Bài toán độc giả của chúng tôi

18

xảy ra trong hệ vĩ mô cân bằng được gọi là dao động. Sự tồn tại của dao động là minh họa rõ nhất cho tính đúng đắn của lý thuyết thống kê của Boltzmann. Dao động dễ quan sát nhất và đơn giản nhất là chuyển động Brown, ý nghĩa của nó như sau. Số lượng và lực trung bình *) tác động của các phân tử chất lỏng lên một bề mặt của bất kỳ vật thể nào được ngâm trong chất lỏng ở trạng thái cân bằng thống kê ở các giá trị được xác định hoàn toàn (ở nhiệt độ nhất định của chất lỏng). Tuy nhiên, trên thực tế, những giá trị này liên tục có những biến động nhỏ liên quan đến việc không có trạng thái cân bằng thống kê. Những rung động này nhỏ đến mức chỉ có một hạt rất nhỏ được đặt

*) Xung trung bình truyền đi trong một đơn vị thời gian.

Bài tập
độc giả của chúng tôi

1. Đối với một số hàm $f$ và tất cả $x$, sự tương ứng là đúng
   $$f(x) = f(x-a) \cdot f(x+a),$$
   trong đó $a$ là một số cố định. Chứng minh rằng
   a) hàm $f$ là hàm tuần hoàn;
   $$6) f(x-5a) \cdot f(x+5a) = f(x-7a) \cdot f(x+7a);$$
   c) tìm chu kỳ của hàm số $f$.
   O. Svetozersky
   (r. Vladivostok, lớp 8)

2. Hãy viết ra tất cả các số nguyên tố nhân (mỗi) với một số tự nhiên cố định, lần lượt từng số một. Chứng minh rằng trong dãy chữ số thu được, mỗi chữ số từ 0 đến 9 sẽ xuất hiện vô số lần.
   V. Soboleya
   (r. Moscow, lớp 10)

3. Chứng minh rằng nếu $x_0$ là căn bậc chung của tam thức bình phương $a_1x^2 + b_1x + c_1$ và $a_2x^2 +$

$$+b_2x + c_2, \quad D_1 \text{ и } D_2 \text{ — их дискриминаенты } (D_2 \neq 0),$$
$$\lim_{x \to x_0} \frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2} = \pm \frac{\sqrt{D_1}}{\sqrt{D_2}},$$
Hơn nữa, dấu “cộng” được lấy nếu $x_0$ là căn lớn hơn của mỗi tam thức hoặc căn bậc ba nhỏ hơn của mỗi tam thức, và dấu “trừ” được lấy nếu $x_0$ là căn lớn hơn của một tam thức và là căn nhỏ hơn của tam thức kia.
N. Vasilyeva
(r. Novocherkask, lớp 10)

4. Lập phương của số có hai chữ số đầu tiên bằng bình phương của số có hai chữ số thứ hai. Số thứ hai lớn hơn $n$ lần ($n \in \mathbb{N}$) số thứ nhất. Tìm các số có hai chữ số này.
   N. Mikhalkovich
   (Vùng Minsk)

5. Trong một giải đấu cờ vua sử dụng hệ thống vòng tròn tính điểm (tức là mỗi người chơi cờ với những người khác một lần), khi tổng hợp kết quả, hãy chỉ ra rằng số lượng các số tạo thành một cấp số cộng. Nhà vô địch giải đấu có bao nhiêu điểm nếu “người ngoài cuộc” ghi được $2\frac{1}{2}$ điểm?

P. Vinokur
(r. Mátxcơva)

6. Có số nào có bốn chữ số $abcd$ sao cho
   a) $abcd = ac \cdot bd$;
   b) $abcd = ac \cdot bd + ac + bd$?
   G. Goldfine
   (r. Riga)

7. Tìm số có bốn chữ số $abcd$ thỏa mãn đẳng thức
   $$abcd = 8ab \cdot (c + d).$$
   M. Stereberz
   (r. Saratov)

8. Tìm ba chữ số phân biệt $a, b$ và $c$ sao cho
   $$abc = ba \cdot bc.$$
   E. Turkevich
   (r. Chernivtsi)