Задачи М446—М450; Ф458—Ф462

Квант 1977, №6 с. 44-45 Тег JKD1

Задачи

M446 — М450; Ф458 — Ф462

М446. Окружность радиуса 1 каттся снаружи по окружности радиуса $\sqrt{2}$ . В начальной момент времени точка касания окружностей отмечена липкой красной краской. При качении показенные точки той и другой окружности новых красят точки, с которых они соприкаются (рис. 1). Сколько различных точек неподвижной окружности будет запачкано к тому моменту, когда подвижная окружность сделает 100 оборотов вокруг неподвижной?

Д. Бернитейн

M447*. В остругольном треугольнике $ABC$ отрезки $BO$ и $CO$ (где $O$ — центр описанной окружности) продолжены до пересечения в точках $D$ и $E$ со стороны $AC$ и $BC$ треугольника. Окзадость, что $\widehat{BDE} = 50^\circ$ , а $\widehat{CED} = 30^\circ$ . Найдите величины углов треугольника $ABC$ и доказите равенства $|AE| = |ED|$ , $|CE| = |CB|$ , $|CD| = |CO|$ .

Я. Суконик

M448*. Докажите, что центры всех эллипсов, вписанных в данной четырехугольник, лежат на прямой, проходящей через середины диагоналей этого четырехугольника.

Исаак Ньюотон

M449. a) По одной прямой двигаются $n$ одинаковых шариков. Какое максимальное число соударенный между ними может произойти?

б) * Тот же вопрос для трех шариков масс $m_1$ , $m_2$ и $m_3$ .

в) * Попробуйте доказать, что если по одной прямой двигаются $n$ различных шариков, то общее число стольновейный между ними конечно.

(В этих задачах шарики рассматриваются как материалов точки, стальвающей друг с другой абсолотно урго, т. е. с сохранением суммарных импульса и энергии, причем предполагается, что все произходящие стольновения — только пары e: по три и более шариков в одной точке одновременно не оказываются.)

Рис. 1.

Рис. 2.

Задча М449 — ее можно было бы отнести также и к физическим задачам — потребует, возможно, длительных размышлений, и срок присылки ее решения — 15 ноября.

А. Земляков, Я. Синай

М450. Система прямогольников из $n$ этажей (рис. 2) построена следующим образом. Начиная с нижнего прямогольника, образующего первый этаж, верхняя сторона каждой прямогольника делится в отношении 1:2:3; на трех полученных отрезках как на основаниях строятся прямогольники той же высоты, что и первоначальный, и так — до самого верхнего этажа. Из полученного множества прямогольников выбрано некоторое подмножество, состоящее из попарно неконгрузных прямогольников (одно такое подмножество на рисунке — красное). Докажите, что найдется вертикальная прямая, пересекающая не более двух из выбранных прямогольников.

А. Кленцын

Ф458. Мальчик плывет со скоростью, в два раза меньше скорости течения реки. В каком направлении он должен плыть к другому берегу, чтобы его снесло течением как можно меньше?

О. Савченко

Ф459. Электроплита содержит три спирали с сопротивлением $R=120$ ом каждый, соединенные паралельно друг с другом. Плита включается в себя последовательное срезistorом $r=50$ ом. Как изменится, время, необходимое для нагрева на этой плитке чайника с водой до кипения, при переогранении одной из спиралей?

Н. Словодечкий

Ф460. В схеме, изображенной на рисунке 3, переключитель все время переключителя из верхнего положения в нижнее и обратно. В верхнем положении он задерживает на время $\tau_1=2 \cdot 10^{-3}$ сек, в нижнем — на время $\tau_2=10^{-3}$ сек. Найти мощность, потребляемую от источника через очень большой промежуток времени после начала работы переключителя.

Емкость конденсатора такова, что за время $\tau_2$ он не успевает разрядиться сколь-нибудь существенно.

А. Зильберман