Bài toán M491—M495; F503—F507

30

Bài toán

M491—M495; F503—F507

M491. Khoảng cách của một đường cắt hình học, tất cả các số hạng của nó đều là số nguyên. (Ví dụ: 16, 24, 36, 54, 81.)
a) Chứng minh rằng tổng bình phương của ba số hạng tiên lượng liên tiếp chia hết cho tổng các số hạng đó.
b) Với những số tự nhiên $n$ nào thì tổng bình phương $n$ của các số hạng liên tiếp của phần bị cắt nhất thiết phải bằng tổng của các số hạng $n$ này?

F. Kadirov, A. Adaev

M492. Tam giác $ABC$ nội tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ (sao cho các đỉnh $A_1, B_1$ và $C_1$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC, CA$ và $AB$) và các đoạn $AA_1, BB_1$ và $CC_1$ cắt nhau tại một điểm $P$. Chứng minh rằng các đường nối các cạnh $AB$ và $A_1B_1, BC$ và $B_1C_1, CA$ và $C_1A_1$ cắt nhau tại một điểm $Q$, các điểm $P, Q$ và trọng tâm của tam giác $ABC$ cùng nằm trên một đường thẳng.

V. Korzhov

M493. Chứng minh các bất đẳng thức
$$0,785n^2 - n < \sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{n^2 - 2^2} + \dots + \sqrt{n^2 - (n - 1)^2} < 0,79n^2,$$
A. Sivatsky, học sinh lớp 8.

M494. Có $n^2$ điểm bên trong hình vuông có cạnh 1. Chứng minh rằng tồn tại một đường đứt nét chứa các điểm này mà $n$ nhỏ hơn 3; 6)* 2$n$.

A. Tarmakovsky, học sinh lớp 10.

M495*. Trong không gian bên ngoài xung quanh các mặt phẳng $O$ ba vệ tinh quay đều theo ba quỹ đạo tròn có tâm $O$. Vận tốc góc của các vệ tinh lần lượt là $\omega_1, \omega_2$ và $\omega_3$ và vị trí ban đầu của chúng có thể tùy ý. Có nhất thiết phải có một thời điểm mà cả ba vệ tinh và điểm $O$ nằm trong cùng một mặt phẳng nếu

31

a) $\omega_1=\omega_2=\omega_3=1$; 6) $\omega_1=\omega_2=1, \omega_3=2$;
b) $\omega_1=2, \omega_2=3, \omega_3=4$?

Hãy thử tìm hiểu xem đáp số sẽ là bao nhiêu đối với câu hỏi này đối với các tỉ số vận tốc góc khác.

G. Galperin

F503. Một sợi có chiều dài $2l$ được gắn vào trục thẳng đứng, ở cuối và ở giữa có gắn các quả bóng giống hệt nhau (Hình 1). Trục quay với vận tốc góc $\omega$. Tại giá trị nào của vận tốc góc thì các phần $OA$ và $AB$ bắt đầu lệch khỏi phương thẳng đứng? Tỷ lệ góc lệch nhỏ của các phần ren $OA$ và $AB$ so với phương thẳng đứng sẽ là bao nhiêu?

G. Budaenko

F504. Các bánh xe của ô tô khách được tự động cân bằng không ổn định - chúng được thêm vào để đảm bảo rằng trọng tâm của bánh xe nằm chính xác trên trục quay của nó. Tại sao cần phải cân bằng bánh xe?

F505. Hãy xem xét một mạch để sạc tụ điện từ pin (Hình 2). Tụ điện được sạc đến điện áp $U$ của pin, thu năng lượng $\frac{1}{2}CU^2$ và sạc $q=CU$. Khoản phí này được tiêu thụ từ pin, do đó pin hoạt động $qU=CU^2$. Hệ số hiệu quả là 1/2. Tìm cách sạc tụ vào điện áp ắc quy để đạt hiệu quả cao hơn. Không được phép sử dụng các nguồn năng lượng bổ sung.

A. HodULEV

F506. Dưới pít-tông của hình trụ có một chất có thể tích $V_p$ và $k$ mol khí lý tưởng. Diện tích bề mặt của piston là $S$. Pít-tông và xi-lanh được làm bằng vật liệu được làm ướt một cách lý tưởng bởi đường. Thanh dưới piston có hình dạng như Hình 3, đối xứng với trục xi lanh. Lực $F$ tác dụng lên piston.

1. Suy ra phương trình trạng thái của hệ thủy ngân + khí có dạng $p=f(V, T)$, trong đó $p$ là áp suất, $T$ là nhiệt độ tuyệt đối, $V$ là thể tích phần bình đặt dưới pít-tông.

2. Tìm điều kiện để $p=0$. Sức căng bề mặt của rutivo là σ. Bỏ qua lực hấp dẫn. Giả sử rằng thể tích của ruthia và sức căng bề mặt σ của nó được xây dựng (tức là không phụ thuộc vào $T$ và $p$) và $h \ll R$.

Olympic thể chất XXVI dành cho học sinh Ba Lan

F507. Cho hai lò xo làm bằng cùng một vật liệu, mỗi lò xo xoắn lần lượt. Đường kính của lò xo là 3 mm và 9 mm, chiều dài là 1 cm và 7 cm, đường kính của dây là 0,2 mm và 0,6 mm. Hệ số cứng của lò xo thứ nhất là 0,14 N/cm. Tìm hệ số cứng của lò xo thứ hai.

A. Kuznetsov, I. Kuznetsov