Vivianna

40

Viviana

The curve, as defined in the caption to the four pages of the cover, is sometimes called “Vivian’s curve,” sometimes “Vivian’s windows,” sometimes briefly “Vivian,” and sometimes simply “oblique eight” for its shape. This spatial curve was first pointed out by the illyan mathematician Vinchenko Viviana (1622-1703), who was fortunate enough to be a student of G. Galileo and a friend of E. Torricelli. In 1692, Viviana sent letters to a number of mathematicians in which he suggested that they make (speculatively, of course) two windows in the “dome” (hemisphere) so that the surface of the hollowed cupola was equal to the square that could be built on the diameter of the cupola. Hóa ra Viviana, nếu một đường cắt hình chén được thực hiện dọc theo nó, sẽ thỏa mãn điều kiện bài toán này. Các nhà khoa học trung niên bị bài toán Viviana thu hút sự chú ý là I. Bernouli, G. W. Leibniz và J. P. Roberval.

Leibniz, sử dụng phép tính tích phân, đã giải được bài toán của Vivian nhanh nhất—trong một ngày. Bản thân Vivian đã giải được bài toán của mình mà không cần sự trợ giúp của tích phân.

Vivianne có thể chế tạo một chiếc la bàn trên bề mặt của một hình trụ; chỉ cần chiều dài đường kính của hình trụ, tức là bán kính của hình cầu, mở rộng (Hình 1). To prove the equivalence of the two definitions of Vivianna, indicated in the caption to the four pages of the cover, consider Figure 2, in which $O$ is the center of the sphere, $M$ is the current point of Vivianna, $A$ is the point at which Vivianna intersects itself, $N$ is the projection of point $M$ onto the base of the cylinder. Bây giờ từ đẳng thức $|OM| = |OA| = r$ suy ra $\frac{r \cos \alpha}{\cos \beta} = r$, tức là $\alpha = \beta$.

Trong tọa độ Descartes, Viviana được xác định bằng hệ hai phương trình

$$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \\ x^2 + y^2 = Rx \end{cases}$$

Pis. 1.

Hình 2.

Hình 3.

đại diện cho một cung paravola.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các hình chiếu trung tâm của Vivianna từ các điểm khác nhau của hình cầu trên các mặt phẳng khác nhau, đi qua trung tâm. Nếu lấy tâm chiếu là điểm $B$ thì hình chiếu của Vivianna lên mặt phẳng $Oxy$ sẽ là phép dựng hình («Kvant», 1977, số 2, trang 43). Nếu chúng ta lấy điểm $A$ làm tâm chiếu thì hình chiếu của Vivianna lên mặt phẳng $Oyz$ sẽ được dựng dưới dạng hyperbol (đường cong này thường được sử dụng để biểu thị tỷ lệ nghịch). Cuối cùng, nếu chúng ta để lại cùng một mặt phẳng chiếu và chọn tâm chiếu là điểm $A'$ của hình cầu, được chiếu theo đường kính đến điểm $A$, thì ảnh của Vivianne sẽ nằm trong Bernoulli («Kvant», 1977, Số 1, trang 25).

V. Berezin