Многоугольник Ньютона

19

«Известна функentialная роль, которую сыграли исследования Ньютона в развитии анализа бесконечно малых. Большинство его идеи рассматривось в работах позднейших авторов, часто не сохранив ни имени Ньютона, ни его способа обозначений. Но в современной математике немало методов и результатов более частного характера, носящих имя Ньютона. Их значение было вскрыто лишь в горячдо более позднюю эпоху, когда общий процесс математики дал возможность оценить важность того илиного результата Ньютона, записанного частью в виде небольшого заменания. К числу такого родаRESULTATОВ ОТНОСТЯЯ «многоугольник», или, как его часто называют, «параллелограмм» Ньютона…»

Н. Г. Чебогарев

Важная характеристика многочлена от одной переменной — это его степень. Зная степень, можно многоескаать о многочлене, даже не зная его коэффициентов. Например, многочлен нечетной степени всегда имеет действительный корень, число действительных корней многочлена не превысходит его степени и т.п.

Самым простым и важным обобщением понятия степени для многочлена $P(x, y)$ от двух переменных $x, y$ будет так называемая полная степень многочлена по переменным $x, y$. Однако более тонким обобщением понятия степени для многочлена от двух переменных не число, а более сложная веще — именно, многоугольник на плоскости.

В этой статье мы каждому многочлену от двух переменных будем сопоставлять многоугольник на плоскости. В основном эта конструкция принимает влияет англійскому математiku и физiku Исааку Ньютону; начиная с XVIII века этот многоугольник называют «многоугольником Ньютона». Многоугольник Ньютона многочлена от двух переменных «наводит мест» между алгеброй и геометрией. Движение по этому месту не затухает вот уже 300 лет, а в последние годы оно стало особенно интенсивным. Obviously по месту можно дивгаться в двух разных направлениях — и многоугольник Ньютона полезен в двух отношениях. Расматривая многоугольник на плоскости как многоугольник Ньютона неокоторого многочлена, мы можем использовать алгебраические свойства многочленов для решения геометрических задач по многоугольника. Наоборот, геометрические свойства многоугольника Ньютона помогают решать задачи по многочлены. Два примера использования многоугольника Ньютона при изучении многочленов подробно разобраны в § 2 и § 3. Примеры использования многочленов при изучении многоугольников города сложнее, и мы не будем иммизаиматься.

20

§ 1. Что такое многоугольник Ньютона
Диаграмма Ньютона многочлен от двух переменных

Напомним, что однолетом от независимых переменных $x$ и $y$ называется функция вида $x^m y^n$, где $m$ и $n$ — неотрицательные целые числа, а многочлен от $x$ и $y$ с действительными коэффициентами называется функция $P(x, y)$, заданная формулой
$$P(x, y) = a_1 O_1 + a_2 O_2 + \dots + a_k O_k,$$
(1)
где $a_1, a_2, \dots, a_k$ — действительные числа, а $O_1, O_2, \dots, O_k$ — попарно различные однолетны *). Если в формуле (1) коэффициент $a_i$ отличен от нуля, то говорят, что однолетен $O_i$ входит в многочлен $P(x, y)$. Например в многочлен $2 + 3y - \sqrt{2}x^3y^2$ входят однолетны 1, $y$ и $x^3y^2$, а в многочлен $P(x, y) \equiv 0$ не входит ни один однолетен. Удобно изобразать однолетны, входящие в многочлен $P(x, y)$, точками на координатной плоскости: мы отмечаем на этой плоскости точку $M(m_0; n_0)$, если однолетен $x^{m_0}y^{n_0}$ входит в многочлен $P(x, y)$. Тогда каждому ненулевому многочлену $P(x, y)$ мы сопоставляем конечное множество на плоскости $Omn$ — будем обозначать его $D(P)$, — изображающее наглядно однолетны, входящие в $P(x, y)$. Точка плоскости, у которой обе координаты — целые числа, мы будем называть целой точкой. Для любого многочлена $P$ множество $D(P)$ состоит только из целых точек, поэтому его удобно рисовать на клетчатой бумаге. Например, многочлена
$$P(x, y) = xy - y^3 + 3x^2y^2 + 0,5x^4 - 2x^3y^4.$$
(2)
изображено на рисунке 1. Подчеркием, что значения ненулевых коэффициентов многочлена $P$ никак не учитываются при построении многочлена $D(P)$. Это множество обобщено называют * диagramмой Ньютона многочлена $P$.

Предостержение. Не следует смешивать числовую плоскость $R^2$ — обрабатыва определения многочлена $P$, с координатной плоскостью $Omn$, на которой мы рисуем диagramму Ньютона многочлена $P$. Точки этих плоскостей имеют разную природу.

Как Ньютон определял «диagramму Ньютона»

Ньютон тоже отмечал многочлены, входящие в многочлен от переменных $x, y$, на клетчатой бумаге. Ньютон расчерчивал такую бумагу сам и отмечал не углы клеток, а целые клетки. Вот как он описывает эти построения в письме одному из своих коллег.

«…Для лучшего уразумения этого правила появню его на следующей диagramме. Построй прямой угол $BAC$; стороны его $BA$ и $AC$ разделены на равные части и, восставив перпендикуляры, разделены угловую площадь на равные квадраты или параллелограммы, которые отметы вписанными в них измерениями букв $x$ и $y$ (см. рисунок 2). Затем, когда дано уравнение, отметы каким-нибудь знаком параллелограммы, соответствующие всем его членам…»

*) Независимые переменные $x$ и $y$ принимают значения в множестве действительных чисел; таким образом, функция $P(x, y)$ имеет в качестве области определения числового плоскость, а в качестве многочлена значений — числового прямого.

21

Здесь речь идет о построении «диаграммы Ньютона», а дальше Ньютоон описывает построение «многоугольника Ньютона» (мы продолжаем переванную цитату):

«… и приложи линейку к двум или же, что случайная иногда, к нескольким из отмеченных таким образом параллельгамов, из которых один является самым нижним в столбце $AB$ слева, другой попадает на линейку справа, а все остальные, не касающиеся линейки, находятся над ней…»

Как мы определляем многоугольник Ньютона
Мы видим, что Ньютоон прикладывает линейку к многоугольу $\Delta(P)$, удовлетворяя двум условиям:
(I) Не менее двух точек $\Delta(P)$ попадаем на линейку.
(II) Множество $\Delta(P)$ лежит по одному сторону линейки.

Рассмотрим выпуклую оболочку многоугольва $\Delta(P)$, то есть наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все точки $\Delta(P)$. Этот многоугольник мы будем обозначать через $F(P)$ и называть многоугольником Ньютона многочлена $P(x, y)$. Многоугольник Ньютона многочлена (2) изобразен на рисунке 3. Связь многоугольника $F(P)$ с методом Ньютона прикладывания линейки совершенно ясна. Если приложить линейку к любой стороне многоугольника Ньютона, то будут выполятые свойства (I) и (II). Обратно, если линейка приложена к многоугольму $\Delta(P)$ так, что выполняются (I) и (II), то линейка обязательно идет вдоль одной из сторон многоугольника $F(P)$.

Рис. 3.

Несолько простых упражнений по многоугольнику Ньютона

Чтобы освободся с определением многоугольника Ньютона, читатель стоит выполнить следующие условия:

1. Нарисуйте диаграмму Ньютона и многоугольник Ньютона для многочленов: $x, x + y, 1 + x + xy, x^2 + x^2y + x^5y^7 + x^{10}, (1 + x + x^3)(1 + y^4)^{*}$.
2. Докажите, что $F(\lambda P) = F(P)$ при $\lambda \neq 0$. Докажите, что $\Delta(P_1 + P_2) \subset \Delta(P_1) \cup \Delta(P_2)$. Верно ли, что $F(P_1 + P_2) = F(P_1) \cup F(P_2)$?
3. Пусть $Q(x, y) = P(x^a, y^b)$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Как связаны между собой многоугольники $F(P)$ и $F(Q)$?
4. Придумайте определение диаграммы Ньютона и многоугольника Ньютона для многочлена от трех переменных.

Естественно спросят, а как связаан многоугольник Ньютона произведение многочленов с многоугольниками Ньютона совместелей? Оказывается, операция, которую нужно продать с $F(P_1)$ и $F(P_2)$, чтобы получить $F(P_1 \cdot P_2)$, хорошо изучена в геометрии и носит специальное название: сумма Минковского.

5. Докажите, что $F(P_1 \cdot P_2) = F(P_1) + F(P_2)$, где «+» — сумма Минковского (см. статью H. Васильева «Сложение фигур», «Квант», 1976, № 4).

Это свойство многоугольника Ньютона обобщает известное свойство степени многочлена: при переменении многочленов их степени складываются. Именно это свойство помогает использовать многочлены при решении чистого геометрических задач.

§ 2. Зачем Ньютону попадобился «многоугольник Ньютона»?

Ньютоон решал уравнение $P(x, y) = 0$, где $P$ — многочлен от $x, y$. Под решением он понимал точное или приближенное выражение $y$ через $x$. Как это было принято в его время, Ньютоон не объясняет своего метода в общем виде, а поискает его на конкретных примерах. Продолжим цитату, переванную в § 1:

«…Затем возьмем все члены уравнения, которые содержатся в параллельгамах, задеты линейкой, и найди из них величины, которое следует получить в результате. Так, если нужно определить корень

*) Первые два примера показывают, что многоугольник Ньютона многочлена $P(x, y)$ может и не быть настоящим многоугольником, т. е. может совпать с точке или отрезку.

22

уравения

$$y^6 - 5xy^5 + \frac{x^3}{a} y^4 - 7aaxxyy + 6a^3x^3 + bbx^4 = 0,$$

(3)

то я обозначаю, как видим (см. рис. 2), параллелограммы, соответствующие членам этогоуравения, звездочкой. Затем я прикладываю линейку $DE$ к самому нижнему из отмеченных параллелограммов в первом столбце слева, вращаю линейку сизу в правую сторону, пока она не пройдет через какой-нибудь один или несколько различных отмеченных параллелограммов. При этом я вижу, что линейка заденет те места, в которых содержатся члены $x^3$, $xxyy$ и $y^6$. Позотому я составлю из нихуравение

$$y^6 - 7aaxxyy + 6a^3x^3 = 0$$

(kоторое, если угодно, я затем, полагая $y = u\sqrt{ax}$, приводу к $u^6 - 7uu + 6 = 0$) и из него нахожу $y$, который имеет четые значения, а именно:

$$+ \sqrt{ax}, - \sqrt{ax}, + \sqrt{2ax}, - \sqrt{2ax}...$$

Ныютон подробно обьясняет, что найdenные решения не точные, а приближенные (тем более точные, чем близке $x$ и $y$ к нулю). Он также указывает, как получить точное решение, прибавляя к уже найdenному решение конечное или бесконечное число поправочных членов. За недостатком места мы не будем приводить соответствующие выражки из трудов Ньютона.

В чем же состоит метод Ньютона приближенного решенияуравения $P(x, y) = 0$ при малых $x$ и $y$?

В общем виде метод Ньютона можно (несколько схематно) обьяснить следующим образом.

Мы хотим для достаточно малых $x$ и $y$ решить (приложенное)уравение $P(x, y) = 0$ (или нарисовать приближенное множество $P(x, y) = 0$). Пусть $\gamma$ — «обращенная к началу координат» сторона многоугольника $F(P)$ (такие стороны на рисунке 4 выделены красным). Обозначим через $P_\gamma(x, y)$ сумму взятых со старыми коэффициентами однолетов, входящих в $P(x, y)$ и ответающих точкам $\gamma$. Пусть угловой коэффициент ребра $\gamma$ равен $-k$, где $k > 0$. Положив $y = ux^{\frac{1}{k}}$ вуравении $P_\gamma(x, y) = 0$, мы получимуравение $x^l Q(u) = 0$, где $Q$ — некоторые многочлен от $u$. Пусть $u_1, u_2, \dots$ — ненулевые корни $Q$.

Тогда $y_1 = u_1x^{\frac{1}{k}}, y_2 = u_2x^{\frac{1}{k}}, \dots$ — это точные решенияуравения $P_\gamma(x, y) = 0$ и приближенные решенияуравения $P(x, y) = 0$. Объединяйтесь также решения по всем «обращенным к нулю» ребрам $\gamma$ многоугольника $F(P)$, мы получим все нетривиальные*) приближенные решенияуравения $P(x, y) = 0$ при малых $x$ и $y$. Доказательство последней фразы и даже обяснение ее точно смысл завыли бы нас слишком далеко. Наша ekромная цель — научить читателя практически находить приближенные решенияуравения $P(x, y) = 0$ (или, что то же самое, рисовать приближенно множество $P(x, y) = 0$) при малых $x$ и $y$.

Учимся работать с многоугольником Ньютона

У многоугольника Ньютона многочлен (2) к нулю обращены стороны $\gamma_1$ и $\gamma_2$ (рис. 4). Начнем со стороны $\gamma_1$: $P_{\gamma_1} = xy + 0,5x^4$. Замена $y = ux^3$ приводитуравение $P_{\gamma_2} = 0$ к виду $x^4(u + 0,5) = 0$, откуда $y = -0,5x^3$. Далее, $P_{\gamma_2} = xy - y^3$; замена $y = ux^{1/2}$ приводитуравение $P_{\gamma_2} = 0$ к виду $x^{3/2}(u - u^3) = 0$, откуда $y = -\sqrt{x}$ и $y = +\sqrt{x}$. Впрочем, последние два решения можно

*) Тривиальные названия решения вида $x = 0$ или $y = 0$.

Рис. 4.

23

но объединить: $x = y^2$. Итак, мы получили, что при малых $x$ и $y$ уравнение $P(x, y) = 0$, где $P$ задан формулой (2), имеет два приближенных решений: $y = -0,5x^3$ и $x = y^2$. (Привязываемых решений в этом случае нет, так как $P$ не делится ни на $x$, ни на $y$.) Вид приближенных решений показан на рисунке 5. Этот же рисунок при малых $x$ и $y$ можно рассматривать как приближенный рисунок множество $P(x, y) = 0$.

У правах ниже 6. Решите приближение уравнения $x^5y + x^3y^2 - 3x^2y^3 + xy^4 + y^7 + 2x^4y^2 + 3x^6y^3 - x^5y^5 + x^6y^6 + 7x^2y^8 = 0$ при малых $x$ и $y$ (см. рис. 6).

Ныютон указал также способ, с помощью которого можно решить уравнение $P(x, y) = 0$ при очень больших $x$ и $y$.

У правах ниже 7. Придумайте, как с помощью многоугольника Ньютона решить (приближенно) уравнение $P(x, y)$ при очень больших $x$ и $y$.

§ 3. Число решений системы двух уравнений с двумя неизвестными и многоугольник Ньютона
Teorema Безу
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными $x, y$:

$$\begin{cases} P(x, y) = 0, \\ Q(x, y) = 0, \end{cases}$$

(4)

Рис. 5.

Рис. 6.

где $P$ и $Q$ — многочлены с действительными коэффициентами. Если $P$ и $Q$ — многочлены первого степени *), то число решений системы (4) либо бесконечно, либо не превыходит 1. Если $P$ — многочлен первого степени, а $Q$ — многочлен степени $N$, то как легко видеть, число решений системы (4) либо бесконечно, либо не превыходит $2 \cdot N$. После этих примеров читателя не удивит формулировка хорошо известной еще в прошлом вке теоремы.

Teorema Безу. Если $P$ — многочлен степени $M$, а $Q$ — многочлен степени $N$, то число решений системы (4) либо бесконечно, либо не превыходит $M \cdot N$.

Можно ли услить теорему Безу?
Вообще говоря, нельзя: число $M \cdot N$ в формулировке теоремы Безу ни при каких $M$ и $N$ не может быть заменено меньшим числом, так как существует примеры системы, имеющихровно $M \cdot N$ решений (например, система $(x - 1)(x - 2) \cdot \dots \cdot (x - M) = (y - 1)(y - 2) \cdot \dots \cdot (y - N) = 0$).

Во многих практических случаях, однако, теорема Безу дает явно завышенную оценку для числа решений системы (4).

Пример. $P = a + bx + cx^2y^2, Q = d + ey + fx^2y^2$. Teoreма Безу утверждает, что если число решений системы $P = Q = 0$ конечно, то оно не превыходит 16. Между тем, решая эту систему непосредственно, легко получить, что если число решений конечно, то оно не превыходит 4.

Этот пример и другие более сложные примеры приводят к мысли обобщить теорему Безу. Ясно, что при этом мы должны заменить понятие степени многочлена каким-то более сложным понятем, полное учитывающим свойством многочленов. В качестве *) Напомним, что степень многочлена (иногда говорят — полная степень) — это максимум числа $m + n$ по всем однолетам $x^m y^n$, входящим в многочлен.

24

СТВЕ ТАКГОГО ОБОБЩЕНИЯ СТЕПЕНИ МЫ ВОЗБМЕМ МНОГОУЛЬНИК НЫОМОНА СИСТЕМЫ.

Пусть $D(P)$ — диаграмма Ньютона многочлена $P$ и $D(Q)$ — диаграмма Ньютона многочлена $Q$. Положим $D = D(P) \cup D(Q)$. Д— конечное множество на плоскости $Omn$. Точка $M(m_0; n_0)$ принадлежит $D$, если однолетен $x^{m_0}y^{n_0}$ входит с ненулевым коэффициентом хотя бы в один из многочленов $P$ и $Q$. Снова через $F$ обозначим выпуклую оболочку множества $D$, то есть — наименьший выпуклый многоугольник в плоскости $Omn$, содержащий все точки $D$. Многоугольник $F$ мы назовем многоугольник Ньютона системы (4). (Если в нашем примере коэффициенты $a, b, \dots, f$ многочленов $P$ и $Q$ отличны от нуля, то множество $D$ и многоугольник $F$ системы (4) также, как на рисунках 7, а, 6.)

Нельзя ли, пользовясь какими-нибудь характеристками многоугольника $F$, оценить сверху число решений системы (4)?

Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 1. Число неупельных действительных решений системы (4) либо бесконечно, либо не превысим удовлетворяющим многоугольника Ньютона этой системы (решение $(x_0; y_0)$ системы (4) называется неупельным, если $x_0 \neq 0$ и $y_0 \neq 0$).

Теорема 1 принадлежит автору настоящего статьи. Доказательство ее косвенное: предварительно доказывается теорема, в котором использовется не площад многоугольника $F$, а другие его характеристики — именно, число целых точки в многоугольнике $F$ и в «удвоеном многоугольнике» 2F. Таким образом, при работе с многоугольниками Ньютона возникают любопытные геометрические вопросы по целые точки в многоугольнике. Еще более интересные вопросы в связи с многогrafаниками Ньютона. Подробно об всем этом расссказано в статье «Цельные точки в многоугольнике и многогrafаниках» («Квант», 1977, № 4).

Можно ли улучшить теорему 1?

Теорема 1 дает хорошего оценку для числа решений в тех случаях, когда многоугольники $F(P)$ и $F(Q)$ совпадают или достаточно близки (в противном случае оценка получается слишком группы: рассмотрите систему $x^n + y^{n+1} = y^n + y^{n+1} = 0$). Для получения более точной оценки нужно рассмотреть $D(P)$ и $D(Q)$ порозь, как это сделать. Н. Берништейн, который обобщил теорему 1 следующего образом.

Теорема 2. Пусть $A$ — многоугольник Ньютона многочлена $P$, $B$ — многоугольник Ньютона многочлена $Q$ и $C$ — многоугольник Ньютона многочлена $P \cdot Q$. Тогда число неупельных решений системы (4) либо бесконечно, либо не превысим числа $S(C) - S(A) - S(B)$. (Здесь через $S$ обозначена площадь соответствующего многоугольника.)

Многоугольник $C$ есть не что иное, как сумма Минковского многоугольников $A$ и $B$, а для числа $S(C) - S(A) - S(B)$ в геометрическе специализное название: смешанная площад многоугольников $A$ и $B$ (см. упражнение 5 и цитированную там статью Н. Васильева).

Уражнения 8. Примените теорему 1 к многочлену (2) и многочленам из упражнения 1.

9. Оцените по теореме Безу и по теореме 1 число решений системы $x^3 + y^4 = axy + bx^2y^2 + cx^3y^2 + dx^4y^3$ при $a \neq 0$ и $d \neq 0$.

10. Обобщите теорему 1 на случай системы трех алгебраических уравнений с треяя неизвестными $x, y, z$.

ЛИТЕРАТУРА

1. Исак Ньютон, Математическая работа. Метод фиксиции и бесконечных рядов с приложением его к геометрическим критикам. Перевод с латинского Д. Мордухай-Bолтовского, ОНТИ, 1937, с. 33—34.

2. Исак Ньютон, Второе письмо Ньютона к Ольденбургу, подлежащее сообщению Лейбниццу. 24 октября 1976 года, Там же, с. 251—252.

3. Н. Г. Чеботарев, Собранце сочинений. Т. 3. «Многоугольник Ньютона» и его роль в современном развитием математики», Изд-во АН СССР, М.—Л., 1950, с. 47—80.