Уральский государственный университет им. А. М. Горького

79

5. Данные шар радиуса $R$ и секущая плоскость. Известно, что площад полной поверхности меншей части шара, отсекаемой данной плоскостью, в $k$ раз меньше площад поверхности шара. Определить расстояние от центра шара до данной секущей плоскости.

Геологический факультет и отделение политэкономии экономического факультета

1. Желая попасть в пункт $B$ в нужное время, автоматически выехал из пункт $A$ со скоростью $64 \text{ km/час}$. В течение трех часов он ехал с этой скоростью. Затем «пробка» на дороге заставила его остановиться. Процяров 50 минут, автоматически решил проехать в пункт $B$ объеденным пути, поэтому его путь увеличился на 31 км. В результате он приехал в пункт $B$ с опозданием на 1 часа 5 минут, хотя и ехал вторую часть пути со скоростью на 6 км/час больше, чем сначала. Найти кратчайшее расстояние между пунктами $A$ и $B$ по той дороге, по которой автоматически хотел попасть в пункт $B$.

2. Решить уравнение
   $$16 \cos^2 x = 6 \cdot 4^{-2} \sin^2 x + 1.$$

3. Решить неравенство
   $$3x + \sqrt{5x - 1} < 1.$$

4. Решить уравнение
   $$\log_{(x+1)}(1 - 3x) = -1 + \log_{\sqrt{1-3x}}(1 - 2x - 3x^2).$$

5. В прямогольном треугольнике один острый угол вдвое больше другого остроого угла, а сумма длины катетов равна $l$. Найти площад треугольника.

Биологический и географический факультеты

1. Бригада выполнила план работы на 98%. Увеличение произвольности труда каждого работого на 1/20 планового объема работы всей бригады позволяет, освободив трех человек для выполнения других заданий, выполнить работу на 132%. Сколько человек было в бригаде?

2. Решить неравенство
   $$\log_a x > \sqrt{\frac{6}{(\log_a x - 1) \log_x a}}.$$
   3a (Только для биологического факультета). Решить уравнение
   $$\cos 3x \cdot \sin^3 \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \sin 3x \cdot \cos^3 \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{8}.$$
   36 (Только для географического факультета). Решить уравнение
   $$\frac{2(\cos^3 x - \cos 3x)}{3 \sin x} = 1 + 5 \cos 2x.$$

3. В равноведренный треугольник $ABC$, у которой $|AB| = |AC|$, $\hat{A} = \alpha$, а площад равна $S$, вписан квадрат так, что одна из его сторон лежит на основании треугольника. Найти наименьшее из расстояний от вершины $A$ до вершин квадрата.

4. Основанием признамы является квадрат со стороны длины $a$, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под острым углом $\alpha$, причем проекция одного из них содержит диагональ квадрата. Из вершины квадрата, для которой проходящие через нее ребро и диагональ квадрата образуют острый угол, параллельно другой diagonalной проведена секущая плоскость под углом $\beta$ к плоскости основания. Найти площад сечения в предположении, что сечение не пересекает вершине основание.

В. Осинов, А. Шепелявой

Уральский государственный университет им. А. М. Горького

В «Кванте», 1973, № 7 мы расссказвали об Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. А. М. Горького. В этом номере мы приводим образцы вариантов письменного экзамена по математике и задач устного экзамена по физике на математико-механическом и физическом факультах в 1976 году.

Математика

Mathematico-mеханический факультет

1. При каком значении параметра $m$ корни $x_1, x_2$ уравнения $mx^2 + x + m = 0$ вещественны, различны и удовлетворяют неравенству $|x_1 - x_2| + (x_1x_2)^m + x_1 + x_2 \leq 0$?

2. У параллелипеда все грани — ромбы со стороны $a$ и острым углом $\alpha$. Найти объем этого параллелипеда.

3. Найти все значения $x$, удовлетворяющие одновременному условиям: $\cos x - \cos 11x = 0$, $\cos 2x + \sin 3x = 1$, $|x| < 3$.

4. Решить уравнение
   $(\log_t g_x \cos x + 2) \log_t g_x \cos x = 2 - \log_ct g_x \cos x$.

Физический факультет

1. К звездде $X$ послан с Земли космической аппарат $A$, а через 12 лет — аппарат $B$. Оба аппарата достигли целли и, не оставливаться, направились к Земле. Аппарат $B$ вернуляся на 8 лет раныше $A$. Через сколько лет после запуска $A$ эти аппараты встретились, если в момент, когда $A$ достигит $X$, $B$ прошел 9/10 своого пути к $X$? Скорости аппаратов и расстояние до звезды считать постоянными.

2. Основание прямого параллелипеда вписано в круг радиуса $R$. Однако