Hình học vòng tròn

38

Hình học vòng tròn

V. Vavilov

“Tất cả các tác phẩm của tôi đều là ceras.
Những mối quan ngại nghiêm trọng."

Moritz Escher

Trong bài học này, chúng ta sẽ nói về một phép biến đổi mặt phẳng - sự đảo ngược, và sau đó, như thường lệ, chúng ta sẽ tạo một nhiệm vụ và đính kèm một mẫu để thực hiện nó.

1. Sự định nghĩa. Nghịch đảo I đối với đường tròn γ được gọi là một phép biến đổi của mặt phẳng, mà với mỗi điểm M của mặt phẳng khác với tâm O của đường tròn, ta liên kết một điểm M trên tia OM, suy ra rằng

$$|OM'| \cdot |OM| = r^2;$$

ở đây r là bán kính của đường tròn γ. Đường tròn γ được gọi là đường tròn nghịch đảo và điểm O là tâm nghịch đảo.

Nếu M nằm trên đường tròn nghịch đảo (M ∈ γ), tức là nếu |OM| = r thì |OM’| = r²/|OM| = r và M’ ∈ γ. Nhưng điểm M và M’ nằm trên cùng một tia; do đó chúng trùng nhau. Điều này có nghĩa là mọi điểm của đường tròn γ đều là điểm cố định của phép biến đổi I: I(M) = M, M ∈ γ.

Lưu ý rằng không có điểm tương ứng cho tâm O. Thực tế là các đại lượng |OM’| = r²/|OM| có xu hướng tiến tới vô cùng khi |OM| có xu hướng về 0, nghĩa là khi M → O. Để có sự tương ứng một-một cho tất cả các điểm trên mặt phẳng mà không có ngoại lệ, chúng ta phải tạo cho mặt phẳng một điểm mới O∞ (“xa vô cùng”) và chúng ta sẽ giả sử rằng điểm O với nghịch đảo của I tương ứng với điểm O∞ và điểm O∞ với điểm O.

Ngoài ra, chúng ta sẽ giả định rằng tất cả các dòng đều chứa O∞.

Đặt M₁ = I(M), M₂ = I(M₁). Mọi điểm M, M₁ và M₂ đều nằm trên

39

một chùm tia và
$$|OM_1| \cdot |OM| = r^2,$$
$$|OM_1| \cdot |OM_2| = r^2.$$
Từ đây chúng ta có được điều đó
$$|OM_2| = |OM|.$$
Do đó, nếu $M$ là một điểm tùy ý trên mặt phẳng thì việc thực hiện đảo ngược $I$ hai lần sẽ đưa điểm $M$ trở về cùng một điểm. Do đó, “bình phương” của phép đảo ngược là phép biến đổi giống hệt của mặt phẳng.

Sự đối xứng so với đường thẳng có tính chất tương tự; do đó sự đảo ngược đôi khi được gọi là “đối xứng tròn”.

Hãy lấy điểm $M$ nằm bên trong đường tròn có cạnh $\gamma$ và khác với $O$, rồi dựng điểm $I(M) = M'$. Cho $N$ là một trong hai đầu dây của đường tròn nghịch đảo $\gamma$ đi qua điểm $M$ vuông góc với $[OM)$ (xem Hình 1). thì điểm cần tìm $M'$ là giao điểm của tia $OM$ và tiếp tuyến của đường tròn $\gamma$ tại điểm $N$. Trên thực tế, vì các tam giác vuông $ONM$ và $ONM'$ giống với $|ON| = r$, nên $|OM| / r = r / |OM'|$, tức là $|OM'| \cdot |OM| = r^2$. Khi cần dựng điểm $I(M)$ cho một điểm $M$ nằm trong một không phải đường tròn có mặt $\gamma$, thì từ cùng một hình cho thấy rõ rằng nếu $N$ là một trong các giao điểm của đường tròn $\gamma$ với đường tròn được xây dựng trên $[OM]$ làm đường kính, thì điểm mong muốn $M'$ là đường vuông góc đáy được hạ từ điểm $N$ xuống $[OM]$.

Đây là một ví dụ khác về cách xây dựng hình học của điểm $I(M)$ - chỉ sử dụng la bàn. Khoảng cách là trường hợp điểm $M$ không nằm trong đường tròn có cạnh $\gamma$. Với bán kính $|OM|$, chúng ta mô tả các cung có tâm $M$, giao nhau $\gamma$ tại các điểm $L$ và $N$ (Hình 2). Sau đó, từ những điểm này cũng như từ tâm, chúng ta mô tả các cung có bán kính $r$ (bằng bán kính của đường tròn $\gamma$); các cung này giao nhau với đường thẳng $OM$ tại hai điểm - điểm $O$ và một số điểm $M'$. Trong các tam giác đều $OLM'$ và $OLM$ các góc ở đáy trùng nhau:

$$\widehat{OLM} = \widehat{MO}L = \widehat{OM'}L,$$

40

3°. Đường tròn đi qua điểm O thành đường thẳng không đi qua điểm O (Hình 3).

4°. Đường tròn không đi qua điểm O thành đường tròn cũng không đi qua điểm O (Hình 4).

Chúng tôi không cung cấp bằng chứng về những đặc tính này. Hãy tự chứng minh chúng hoặc đọc trong bài viết của A.P. Savin “Sự đảo ngược và vũ khí của Apollo” («Kvant», 1971, số 8).

Từ tính chất 1°-4°, rõ ràng đường tròn và đường thẳng bằng nhau. Nếu chúng ta đồng ý coi một đường thẳng là một đường tròn có “bán kính vô cùng lớn”, thì các tính chất được liệt kê có nghĩa là trong quá trình đảo ngược, đường tròn luôn biến thành một đường tròn. Sự đảo ngược so với một đường tròn có “bán kính vô cùng lớn” (nghĩa là so với một đường thẳng) trùng với sự đối xứng thông thường so với một đường thẳng (tại sao?).

Sự định nghĩa. Giá trị giữa hai đường tròn cắt nhau (kể cả đường thẳng) là giá trị góc nhỏ nhất tạo thành tiếp tuyến tại giao điểm của chúng.

Hai đường tròn được gọi là trực giao nếu chúng cắt nhau ở góc vuông.

Chúng ta hãy lưu ý thêm hai tính chất của nghịch đảo:

5°. Đảo ngược đưa đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo γ vào chính nó.

6°. Đảo ngược không làm thay đổi độ lớn của các góc giao nhau với các đường tròn.

Tính chất 5° có nghĩa là đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo γ là bất động (nhưng không bất động theo điểm: γ chia đường tròn này thành hai phần, khi đảo ngược sẽ chuyển sang phần kia - xem Hình 5).

Bài toán 1. Xây dựng hình ảnh của từ trong Hình 6 đảo ngược so với hình tròn γ. So sánh kết quả với hình vẽ trên trang. 66.

Bài toán 2. Chứng minh rằng điểm M==(x; y) khi nghịch đảo đối với đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính r sẽ đi đến điểm M’=(x’; y’) có tọa độ được xác định bởi công thức

$$x' = \frac{xr}{x^2 + y^2}, \quad y' = \frac{yr}{x^2 + y^2}.$$

Giải các phương trình này để tìm x và y.

Bài toán 3. Dựa vào bài toán 2, chứng minh tính chất của phép phân tích 1°-4°.

Bài toán 4. Hai họ đường x=const và y=const song song với các đường tọa độ sẽ biến thành gì khi đảo ngược đường tròn đơn vị có tâm ở đầu? Trước tiên hãy cho đáp số không có công thức bài toán 2, sau đó sử dụng các công thức này.

Nhiều bạn đã nghe (hoặc đọc) về hình học Lobachevsky, nó khác với hình học thông thường (Euclide) trên mặt phẳng ở chỗ nó không thỏa mãn tiên đề song song.

Hình 4.

41

các đường nét. Một mô hình tuyệt vời cho hình học Lobachevsky được đề xuất bởi nhà toán học người Pháp Henri Poincaré. Trong mô hình này, “điểm” chỉ là những điểm nằm bên trong một đường tròn nhất định có ranh giới γ (các điểm của đường tròn γ không được xét), còn “đường thẳng” được định nghĩa là trực giao với γ của các đường tròn khác (hoặc một phần của đường thẳng), cũng nằm bên trong đường tròn đang xét *).

Bài toán 5. Vẽ một số “đường thẳng” trong mô hình Poincaré và kiểm tra tiên đề song song.

Trong hình học Lobachevsky, không giống như hình học Euclide, có một tam giác “vô hạn” với các góc bằng 0 - nó được hiển thị trong Hình 7. Chúng ta hãy biểu thị tam giác này bằng Δ.

Teleri gần như đã sẵn sàng xây dựng nhiệm vụ cho hội thảo của chúng tôi.

Chúng ta hãy dựng ba tam giác mới thu được từ tam giác Δ đối xứng với các cạnh γ₁, γ₂, γ₃ (chúng là ảnh của tam giác Δ sau ba phép biến đổi nghịch đảo tương ứng). Một tam giác đối xứng với tam giác Δ đối với bất kỳ cạnh nào của nó sẽ vẫn có các góc bằng 0 và các đỉnh của nó sẽ nằm trên đường tròn γ (Hình 8). Thật vậy, phép biến đổi nghịch đảo không làm thay đổi độ lớn của các góc; và đường tròn γ, với sự đảo ngược, sẽ biến thành chính nó, vì nó trực giao với các cạnh γ₁, γ₂, γ₃ của tam giác Δ. Hình 8 thể hiện cách dựng: dùng compa tìm điểm M’ đối xứng với điểm M so với cạnh γ₃ (điểm M thuộc đường tròn tâm O₁ có cung γ₁ là cạnh của tam giác Δ). Khi đó tâm (điểm O₁) của đường tròn mong muốn là trung điểm của đoạn M’N (N là giao điểm cố định của đường tròn γ với cạnh γ₁).

*) Thông tin chi tiết về hình học lobachevsky và mô hình của nó có thể được đọc trong «Kvant», số 2 và số 3 năm 1976.

42

Hình 9.

Hình 10.

Hình 11.

Sau đó, mỗi tam giác trong số ba tam giác mới thu được sẽ được hiển thị đối xứng với hai cạnh không phải là cạnh của tam giác Δ (Hình 9); chúng ta có sáu hình tam giác “thế hệ thứ hai”.

Sau khi thực hiện bốn bước xây dựng tương tự, chúng ta thu được một phần của hình mô-đun như trong Hình 10.

Hình 12.

Bài tập

Xây dựng một phần của hình mô-đun được tạo bởi một tam giác tròn vuông có đỉnh ở gốc và góc $\frac{\pi}{n}$ ở đỉnh này; $n \geq 3$ là một số nguyên (Hình 11).

Hình 10 và 12 có thể được lấy làm mẫu để thực hiện công việc; hình trong Hình 12 tương ứng với trường hợp $n = 7$.

Nhiệm vụ 6. Thực hiện phép nghịch đảo hình trên Hình 10, lấy điểm O làm tâm của độ lệch nghịch đảo trong hình (bán kính của đường tròn nghịch đảo không quan trọng - tại sao?). So sánh kết quả với trang bìa số 3 của tạp chí «Kvant» năm ngoái.

Tóm lại, chúng tôi cung cấp cho bạn một số bài toán mang tính chất khám phá.

Bài tập 7. Ở những góc nào của tam giác ban đầu (không nhất thiết là hình chữ nhật), toàn bộ hình tròn ban đầu có biên γ có thể được “lát gạch” đối xứng với các cạnh của nó mà không chồng lên nhau?

Nhiệm vụ 8. Những khu vực đa giác tròn nào phù hợp để có được các bức tranh khảm được chỉ định trong nhiệm vụ 7?

Bạn có thể đọc về nghịch đảo và ứng dụng của nó trong những cuốn sách sau:

1. D. Gilbert và Kon-Fosen, Hình học quốc gia, M.-L., Gostekhidat, 1976.
2. G. S. M. Coxter, Nhập môn hình học, M.,《Khoa học》,1966.
3. M. Gardner, Tiểu thuyết toán học, M.,《Mir》,1974.