $\gamma M = C$ это известная уже нам «постоянная Кеплера», а $c$ — скорость света. Для Солнца gravитационный радиус равен 3 км, а для Земли — 7 мм. Отсюда мы можем заключить, что закон всемирного тяготения на поверхности Земли может иметь относительно ошибку, равную примерно $\frac{7 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{6,4 \cdot 10^6 \text{ м}} \approx 10^{-9}$ (радис Земли $\approx 6400 \text{ км}$ ), а на поверхности Солнца $-\frac{3 \cdot 10^3 \text{ м}}{7 \cdot 10^8 \text{ м}} \approx 0,4 \cdot 10^{-5}$ (радис Солнца $\approx 700 \text{ 000 \text{ км}}$ ).

На расстоянии, равном расстоянию от Солнца до Меркурия (около 50 млн.км), мы можем ожидать ошибку в законе всемирного тяготения порядка $\frac{3 \cdot 10^3 \text{ м}}{5 \cdot 10^{10} \text{ м}} = 0,6 \cdot 10^{-7}$ . Хотя ошибка и очень мала, но она приводит к наблюдаемому эффекту.

Это связано с указанным Ньютоном свойством апсид «отзываться» своим движением на нарушение закона обратных квадратов. Из-за малой поправки эллиптическая орбита Меркурия медленно поворачивается в пространстве. Это движение (встроную обращения Меркурия на орбите) накладывается на движение, связанное с возможностями действия Юпитера, которое объясняется ньютоновской теорией. За 100 лет накалливается дополнительное смесение $43^{\prime\prime}$ , объяснение которого было дан лишь общей теорией относительнойности.

Не всегда поправки общей теории относительнойности стол малы. В глубинах космоса есть области, в которых эффективы общей теории относительнойности оказываются основными. Это — недра тяжелых звезд, ядра галактик. При описании Вселенной как физической системы основных «инструментом» является общая теория относительнойности. Но дорогу к таким исследованием открыл Ньютон. Он был первым, кто создал методы теоретической физики, и первым применил эти методы к изучению Вселенной.

*) Если бы сила прятяжения была пропорциональна расстоянию, планета имела бы замкнутую эллиптическую орбиту стол малы в том случае, если бы Солнце располагалось не в фокусе эллипса, а в его центре.