[Послесловие к статье Н. Н. Носова «Витя Малеев решает задачи»]

66

себе вдвое больше, чем девочка. Что делать, по-твоему?
— Надавать, — говорит, — ему по шее, чтобы не обжал девочек!
— Да я не про то справиваю! Как им разделить, что у него было вдвое?
— Пусть делят, как сами хотят. ЧERO ты ко мне пристал! Пусть повину делят.
— Да нельзя поровну. Это задача такая.
— Какая еще задача?
— Ну, задача по аргументке.
— Тьфу! — говорит Шишкин. — У меня морская свинка подохла, я ее только позавчера купил, а он тут с задачами лезет!

Последовие
С тех пор, как Николаем Носовым была написана замечательная повесь «Витя Малеев в школе и дома», преподавание математики в школе сильно изменилось. Тепер предмет стал называется математикой, а не аргументкой, изменилось и его содержание. Нынешний третвеклассик или четвероклассик уже не станет мучительно раздувать над задачей об орехах. Он обозначит число орехов у девочки через «x», а тогда у мальчика будет «2x» орехов. Таким образом, всего орехов было «3x», а известно, что их было 120. Значит, 3x = 120, отсюда x = 40, 2x = 80. Задча решения.

Что же касается задачи о «пилах и топорах», то и здесь может прийти на помощь всемогущий «x». Вспомним окончательную форму задачи, которую она приняла после упрощения:
«12 топоров и 3 пилы стоят 84 рублей, 12 топоров и 5 пилы стоят 100 рублей». Обозначим стоимость пилы через «x», тогда из первого условия 12 топоров стоят 84 — 3x рублей, а один топор (84 — 3x) : 12 рублей. Запишем теперь второе условие:
$$12 \cdot (84 - 3x) : 12 + 5x = 100$$
или
$$84 - 3x + 5x = 100,$$
откуда x = 8 (рублей). Снова на помощь приSEL стандартный метод, который приводит к целю без долгих раздумий.

Однако не каждая ли вам, что решение Вани Пахомова города красивее. Она покоряет нас простой и изящестом логического рассужения, приводящero к решению задачи. Попробуйте и вы решать задачи не только стандартным способом (с помощью уравнения), но и просто логическим рассужением. Напишите нам, какие задачи из учебников 3—5 классов проще решать логические, чем с помощью уравнения.

А. Савин

К статье В. Вавилова «Геометрия круга» (см. с. 40).

68

заполянет его. В таком случае образующий пар не удаляется из соуда.

В герметически закрытом соуда, температура которого поддерживается неизменной, жидкость может сохранять сколь угодно долго, не изменяя своего объема. Значит ли это, что испарение прекратилось? Конечно, нет. По-прежнему «быстрый» молекулы покидают поверхность жидкости, но одновременно проинсходит конденсция образовавшегося над жидкостью пара. И когда число молекул, вылегающих за данное время из жидкости, станет равным числу молекул, возвращающийся обратно за то же время, тогда массы как жидкости, так и пара будут оставаться неизменными. Наступает равновесие между жидкостью и паром. Пар, находящийся в равновесии со своей жидкостью, называют насыщенным паром.

Находящие в равновесии жидкость и соррикающийся с него пар непрерывно обмениваются своим молекулами. Каково же число обмениваемых за данное время молекул? Сколько молекул вылегает из жидкости и возвращается обратно за данное время?

Пусть через единцу площади поверхности за единцу времени вылегает в среднем одно и то же число молекул $z_0$, а попадает в нее $z$ молекул. Между жидкостью и паром наступает равновесие, когда $z_0 = z$.

Вычислить значение $z_0$ трудно хотя бы потому, что мы не знаем точно значения сил притяжения между молекулами пара и жидкости. Зато расчитать значение $z$ довольно просто. Действительно, внутри жидкости пропикает каждый молекул пара, попавшая на поверхность жидкости; следовательно, $z$ равно числу молекул, попадающих за единцу времени на единцу площади поверхности жидкости. Найдем это число.

Направим ось $X$ перpendикулярно свободной поверхности жидкости в соуда (рис. 1). Будем считать, что проекции скоростей всех молекул пара на ось $X$ одинаковы по абсолотной величины. Тогда у половины всех молекул проекция скорости на ось $X$

Рис. 1.

положительна и равна $|v_x|$, а у половины — отрицательна и равна $|v_y|$.

За единицу времени на единицу площади поверхности попадут те молекулы пара, которые находятся от нее на расстоянии $l \leqslant |v_x|$ и имеют проекцию скорости на ось $X$, равную $|v_y|$. Инными словами, за единицу времени на единицу площади поверхности площади молекул пара, находящихся в объём $V_1 = |v_x|$, применяющим к поверхности. Если объем, занимаемый в соуда паром, равен $V$ и в этом объеме находится $N$ молекул пара, то в объеме $V_1$ число молекул пара равно $N_1 = \frac{N}{V} V_1 = \frac{N |v_x|}{V}$.

Таким образом, число молекул пара, попадающих за единицу времени на единицу площади поверхности жидкости, равно

$$z = \frac{1}{2} \frac{N}{V} |v_x|.$$

Мы считали, что проекции скоростей молекул на ось $X$ одинаковы по абсолотной величины. Однако это не так, и точнее было бы пользоваться незначением $|v_x|$, а средним значением этой величины. Поэтому

$$z = \frac{1}{2} \frac{N}{V} |\bar{v}_x|.$$

Если число $z_0$ молекул, показанных через единицу площади поверхности за единицу времени, равно этому значению $z$, то между жидкостью и паром устанавливается равновесие.

Итак, число молекул, возвращающийся из пара в жидкость, зависит

69

не только от температуры (от $|\bar{v}_x|$), но и от плотности пара ($\frac{N}{V}$). Следовательно, пар над жидкостью становится насыщенным, когда в занимаемом им объеме $V$ накопится как раз столько молекул $N$, чтобы выполнялось условия

$$\frac{1}{2} \frac{N}{V} |\bar{v}_x| = z_0. \tag{1}$$

Напомним, что отношение $\frac{N}{V}$ определяет давление $p$ пара при данной температуре:

$$p = \frac{N}{V} kT. \tag{2}$$

Если пар насыщенный, то, согласно (1), $\frac{N}{V} = \frac{2z_0}{|\bar{v}_x|}$, и давление пара равно

$$p_H = \frac{2z_0 k T}{|\bar{v}_x|}. \tag{3}$$

Таким образом, мы приходим к выводу, что давление насыщенного пара действительное не зависит от занимаемого им объема и при данной температуре в полне определения величины, характерная для данной жидкости.

Может показаться, что независимость давления насыщенного пара от объема противечит уравнение газового состояния (2), из которого следует, что при постоянной температуре $T$ давление газа обратно пропорционально занимаемому им объему $V$. может быть, для насыщенного пара неприменимо уравнение состояния газа?

В действительности никакого противечения нет, и уравнение (2) выполня не применимо.

Из уравнения (2) следует, что давление $p$ газа обратно пропорционально его объему при условии, что $N$ постоянно, то есть когда масса газа не изменяется. А для насыщенного пара это условия не выполняется. При изменении объема насыщенного пара его масса тоже изменяется. Действительно, если скать насыщенный пар так, что его объем уменшится от значения $V$ до какого-нибудь значения $V_1$, немедленно уменшится относение $N/V_1$. Тогда, как видно из формулы (1), уменшится число $z$ молекул, возвращающийся из пара в жидкость, и оно превыстит число $z_0$

Рис. 2.

«испаряющийся» молекул. Вследствие этого число $N$ молекул пара начинает уменьшаться. Когда оно уменьшится до такого значения $N_1$, при котором

$$\frac{N_1}{V_1} = \frac{N}{V},$$

равновесие восстановится. Но тогда, в соответствии с уравнением (2), восстановится и давление $p$ пара. Так это и происходит на опыте.

При уменшении объема насыщенного пара часть его конденсируется и масса пара уменшается во столько раз, во сколько раз уменшается его объем. Поэтому давление насыщенного пара не зависит от объема. (Нетрудно доказать, что при увеличении объема, занимаемого насыщенным паром, от значения $V$ до значения $V_1$ все произойдет в обратном порядке: число «конденсирующих» молекул становится чем число испаряющихся, вследствие этого число молекул вpare уменшится до такого значения $N_1$, при котором

$$\frac{N_1}{V_1} = \frac{N}{V},$$

и давление пара остается прежним.)

Итак, мы выяснили, что давление насыщенного пара при заданной температуре имеет в полне определение значения, характерное для данной жидкости. Мы подерknули «при заданной температуре», так как опыт показывает, что давление насыщенного пара над жидкостью зависит от температуры.

70

Получить из опыта эту зависимость нетрудно. Для этого нужно сначала маниметром закрытый сосуд с жидкостью помещить в нагреватель и изменять давление пара при разных температурах. На рисунке 2 приведен типичный график зависимости давления насыщенного пара от температуры для воды. Эта зависимость совсем не похоже на знакомую нам линейную зависимость давления газа или ненасыщенного пара от температуры, которая показана на том же графике пунктиром. Из графика, например, видно, что при повышении температуры от 373 °C (100 °C) до 473 °C (200 °C) давление насыщенного пара воды возрастает в 16 раз, от одной атмосфереры до 16 atmosферер. Давление же газа или ненасыщенного пара возвращает всего лишь на 27 %, как это и следует из уравнения состояния газа.

Чем же объясняется такое сильное различее?

Обратимся еще раз к уравнению состояния газа

$$p = \frac{N}{V} kT.$$

Из этого уравнения видно, что когда плотность молекул $N/V$ не изменяется с изменением температуры, то давление пара пропорционально температуре $T$. Наблюдаемую на опите более «крутую» зависимость давления $p$ насыщенного пара от температуры можно обяснить только тем, что с повышением температуры расчет и отношение $\frac{N}{V}$, то есть расчет плотность пара.

Почему повышение температуры вызывает увеличение плотности насыщенного пара? Потому что с повышением температуры жидкости резко возвращает доля ее молекул, у которых кинетическая энергия больше работы испарения. Значит, при повышении температуры резко увеличивается число $z_0$ молекул, испарiousся из жидкости. А это, в свою очередь, приводит к увеличению плотности молекул пара $\frac{N}{V}$ и его давления $p$.

Правда, с увеличением температуры растет и скорость молекул пара, то есть растет значение $|\bar{v}_x|$, но этот рост мал по сравнению с ростом плотности $\frac{N}{V}$.

Давление насыщенного пара растет при повышении температуры главным образом за счет увеличения количества жидкости, переходящей в пар.

Ясно, что если жидкость в закрытом сосуде испарится целиком, пар становится ненасыщенным и при дальнейшем нагревании его давление $p$ растет пропорционально температуре $T$. Насыщенный пар можно превращать в насыщенный. Для этого его надо охладить. По мере попежения температуры давление пара будет падать пропорционально температуре до тех пор, пока не начинается его кондensation — на стенках сосуда появятся мелкие капельки жидкости в виде росы. Это значит, что пар становится насыщенным. Температура, при которой становится насыщенным, получила название точки росы.

Уражнения

1. Вычислить давление насыщенного водыного пара в сосуде при температуре 17 °C, если точка росы оказывается равной 5 °C.
2. За сколько времени испарится 1 ккал воды в сосуде, если пространство над его поверхности откачивается насосом, а температура воды поддерживается постоянной, равной 100 °C?

Площадь поверхности воды равна 0,01 $m^2$. Давление насыщенного пара воды при 100 °C равно 1 бар. Считать, что $\bar{v}_x = \sqrt{\frac{v^2}{3}}$.

72

Изложенный примем можно применять и в случае, когда рассматриваемое уравнение приводится к виду (1) после ряда преобразований. При этом, конечно, нужно следить за тем, чтобы не потерять корни и не прибрежти посторонние решения, что требует особой аккуратности в связи с наличием в уравнении параметра.

Пример 3. Решить уравнение
$$x^2 - \sqrt{a-x} = a.$$

Переписав данное уравнение в виде $x^2 - a = \sqrt{a-x}$, немедленно заключаем *), что мы должны решить уравнение
$$(x^2 - a)^2 = a - x$$
(2)
и обратить те его корни, которые удовлетворяют уравнению
$$x^2 - a \geq 0.$$ (3)

Уравнение (2) можно рассматривать как квадратное относительное $a$:
$$a^2 - a(2x^2 + 1) + (x^4 + x) = 0,$$
откуда $a = x^2 + x$ или $a = x^2 - x + 1$.

Уравнение
$$x^2 + x - a = 0$$
(4)
имеет корни при $a \in [-1/4; \infty]$:
$$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{1 + 4a}}{2},$$
$$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4a}}{2},$$

причем $x_1 = x_2$ при $a = -1/4$. Поскольку для корней $x_{1,2}$ в силу уравнения (4) имеем
$$x^2 - a = -x,$$
то проверка неравенства (3) свидетельяк к проверке неравенства $-x \geq 0$, которое для $x_1$ справедливо для всех $a \in [-1/4; \infty]$, а для $x_2$ выполняно лишь при $a \in [-1/4; 0]$.

Уравнение
$$x^2 - x + 1 - a = 0$$
(5)
имеет корни при $a \in [3/4; \infty]$:
$$x_3 = \frac{1 - \sqrt{4a - 3}}{2},$$
$$x_4 = \frac{1 + \sqrt{4a - 3}}{2},$$

*) См., например, Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов, «Пособие по математике для поступающих вузы» (М., «Наука», 1976, с. 176–177).

причем $x_3 = x_4$ при $a = 3/4$. Поскольку для корней $x_{3,4}$ в силу уравнения (5) имеем
$$x^2 - a = x - 1,$$
то проверка неравенства (3) свидетельяк к проверке неравенства $x - 1 \geq 0$, которое для $x_3$ неверно при любых $a$, а для $x_4$ выполняно при $a \in [1; \infty]$.

Подведя итог, записем ответ:
при $a \in ] -\infty; -1/4[$ корней нет;
при $a = -1/4$ один корень: $x = -1/2$;
при $a \in ] -1/4; 0]$ два корня: $x = x_1, x = x_2$;
при $a \in ] 0; 1[$ один корень: $x = x_1$;
при $a \in ] 1, \infty[$ два корня: $x = x_1, x = x_4$.

Вследующей задаче тот же примем с успехом применяется для решения системы уравнения.

Пример 4. Решить систему уравнений
$$\begin{cases} ax^2 + 2by = a, \\ by^2 + 2ax = b. \end{cases}$$

Ясно, что если $a = b = 0$, то любая пара чисел $(x, y)$ удовлетворяет системе. Если $b = 0$, но $a \neq 0$ или если $a = 0$, но $b \neq 0$, то система решения не имеет. Пусть, наконец, $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Тогда, выразив $y$ из первого уравнения системы и подставив во второе, получаем уравнение четвертой степени относительно $x$ с двумя параметрами $a$ и $b$, которое можно рассматривать как квадратное относительное $b$:
$$4b^2 - 2b \cdot 4ax - a^2(1 - x^2)^2 = 0.$$
Отсюда находим два уравнения:
$$b = \frac{a(1 + x)^2}{2}, \quad b = -\frac{a(1 - x)^2}{2}.$$

Поччительную задачу прислали в своей письме наши читатели А. М. Авоян и В. М. Анумян (Ереван). Оказывается, что рассматриваемый примем иногда удается решать и также уравнения, в которых никакого параметра нет.

Пример 5. Решить уравнение
$$x + \sqrt{3 + \sqrt{x}} = 3.$$ (6)

Послеовательное возведение обеих частей уравнения в квадрат приводит к уравнению четвертой решения, решить которого очень трудно. Поэтому поступим следующим образом.

73

Нетрудно сообщать, что корнями уравнения (6) будут те и только те корни уравнения

$$3 + \sqrt{x} = (3 - x)^2,$$

(7)

которые удовлетворяют неравенству $0 \leq x \leq 3$, то есть $x \in [0; 3]$. Расстоянием вместе уравнения (7) более общее уравнение с параметром

$$a + \sqrt{x} = (a - x)^2,$$

(8)

совпадающей с уравнением (7) при $a = 3$. Записав уравнение (8) как квадратное относительное $a$:

$$a^2 - a(2x + 1) + (x^2 - \sqrt{x}) = 0,$$

легко получим два уравнения:

$$x + \sqrt{x} + 1 - a = 0, \quad x - \sqrt{x} - a = 0,$$

или, полагая $a = 3$,

$$x + \sqrt{x} - 2 = 0, \quad x - \sqrt{x} - 3 = 0.$$

Решив эти уравнения и отобразив те их корни, которые удовлетворяют условию $x \in [0; 3]$, найдем корень уравнения (6): $x = 1$.

Упражнения

1. Разложить на множители следующим многочлены:

a) $(1 + x^2)y^2 + 2(x - y)(1 + xy) + 1$;
b) $(x^2 - 1)^2 + (y + 1)(4x - y - 1)$.
2. Решить уравнения:
a) $x^6 + (c^2 - b^2)x^2 - bc^2 = 0$;
b) $x^3 + 2\sqrt{3}x^2 + 3x + \sqrt{3} - 1 = 0$;
g) $x^2 + \sqrt{x} + 5 = 5$.
3. Решить систему уравнений
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = bx + cy - az, \\ y^2 + z^2 = ay + bz - cx, \\ z^2 + x^2 = cz + ax - by. \end{cases}$$

Наш читатель Г. Ф. Пискарев (с. Проэрво Ярославской области) прислал в редакцию неравенство, для доказательства которого необходимо использовать изучаемое в школе соответствие между тангенсом и его аргументом.

4. Доказать, что при $0 < x < \pi/2$
   $$\mathrm{tg} x - \sin x > \frac{x^3}{2}.$$

Свое письмо в редакцию наш читатель Б. Я. Старабин (г. Северодонецк Ворошиловградской области) посвятил подробному анализу одной геометрической задачи, предложенной Заочной физикой-технической школе при МФТИ (задание № 5 для учащихся девятых классов).

Пример 6. Стороны $AB$ и $CD$ выпуклою плоскою четырехугольника $ABCD$ взаимно перпендикулярны и являются диаметрами двух конгурзимых касающих друг друга druga внешним образом окружности радиуса $r$. Найти площадь четырехугольника $ABCD$, если известно, что $|BC| : |AD| = 1 : 3$.

Казалось бы, в этой задаче нет ничего особенного, какждый третий задач. Познакомимся с решением, которое предложают авторы задания ЗФТШ.

Использовая обозначения, оченьные из чертежа (см. рис. 1), и учиться, что $(AO) \perp (OD)$, можно написать

$$S_{ABCD} = S_{AOD} - S_{BOC} = \frac{1}{2}(2r + x)(2r + y) - \frac{1}{2}xy = r(x + y) + 2r^2.$$

Запишем теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $BOC, O_1OO_2, AOD$:

$$x^2 + y^2 = z^2,$$

$$(r + x)^2 + (r + y)^2 = 4r^2,$$

$$(2r + x)^2 + (2r + y)^2 = t^2.$$

Из соответствия (9) и (10) следует равенство

$$r(x + y) = r^2 - \frac{1}{2}z^2.$$

С учетом условия $z : t = 1 : 3$ и равен-

74

ства (12) из соответствия (9) и (11) легко исключить $z$ и $t$:

$$x + y = \frac{2}{5} r.$$

Позному окончательно $S_{ABCD} = \frac{12}{5} r^2$.

Ответ получен, в вычислениях ошибки нет. Но любозательный абитриент, захотевший найти $x$ и $y$, будет немало удивлен. Ведь из равенств (9), (12) и (13) получается, что

$$x^2 + y^2 = \frac{6}{5} r^2,$$

а это уравнение с учетом уравнения (13) дает для величины $x$ и $y$ значения $\frac{1 \pm \sqrt{14}}{5} r$, так что одна из длин $x$ или $y$ отличается, что в ней речь идет о «невозможном объекте».

Чтобы убедиться в этом, найдем возможность результата? Дело в том, что изображенная на черте геометрическая картина несовместима с указанным в условии числовыми данныхми. Авторы задачи не заметили, что в ней речь идет о «невозможном объекте».

Поскольку $O$ есть точка пересечения взаимно перпендикулярных прямых $AB$ и $CD$, она лежит на полукругжности, имеющей отрезок $O_1O_2$ своим диаметром. Введем параметр $\alpha = \widehat{BO_1O_2}$. Тогда $x = |OO_1| - |BO_1| = 2r \cos \alpha - r$, $y = 2r \sin \alpha - r$, $z^2 = x^2 + y^2 = 6 - 4 (\sin \alpha + \cos \alpha)$; аналогично $t^2 = 6 + 4 (\sin \alpha + \cos \alpha)$, откуда

$$u^2 = \frac{3 - 2(\sin \alpha + \cos \alpha)}{3 + 2(\sin \alpha + \cos \alpha)} = \frac{3 - 2\sqrt{2}\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})}{3 + 2\sqrt{2}\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})},$$

причем $\alpha \in [\pi/6; \pi/3]$, так как четырехугольник $ABCD$ — выпуклый. Легко видеть, что функция $u(\alpha)$ принимает наименьшее значение при $\alpha = \pi/4$, а наиболее — при $\alpha = \pi/3$ и $\alpha = \pi/6$, причем $u(\pi/4) = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} u(\pi/6) = \frac{1}{\sqrt{11 + 6\sqrt{3}}}$, то есть приближено $u \in [0, 171; 0, 217]$.

Таким образом, при формулировании в условии задачи геометрических предложений отношение $\frac{|BC|}{|AD|}$ не может принимать значение 1/3.

Конечно, от поступающих вузы не требуется (если не оговорено противное) проводить анализ условий существования предложений в задание геометрической конфигурации. Однако надо иметь в виду, что различные данные задачи могут быть тесно связаны между собой, зависимости и тогда произвольно выбирать эти данные уже нельзя.

У разжения

В следующих задачах проведите «решение», исходя из «естественного» чертежа, а затем показите, что описанные геометрические конфигурации невозможны.

5. Стороны параллелограмма равны 1 см и 0,5 см, а угол между диагонали 60°. Найти площадь параллелограмма.

6. Стороны треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к этой стороне, 10 см. Найти расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник, до вершины, противолежащей данной стороне, если радиус вписанной окружности равен 4 см (см. «Сборник задачи по математике для конкурсных экзаменов во втузы» под ред. М. И. Сканави, М., «Вышая школа», 1972, задача 10.260).

7. Дан круг с центром $O$. Через точку внутри круга проведены диаметр $AB$ и хорда $CD$. Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DF$ на хорду $AC$ (точка $F$ лежит между точками $A$ и $C$), а из точки $F$ опущен perpendicular $FH$ на диаметр $AB$. Точка $M$ — середина хорды $CD$. Известно, что $|AM| = 2|MO|$, $8|AH| = 5|AB|$. Найти $AMO$.

Задча ученика 8 класса $P$. Азизрана (пос. Разина Азербайджанской СССР) не сложная. Поэтому не торопится составлять уравнение — снача попытается найти ответ без вычислений. Если ничего не получится — решите задачу и подумайте, привлекая физические представления, почему ответ действительное очень интересное. Объясните также, почему ответ не зависит от того, какая из двух величины $v_1$ и $v_2$ больше.

8. Два величины одновременного приляст в пункте $A$ и должны финишировать в пункте $B$. Первый волоспедист первого положину времени движения до финишадает равномерно со скоростью $v_1$, а вторую положину своего времени движения до фини-

75

ниша — равномерно со скоростью $v_2$. Второй величине пронзводной в школьный курс математики дает учащимся возможность проводить подробный анализ широкого класса функций, в частности, довольно быстро и единобразно решать задачи «на наиболее или наиболее значение», даже геометрические. Однако пример такой задачи прислал в редакцию наш читатель Э. Г. Готман (г. Арзамас Горьковской области).

Пример 7. Основанием параметры служит ромб, длина стороны коморого равна $a$. Известно, что длины высом, опущенных из вершины параметры на две противоположные стороны основания, равны $h$. Какой наиболее объем может иметь максима параметра?

Пусть $NABCD$ — данная параметра, $[NL]$ и $[NM]$ — высоты граней $ABN$ и $CDN$, $[NO]$ — высота равноведенного треугольника $LNM$ (рис. 2). Тогда $(AB)_\perp(NL)$ и $(AB)_\perp(NM)$, следовательно, $(AB)_\perp(LM)$ и $(AB)_\perp(NO)$. Поэтому $[LM]$ — высота ромба $ABCD$, а $[NO]$ — высота параметры.

Согласно условиям $|AB| = a, |NL| = |MN| = h$. Положим $|LM| = 2|LO| = x$, тогда $S_{ABCD} = ax, |NO| = \sqrt{h^2 - \frac{x^2}{4}}$, а объем $V$ параметры равен

$$V(x) = \frac{1}{6} a \sqrt{(4h^2 - x^2)x^2}.$$

Таким образом, задача свелась к нахождения наиболее значения на отрезке $[0; a]$ функции $V$, которое она достигает одновременно с функцией

$$f(x) = -x^4 + 4h^2x^2.$$

Так как $f'(x) = -4x^3 + 8h^2x$, то, приравнять производную нулю, получим уравнение

$$x(x^2 - 2h^2) = 0$$

для критических точек, из которых нас может интересовать только $x = h\sqrt{2}$.

Точка $h\sqrt{2}$ принадлежит промежутку $[0; a]$ в том и только в том случае, когда $a \geq h\sqrt{2}$. Будем сначала считать, что это условие выполняено. Сравнивая значение функции $f(x)$ в найденной точке и в концах промежутка $[0; a]$, заключаем, что функция $f(x)$ принимает наиболее значение при $x = h\sqrt{2}$. Следовательно, если $a \geq h\sqrt{2}$, то

$$V_{\max} = \frac{1}{6} a^2 \sqrt{4h^2 - a^2}.$$

Окончательный ответ выглянит так:

$$V_{\max} = \begin{cases} \frac{1}{3} ah^2, \text{ если } a \geq h\sqrt{2}; \\ \frac{1}{6} a^2 \sqrt{4h^2 - a^2}, \text{ если } a < h\sqrt{2}. \end{cases}$$

У разжения

9 (МГУ, механизм, 1966). Нужно изготовить коробку в форме прямогоного параллелепида с площадью основания, равной $1\text{ см}^2$. Сумма длины ребер параллелепида должна равняться 20 см. При каких размерах коробки ее полная поверхность будет наиболее значение?

77

ка решить эту задачу применением тригонометрии приводит к сложным и громоздким вычислениям.

Пример 10. (МГУ, биофак, 1973). Около четырехуегольника ABCD можно описать и в него можно описать окружность. Диагонали этого четырехуегольника взаимно перпендикулярны, |AB| = |CD|, радиус вписанной окружности равен 1. Чему равна площадь четырехуегоольника?

Пусть |AB| = |CD| = x, |BC| = y; тогда |AD| = 2x - y (почему?). По свойству четырехуегольника с взаимно перпендикулярными диагонали x² + x² = y² + (2x - y)², откуда x = y. Теперь легко доказать, что ABCD — квадрат, S_{ABCD} = 4.

Упражнения

11 (МГУ, механизм, 1973). В трапеции ABCD точки K и M являются соответствующим серединами оснований AB и CD. Известно, что [AM] ⊥ [DK], [CK] ⊥ [BM], CKD = 60°. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 1.

12. Найти отношения длины стороны выпуклого четырехуегоольника, имеющего угол π/3, если этот четырехуегоольник описан округности и имеет конгруэнтные и взаимно perпендикулярные диагонали.

13 (НГУ). В круге взяты две perpendикулярные хорды. Доказать, что квадрат диагметра круга равен сумме квадратов длины трехрехов, на которые данные хорды делятся точкой их пересечения.

Ученик 10 класса Г. Панаимов (с. Конгаз Молдавской СССР) представляет читателем журнала решить следующую придуманную задачу.

14. Высота четырехуегоольной прямоды SABCD проходит через точку пересечения взаимно perпендикулярных диагонали основания ABCD. Найти объем прямоды, если площадьечение ASC равна 300 cm², а |BD| = 10 cm.

Обратимся в заключение к одной хорошю извесной задаче, представшейся и на вступительных экзаменах в.byзы.

Пример 11. Дан узол ХАУ, меньший развернуть, и точка О внутри него. Через эту точку проведена прямая l, пересекающая стороны угла в точках B и C. Найти максиме площади прямой l, при котором треугольник ABC имеет наименьшую площадь.

Решение этой задачи, основанное на вычислении площи треугольника ABC, приводится, например, в книге B. Б. Лиидского и др. 《Задачи по элементарной математике》（M., «Наука», 1967, с. 67, 293). В своей письме в редакцию B. В. Ванин (Москва) указывает два чисто геометрических решений задачи, не использующих никаких вычислений. Познакомим читателем журнала с одним из этих решений.

Пусть l — некоторое положение секущей. Отразим отсекаемый треугольник ABC относительно точки O, получим треугольник A’B’C’. Если секущая l₀ такова, что ее отрезок B₀C₀ делится точкой O пополам (рис. 4), то объединение треугольников AB₀C₀ и A’B’₀C’₀ образует параллелограмм AB₀A’C₀, площь которого вдвое больше площи треугольника AB₁C₁ и и A’B’₁C’₁ образует многоугольник, площь которого также вдвое больше площи треугольника AB₁C₁, но упомянутый параллелограмм содержится в этом многоугольнике (доказте!), а потому его площь меньше. Следовательно, площь треугольника ABC наименьшая, когда |A’B| || [AY], [A’C] || [AX].