Đại học bang Ural được đặt theo tên A. M. Gorky

79

5. Cho một quả cầu có bán kính $R$ và một mặt phẳng cắt. Được biết, tổng diện tích bề mặt của phần nhỏ hơn của quả bóng bị cắt bởi một mặt phẳng cho trước nhỏ hơn $k$ lần so với diện tích bề mặt của quả bóng. Xác định khoảng cách từ tâm quả bóng đến mặt phẳng cắt đã cho.

Khoa Địa chất và Khoa Kinh tế Chính trị, Khoa Kinh tế

1. Muốn đến điểm $B$ đúng lúc, tôi tự động rời điểm $A$ với tốc độ $64 \text{ km/час}$. Trong ba giờ anh ta đã lái xe với tốc độ này. Sau đó, tắc đường buộc anh phải dừng lại. Protsyarov đi được 50 phút, tự động quyết định lái xe đến điểm $B$ dọc tuyến đường nên khoảng cách của anh ấy tăng thêm 31 km. Kết quả là anh ta đến điểm $B$ trễ 1 giờ 5 phút, mặc dù nửa chặng đường thứ hai anh ta lái xe với vận tốc nhanh hơn lúc đầu 6 km/h. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa các điểm $A$ và $B$ dọc theo con đường mà bạn tự động muốn đi đến điểm $B$.

2. Giải phương trình
   $$16 \cos^2 x = 6 \cdot 4^{-2} \sin^2 x + 1.$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$3x + \sqrt{5x - 1} < 1.$$

4. Giải phương trình
   $$\log_{(x+1)}(1 - 3x) = -1 + \log_{\sqrt{1-3x}}(1 - 2x - 3x^2).$$

5. Trong một tam giác vuông, một góc nhọn có kích thước gấp đôi góc nhọn còn lại và tổng độ dài của hai chân là $l$. Tìm diện tích của hình tam giác.

Khoa Sinh học và Địa lý

1. Nhóm đã hoàn thành kế hoạch công việc 98%. Việc tăng tính ngẫu nhiên trong công việc của mỗi công nhân lên 1/20 khối lượng công việc dự kiến ​​của toàn nhóm cho phép, bằng cách giải phóng ba người để thực hiện các nhiệm vụ khác, hoàn thành công việc lên 132%. Có bao nhiêu người trong lữ đoàn?

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_a x > \sqrt{\frac{6}{(\log_a x - 1) \log_x a}}.$$
   3a (Chỉ riêng Khoa Sinh học). Giải phương trình
   $$\cos 3x \cdot \sin^3 \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \sin 3x \cdot \cos^3 \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{8}.$$
   36 (Chỉ dành cho Khoa Địa lý). Giải phương trình
   $$\frac{2(\cos^3 x - \cos 3x)}{3 \sin x} = 1 + 5 \cos 2x.$$

3. Một tam giác đều $ABC$, có $|AB| = |AC|$, $\hat{A} = \alpha$ và diện tích bằng $S$, có một hình vuông nội tiếp sao cho một trong các cạnh của nó nằm trên đáy của tam giác. Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ ​​đỉnh $A$ đến các đỉnh của hình vuông.

4. Đáy của nhận dạng là một hình vuông tính từ cạnh có chiều dài $a$ và các cạnh bên nghiêng với mặt phẳng của đế một góc nhọn $\alpha$ và hình chiếu của một trong số chúng chứa đường chéo của hình vuông. Từ đỉnh của hình vuông mà cạnh và đường chéo của hình vuông đi qua nó tạo thành một góc nhọn, một mặt phẳng cát tuyến được vẽ song song với một đường chéo khác một góc $\beta$ với mặt phẳng đáy. Tìm diện tích mặt cắt ngang với giả định rằng mặt cắt đó không cắt phần trên với phần đế.

V. Osinov, A. Shepelyavoy

Đại học bang Ural được đặt theo tên A. M. Gorky

Vào «Kvant», 1973, số 7, chúng ta đã nói về Huân chương Cờ đỏ Ural của Đại học Lao động Bang được đặt theo tên. A. M. Gorky. Trong số này, chúng tôi cung cấp các mẫu lựa chọn cho bài kiểm tra viết môn toán và bài kiểm tra vấn đáp bài toán môn vật lý tại các khoa toán, cơ học và vật lý năm 1976.

Toán học

Khoa Toán và Cơ học

1. Với giá trị nào của tham số $m$ thì nghiệm $x_1, x_2$ của phương trình $mx^2 + x + m = 0$ là thực, khác biệt và thỏa mãn bất đẳng thức $|x_1 - x_2| + (x_1x_2)^m + x_1 + x_2 \leq 0$?

2. Tất cả các mặt của hình song song đều là hình thoi có cạnh $a$ và góc nhọn $\alpha$. Tìm thể tích của hình song song này.

3. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn đồng thời điều kiện: $\cos x - \cos 11x = 0$, $\cos 2x + \sin 3x = 1$, $|x| < 3$.

4. Giải phương trình
   $(\log_t g_x \cos x + 2) \log_t g_x \cos x = 2 - \log_ct g_x \cos x$.

Khoa Vật lý

1. Tàu vũ trụ $A$ được gửi từ Trái đất tới ngôi sao $X$, và 12 năm sau - tàu vũ trụ $B$. Cả hai thiết bị đều đạt được mục tiêu và không rời đi, hướng về Trái đất. Thiết bị $B$ quay trở lại sớm hơn 8 năm so với $A$. Bao nhiêu năm sau khi ra mắt $A$ các thiết bị này gặp nhau, nếu tại thời điểm $A$ đạt $X$, $B$ đã vượt qua 9/10 chặng đường của nó đến $X$? Tốc độ của thiết bị và khoảng cách tới ngôi sao được coi là không đổi.

2. Đáy của hình vuông song song nội tiếp trong một đường tròn bán kính $R$. Tuy nhiên