Bài toán M446—M450; F458—F462

44

Bài toán

M446 — M450; F458 — F462

M446. Một hình tròn có bán kính 1 lăn ở bên ngoài hình tròn có bán kính $\sqrt{2}$. Tại thời điểm ban đầu, điểm tiếp xúc của các vòng tròn được đánh dấu bằng sơn đỏ dính. Khi lăn, các điểm được hiển thị của một và các điểm còn lại của vòng tròn mới sẽ vẽ các điểm mà chúng chạm vào (Hình 1). Có bao nhiêu điểm khác nhau của đường tròn đứng yên sẽ bị bẩn khi đường tròn chuyển động quay được 100 vòng quanh đường tròn đứng yên?

D. Bernitain

M447*. Trong tam giác nhọn $ABC$, các đoạn $BO$ và $CO$ (trong đó $O$ là tâm đường tròn) được kéo dài cho đến khi chúng cắt nhau tại các điểm $D$ và $E$ trên các cạnh $AC$ và $BC$ của tam giác. Thật tiếc là nó là $\widehat{BDE} = 50^\circ$ và $\widehat{CED} = 30^\circ$. Tìm các góc của tam giác $ABC$ và chứng minh các đẳng thức $|AE| = |ED|$, $|CE| = |CB|$, $|CD| = |CO|$.

J. Sukonic

M448*. Chứng minh rằng tâm của tất cả các hình elip nội tiếp trong một tứ giác cho trước nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm các đường chéo của tứ giác đó.

Isaac Newton

M449. a) $n$ những quả bóng giống hệt nhau di chuyển dọc theo một đường thẳng. Số va chạm tối đa giữa chúng có thể xảy ra là bao nhiêu?

b) * Câu hỏi tương tự dành cho ba quả bóng có khối lượng $m_1$, $m_2$ và $m_3$.

c) * Hãy thử chứng minh rằng nếu $n$ các quả bóng khác nhau chuyển động dọc theo cùng một đường thẳng thì tổng số quả bóng giữa chúng là hữu hạn.

(Trong những bài toán này, các quả bóng được coi là các điểm vật chất va chạm với nhau một cách tuyệt đối khẩn cấp, tức là với sự bảo toàn động lượng và năng lượng tổng cộng, và người ta giả định rằng tất cả các va chạm xảy ra chỉ là cặp e: ba quả bóng trở lên không kết thúc ở cùng một điểm tại cùng một thời điểm.)

45

Hình 1.

Hình 2.

Vấn đề M449 - nó cũng có thể được phân loại là vấn đề vật lý - có thể sẽ cần thời gian suy ngẫm lâu dài và hạn chót để gửi nó lời giải là ngày 15 tháng 11.

A. Zemlyakov, Y. Sinai

M450. Hệ thống hình chữ nhật gồm $n$ tầng (Hình 2) được xây dựng như sau. Bắt đầu từ hình chữ nhật phía dưới tạo thành tầng 1, cạnh trên của mỗi hình chữ nhật được chia theo tỷ lệ 1:2:3; Trên ba đoạn kết quả, các hình chữ nhật có cùng chiều cao với hình ban đầu được xây dựng làm chân đế, v.v. cho đến tầng trên cùng. Từ tập hợp các hình chữ nhật thu được, một tập hợp con nhất định được chọn, bao gồm các hình chữ nhật không đồng dạng theo cặp (một tập hợp con như vậy trong hình có màu đỏ). Chứng minh rằng có một đường thẳng cắt nhau nhiều nhất hai hình chữ nhật đã chọn.

A. Klentsyn

F458. Cậu bé bơi với vận tốc bằng một nửa dòng sông. Người đó nên bơi sang bờ bên kia theo hướng nào để ít bị dòng nước cuốn đi?

O. Savigan

F459. Bếp điện có ba vòng xoắn ốc có điện trở $R=120$ ohm, mỗi vòng xoắn ốc được mắc song song với nhau. Tấm được bật bằng điện trở nối tiếp $r=50$ ohm. Thời gian cần thiết để đun nóng một ấm nước trên bếp này đến khi sôi sẽ thay đổi như thế nào khi một trong các hình xoắn ốc bị cắt lại?

N. Tiếng Slovodechkiy

F460. Trong mạch như hình 3, công tắc liên tục chuyển từ vị trí trên xuống vị trí dưới và ngược lại. Ở vị trí phía trên, nó giữ trong thời gian $\tau_1=2 \cdot 10^{-3}$ giây, ở vị trí phía dưới trong thời gian $\tau_2=10^{-3}$ giây. Tìm công suất tiêu thụ của nguồn sau một thời gian rất dài kể từ khi công tắc bắt đầu hoạt động.

Công suất của tụ điện sao cho trong thời gian $\tau_2$ nó không có thời gian để phóng điện ở mức độ đáng kể.

A. Zilberman