Задачи М491—М495; Ф503—Ф507

30

Задачи

M491—M495; Ф503—Ф507

M491. Расстоянием геометрического прорезиса, все члены которого — целые числа. (Например: 16, 24, 36, 54, 81.)
a) Докажите, что сумма квадратов трех последовательных членов прорезиса делится на сумму этих членов.
b) При каких натуральных $n$ сумма квадратов $n$ последовательных членов прорезсии обязате на сумму этих $n$ членов?

Ф. Кадиров, А. Адаев

M492. В треугольник $ABC$ вписан треугольник $A_1B_1C_1$ (так, что вершины $A_1, B_1$ и $C_1$ лежат соответственно на сторонах $BC, CA$ и $AB$), причем отрезки $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $P$. Докажите, что прямые, соединяющие стороны $AB$ и $A_1B_1, BC$ и $B_1C_1, CA$ и $C_1A_1$ пересекаются в одной точке $Q$, причем точки $P, Q$ и центр тяжестей треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.

В. Коржов

M493. Докажите неравенства
$$0,785n^2 - n < \sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{n^2 - 2^2} + \dots + \sqrt{n^2 - (n - 1)^2} < 0,79n^2,$$
А. Сивацкий, ученик 8 кл.

M494. Внутри квадрата со сторонай 1 расположено $n^2$ точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая эти точки, для которого меньше 3 $n$; 6)* 2$n$.

А. Тармаковский, ученик 10 кл.

M495*. В космическом пространстве вокруг планы $O$ по трех круговым орбитам с центром $O$ равномерно врашают три спутника. Угловые скорости спутников соответственно $\omega_1, \omega_2$ и $\omega_3$, а их начальные положения могут быть произвольными. Обязательно ли найдется такой момент времени, когда все три спутника и точка $O$ лежат в одной плоскости, если

31

a) $\omega_1=\omega_2=\omega_3=1$; 6) $\omega_1=\omega_2=1, \omega_3=2$;
b) $\omega_1=2, \omega_2=3, \omega_3=4$?

Попробуйте выяснить, каков будет ответ на этот вопрос при других соотношениях угловых скоростей.

Г. Гальперин

Ф503. К вертикальной оси привязана нить длины $2l$, на конце и в середине которой прикреплены одинаковые шарики (рис. 1). Ось приводят во врашение с угловой скоростью $\omega$. При каком значении угловой скорости участки $OA$ и $AB$ начинают отклоняться от вертикали? Каким будет относение малых углов отклонения участков нити $OA$ и $AB$ от вертикали?

Г. Будаенko

Ф504. Колеса легковых автоматический шательно балансируют — добавляются того, чтобы центр масс колеса лежал точно на оси его врашения. Для чего необходимо балансировать колес?

Ф505. Рассмотрим схему зарядки конденсатора от батареи (рис. 2). Конденсатор заряжается до напряжения батареи $U$, прибретая энергию $\frac{1}{2}CU^2$ и заряд $q=CU$. Этот заряд потребляется от батареи, которая, таким образом, совершает работу $qU=CU^2$. Коэффициент полезного действия равен 1/2. Найти способ зарядки конденсатора до напряжения батареи с бóльшим к. п. д. Не разрешается использовать дополнительные источники энергии.

А. ХодULEВ

Ф506. Под поршнем цилиндра находится руть, занимающая объем $V_p$, и $k$ молей идеального газа. Площадь поверхности поршня равна $S$. Поршень и до цилиндра изготовлены из материалов, идеально смачиваемого рутью. Руть под поршнем приняла симметрично относительно оси цилиндра форму, показанную на рисунке 3. На поршень действует сила $F$.

1. Вывести уравнение состояния системы руть + газ в форме $p=f(V, T)$, где $p$ — давление, $T$ — абсцилная температура, $V$ — объем части сосуда под поршнем.

2. Найти условие, при котором $p=0$. Поверхность натяжение рутива равно σ. Силу тяжесте не учитывать. Принять, что объем рутии и ее поверхности натяжение σ построены (т. е. не зависит от $T$ и $p$) и что $h \ll R$.

XXVI физическая олимпиада школьников ПНР

Ф507. Даны две ружины из одинакового материяла, каждой из которых свита виток к витку. Диаметры ружин — 3 мм и 9 мм, длины — 1 см и 7 см, диаметры проволок — 0,2 мм и 0,6 мм. Коэффициент жесткости первого ружины 0,14 Н/см. Найти коэффициент жесткости второго ружины.

А. Кузнецов, И. Кузнецов