Пять многогранников

60

… > z_N, $z_i = 1 - x - y_i$ (параллель $\Pi_x, \tau$. е. число $x$, у нас фиксирована). По доказанному либо на $\Pi_y$, либо на $\Pi_z$ у $f$ разрыв не меняше чем $\frac{\varepsilon}{2}$, так что, прошяд через эти $2N$ параллелей с юга на север, мы получим, что $f > \frac{2}{\varepsilon} \cdot \frac{\varepsilon}{2} = 1$ (поскольку $f$ неотрицательна), что невозможно. Значит, предположение, что $f$ не постоянна хотя бы на одной параллели, неверно.

Таким образом, $f$ фактически зависит только от $x$, где $0 \leq x \leq 1$, и мы можем от функции $f$, заданной на сфере, перейти к функции $g$, определяенной на отрезке $[0, 1]$: $g(x) = f(X)$, где $X \in \Pi_x$. Выше мы доказали, что если $x + y + z = 1$, то $g(x) + g(y) + g(z) = 1$. Но легко сообщить, что $g(x) + g(1 - x) = 1$; следовательно, $1 - g[1 - (x + y)] = g(x + y)$. Отсюда получаем, что

$$g(x) + g(y) = g(x + y)$$

для всех $x$ и $y$, таких, что $x + y \leq 1$, $x \geq 0$, $y \geq 0$.

Решение задачи г)

Решая задачу в), мы доказали, что $g(x) \leq g(y)$, если $x \leq y$. Кроме того, $g(1) = 1$. Докажем, что монотная (неубывающая) и ограниченная функция

$$g(x) = x$$

телер уже для произвольного $x$. Вспоминая, что $g(x) = f(X)$, где $X \in \Pi_x$, получаем, что $f(X) = x$ для всех $X \in \Pi_x$, то есть функция $f(M)$ совпадает с функцией, о которой говорится в задаче a).

Пять

многогранников

На этом рисунке вы видите путь многогранников, все их грани — правильные многоугольники. Многогранники, расположенные в углах рисунка, получены из гексадра (куба) с помощью одной и той же операции, только применяется она в разных случаях по-разному.

Как вы думаете, что это за операция?

Вычислите длины ребер всех многогранников, если длина ребра гексадра равна 1.

В. Тихонов