Tổng chiều dài và năng lượng tối thiểu

25

L. Sofman

Tổng chiều dài và năng lượng tối thiểu

bài toán Toán học thường được đề xuất bởi tự nhiên, hay đúng hơn là bởi sự giải thích của chúng ta về tự nhiên, bởi các ngành khoa học vật lý. Lời giải toán học bài toán cũng có thể được đề xuất một cách tự nhiên; vật lý cung cấp cho chúng ta những manh mối mà nếu để mặc chúng ta, chúng ta sẽ có rất ít cơ hội đảm bảo cho chính mình.

D. Hát một

Trong ghi chú này, chúng ta sẽ xem xét một số hình học bài toán nổi tiếng. Chúng tôi sẽ chỉ ra cách giải quyết chúng bằng cách sử dụng một nguyên lý cơ học đơn giản - nguyên lý thế năng tối thiểu, theo đó bất kỳ hệ cơ học nào ở vị trí cân bằng ổn định đều có thế năng tối thiểu.

Bài toán 1. Trên mặt phẳng đã cho có các đường thẳng $l$ và các điểm $A$ và $B$, nằm về một phía của $l$. Tìm điểm cực đại $X \in l$ sao cho độ dài của đường đứt nét $AXB$ là nhỏ nhất.

Rõ ràng bài toán này được giải bằng cách sử dụng tính đối xứng: nếu $B'$ là một điểm đối xứng với $B$ đối với đường thẳng $l$, thì điểm cần có là $X = l \cap [AB']$ (Hình 1). Do đó, các đoạn $AX$ và $BX$ tạo thành các góc bằng nhau với $l$: $\alpha = \beta$.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một bài toán cơ học như vậy. Mũi đâm không trọng lượng $X$ có thể trượt không ma sát dọc theo thanh ngang $l$. Hai sợi dây được gắn vào $X$, ném qua các khối quay quanh các trục cố định trong mặt phẳng thẳng đứng tại các điểm $A$ và $B$ (Hình 2).

Các tải có khối lượng bằng nhau được gắn vào đầu tự do của các sợi $C_1$ và $C_2$. (Các sợi dây không trọng lượng và không co giãn, các khối quay không ma sát, kích thước của các khối và vòng $X$ nhỏ đến mức có thể coi là các điểm vật chất.) Cần tìm vị trí của vòng $X$ trên thanh $l$, tại đó toàn bộ hệ cơ khí ở trạng thái cân bằng.

Chúng ta hãy chứng minh rằng bài toán cơ học này theo một nghĩa nào đó tương đương với bài toán hình học của chúng ta. Thật vậy, ở vị trí cân bằng, thế năng của một hệ cơ học là nhỏ nhất; do đó, ở vị trí cân bằng, các tải trọng phải được đặt cùng nhau càng thấp càng tốt, tức là tổng khoảng cách của chúng với một mặt phẳng ngang nhất định (mặt đất) phải nhỏ nhất (tải trọng như nhau!). Do đó, tổng của $|AC_1|$ và $|BC_2|$ phải lớn nhất. Vì độ dài của mỗi luồng là không đổi nên tổng $|AX| + |BX|$ phải nhỏ nhất. Vì vậy, cơ khí bài toán

26

Ngôi nhà thực sự hóa ra là điểm với bài toán hình học 1.

Chúng ta hãy giải bài toán cơ học đã cho bài toán mà không sử dụng thông điệp năng lượng. Ở vị trí cân bằng của một hệ cơ học, tổng các lực tác dụng lên cọc X bằng không. X bị ảnh hưởng bởi lực căng của các sợi $\vec{T}_1$ và $\vec{T}_2$ ($|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2|$ - các trọng lượng kéo từng sợi của chúng với một lực bằng nhau và các lực này được truyền qua các khối mà không tổn thất ma sát) và phản lực $\vec{N}$ của thanh (xem Hình 2). Vì $\vec{N} + \vec{T}_1 + \vec{T}_2 = 0$ và $\vec{N} \perp l$, khi chiếu lên l ($|\vec{T}_1| \cdot \cos \alpha = |\vec{T}_2| \cdot \cos \beta$, từ đó $\alpha = \beta$. Chúng ta nhận được kết quả tương tự như khi sử dụng hình học lời giải ở trên.

Hãy thay đổi cơ học bài toán một chút: giả sử rằng thời gian và tải trọng e (khối lượng m và M tương ứng) được treo ở hai đầu tự do của sợi dây.

Khi đó, điều kiện cân bằng $\vec{N} + \vec{T}_1 + \vec{T}_2 = 0$ trong phép chiếu lên l sẽ cho ra sự tương ứng m cos $\alpha = M$ cos $\beta$, tức là tiền cược X sẽ có vị trí sao cho các trạng thái gắn liền với các trạng thái không phải là mun tạo thành các góc $\alpha$ và $\beta$, được xác định từ điều kiện $\frac{\cos \alpha}{\cos \beta} = \frac{M}{m}$ (Hình 3). Sử dụng nguyên lý thế năng tối thiểu, không khó để chứng minh rằng cơ học tương ứng bài toán cũng có hiệu quả theo cách hình học như vậy.

Bài toán 2. Tên trên dòng l là lũy thừa của X ứng với các đại lượng m · |AX| + M |BX| chúng tôi đạt đến mức tối thiểu

27

Mặt khác, ở vị trí cân bằng, tổng các lực tác dụng tại điểm $X$ bằng không. Trong $X$ có ba lực căng của các sợi $\vec{T}_1, \vec{T}_2$ và $\vec{T}_3$, bằng nhau về giá trị tuyệt đối (các lực căng bằng nhau trên mỗi sợi): $|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = |\vec{T}_3|$ và $\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3 = 0$. Từ hai điều kiện này, chúng ta thu được rằng các lực này phải nghiêng với nhau, sao cho ở vị trí cân bằng của hệ cơ học của chúng ta, góc giữa hai trong số ba sợi dây bất kỳ có một đầu chung $X$ phải bằng $120^\circ$. Do đó, đáp số trong bài toán 3 (với điều kiện là trong tam giác $ABC$ tất cả các góc đều nhỏ hơn $120^\circ$!) thì ta suy ra: điểm $X$ là một điểm mà từ đó tất cả các cạnh của tam giác $ABC$ đều nhìn thấy được ở một góc $120^\circ$.

(Trong trường hợp các điểm $A, B$ và $C$ tạo thành một tam giác trong đó một trong các góc là $\geq 120^\circ$, thì điểm $X$ trùng với một trong các điểm $A, B$ hoặc $C$ (đỉnh của góc “lớn”). Hãy nghĩ về điều này đáp số và đặt nó để giải thích.)

Việc giải thích cơ học về hình học bài toán đặc biệt hữu ích trong trường hợp các phương pháp lời giải hình học thuần túy không tạo ra kết quả mong muốn.

Bài toán 4. Trên các bờ sông khác nhau có con đường định cư $A_1, A_2, A_3, B_1, B_2$ ($A_1, A_2, A_3$ ở một bờ, $B_1, B_2$ bên kia; Hình 5). Cần xây dựng một cây cầu $CD$ sao cho tổng chiều dài các con đường $A_1C, A_2C, A_3C, B_1D, B_2D$ từ khu dân cư đến nơi là tối thiểu. (Bờ sông song song, cầu vuông góc với bờ.)

Để giải quyết bài toán này, hãy xem xét hệ cơ học sau. Một thanh cứng $CD$ có thể trượt không ma sát dọc theo hai đường ray song song, luôn vuông góc với chúng (xem Hình 5). Các sợi chỉ được gắn vào hai đầu $C$ và $D$ của thanh, ném chúng qua các khối, xoay quanh các trục cố định tại các điểm $A_1, A_2, A_3, B_1$ và $B_2$. Các vật nặng giống hệt nhau được treo ở đầu tự do của sợi chỉ. Trey

28

Hình 6.

chiếu lên một đường thẳng song song với đường ray, từ điều kiện này ta thu được
$$\cos \alpha_1 + \cos \alpha_2 + \cos \alpha_3 + \cos \beta_1 + \cos \beta_2 = 0$$
(các góc được tính ngược chiều kim đồng hồ, $0 \leqslant \alpha_i \leqslant \pi$, $\pi \leqslant \beta_j \leqslant 2\pi$, $i = 1, 2, 3, j = 1, 2$; xem Hình 5).

Mối quan hệ (), mặc dù nó không cho phép xây dựng đoạn $CD$ bằng la bàn và thước kẻ nhưng thường tỏ ra hữu ích trong thực tế lời giải bài toán thuộc loại này. Nếu có một quyết toán trên mỗi ngân hàng, thì mối quan hệ () cho $\cos \alpha + \cos \beta = 0$, từ đó $\beta = \pi + \alpha$ (Hình 6) - nghĩa là các phân đoạn $AC$ và $BD$ phải song song. Trong trường hợp này, đoạn $CD$ có thể được dựng bằng compa và thước (xây dựng nó!).

Vì vậy, chúng ta đã thấy rằng phương pháp cơ học hóa ra lại rất hữu ích cho lời giải hình học bài toán loại được xem xét. Tóm lại, chúng tôi cung cấp cho độc giả một số bài toán cho sự độc lập lời giải. Một số trong chúng có thể được giải hoàn toàn bằng hình học, lời giải trong khi những điều khác chỉ có thể thực hiện được với sự trợ giúp của diễn giải máy móc. Hãy thử so sánh kết quả hình học và cơ học lời giải.

Hình 7.

Bài toán

5. Một từ dòng $l$, hai điểm $A$ và $B$ được cho. Đặt đoạn $CD$ này trên $l$, sao cho độ dài của đường gãy $ACDB$ là tối thiểu.

6. Bên trong góc nhọn $MON$ cho một điểm $A$. Vẽ một tam giác có chu vi nhỏ nhất, có đỉnh trùng với điểm cho trước $A$, hai tam giác còn lại nằm đối diện với góc $MON$.

7. Bên trong góc $MON$ có hai điểm - $A$ và $B$. Tìm các điểm $C$ và $D$ trên các tia $OM$ và $ON$ tương ứng sao cho độ dài của đường gãy $ACDB$ là nhỏ nhất.

8. Các khu định cư $A$ và $B$ bị ngăn cách bởi một số con sông. Cần phải xây dựng các địa điểm qua các con sông này sao cho đường đi từ $A$ đến $B$ có chiều dài ngắn nhất (Hình 7).

9. Giữa các đường cao tốc vuông góc mùa đông có một hồ nước tròn. Trên bờ hồ cần xây dựng khu điều dưỡng $A$ và nối với đường nhựa ra đường cao tốc $l_1$ và đường bê tông ra đường cao tốc $l_2$ (Hình 8). Xây dựng một km

Hình 8.

đường nhựa có giá $p$ rúp, và một km đường bê tông có giá $q$ rúp. Nên xây nhà điều dưỡng ở đâu để tổng chi phí làm đường là nhỏ nhất?

Hình 9.

10. Có hai thành phố trên một đoạn hình tròn - $A$ và $B$. Tại điểm nào trên bờ của đoạn đường nên xây dựng bến tàu $C$ sao cho tổng chiều dài của con đường $AC$ và $BC$ từ thành phố đến bến tàu là nhỏ nhất?

11. Đoạn đường tròn được bao quanh bởi một đường đua chứa đầy nước. Có một khóa $A$ trên đoạn này. Chủ nhân của lâu đài muốn xây dựng con đường ngắn nhất nối lâu đài $A$ với điền trang $B$ của cố vấn của mình. Bạn nên xây dựng một nơi bên kia mương ở đâu? Cầu phải vuông góc với bờ mương (Hình 9).