Площади ориентированных фигур

2

А. Лопшиц

Площади ориентированных фигур

Читатель нашего журнала часто встречал в нем разнообразные задачи, в которых шла речь о площадях. Их решения также получались разнообразным способами. В «Кванте» № 3 за 1977 г. мы рассакали об идее Мёбиуса — измерять площади ориентированных многоугольников не только положительных, как это делается в школе, но и отрицательными числами. Мы обещали вернуться к рассмотрению этих вопросов и познакомить читатель с решением задачи, поставленных Мёбиусом, и задач, которые их естественно продолжают. В настоящее время мы предлагаем сначала измерения площадей ориентированных многоугольников—этом посвящена первая часть; условие изложенного в ней материала сделает читателя подготовленным к самостоятельному решению не только тех задачи о площадях, которые были поставлены в нашем журнале, но и многих других.

1. Основные свойства площадей ориентированных фигур

2. Необходимость измерять площади плоских фигур была, как полагают историки, одной из основных принципов возникновения и развития геометрии: древние египетские должны были восстанавливаны — после очередного наводнения Нила — границы своих земельных участков, затопленных весенними водами, и вовь изменять их площади.

Уже в сельом классшкольник узнал простейшее правило нахождения площадей параллелограммов, треугольников, трапеций. Математический вывод этих правил использовал многоугольников, по его площадь равна сумме площадей треугольника $A_1A_2A_3$ и многоугольника $A_1A_3A_4 \dots A_n$:

$$\text{пл. } A_1A_2 \dots A_n = \text{пл. } A_1A_2A_3 + \text{пл. } A_1A_3A_4 \dots A_n.$$

Одного взгляда на рисунок 1, а как будто достагоно, чтобы принять это свойство, т. е. согласно с тем, что высказываемое им математическое предложение действительное имеет место. Однако для многоугольника, показанного на рисунке 1, 6, это свойство не выполняется; в этом случае

$$\text{пл. } B_1B_2 \dots B_n = \text{пл. } B_1B_3B_4 \dots B_n - \text{пл. } B_1B_2B_3.$$

Придется поэтому, изменить формуларовку: площадь многоугольника $A_1A_2 \dots A_n$ равна либо сумме, либо разности площадей многоугольника $A_1A_3A_4 \dots A_n$ и треугольника $A_1A_2A_3$.

Это утверждение осуществляется и для выпуклых и для невыпуклых многоугольников, но имеет — увы! — существенный недостаток: пользоваться им, нужно какдый раз смотрить на чертеж и выбирать знак «плюс» или «минус».

2. Выход из этого положения указал (еще в 1827 году) знаментийный геометр Мёбиус. Он предложил приписывать площадей треугольника $B_1B_2B_3$ положительное значение только в том случае, когда

3

вершины $B_1, B_2, B_3$ расположены по часовой стрелке (рис. 2, а), а в противном случае (рис. 2, б), «площадью» треугольника $B_1B_2B_3$ считать отрицательное число, модуль которого равен общей площади этого треугольника.

Полезность этой новой точки зрения хорошо видна на следующем примере. Если точка $P$ расположена внутри треугольника $ABC$, то (рис. 3). пл. $ABC =$ пл. $PAB +$ пл. $PBC +$

• пл. $PCA$. (*)

Однако если точка $P$ расположена вне треугольника $ABC$, то это равенство должно быть заменено другим, например, в случае, приведенном на рисунке 4, а равенством

пл. $ABC =$ пл. $PAB +$

• пл. $PBC -$ пл. $PCA$.

Читатель легко убедится, что в зависимости от расположения точки $P$ справедливый еще пять «похожих равенств» (рис. 4, б, б; 5, а, б, б). Однако если воспользоваться правлом Мёбинуса, то, как легко проверить, «все эти» семь равенств могут быть записаны в виде (*) (рис. 6).

Итак, правильное Мёбинуса дает возможность утверждать, что справедлива.

Теорема 1. Как бы ни была расположена в плоскости треуголь-

4

нака $ABC$ точка $P$,
пл. $ABC = \text{пл. } PAB + \text{пл. } PBC + \text{пл. } PCA$.

Вместо семи теорем — одна! Можно ли после этого совпадаться в целесообразности правила Мёбинуса?

3. Дадим теперь строгое определение площади, использующее правило Мёбинуса.

Прежде всего уточним, о площади каких фигуры мы будем говорить. Наозовем многовершинком произвольную замкнутую ломаную, для которого указаан порядок следования вершин $^*$).

Запись $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$ будет означать, что вершина $A_2$ следует за вершиной $A_1$, $A_3$ — за $A_2$, …, $A_n$ за $A_{n-1}$ и, наконец, что очень важно! — $A_1$ следует за $A_n$. Такой порядок называют круговым (или циклическим). Из этого определения следует, что у порядочных $n$-вершинки $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$ можно обозначать и так: $\overline{A_2A_3 \dots A_nA_1}$. Таким образом, записи $\overline{ABC}$, $\overline{BCA}$, $\overline{CAB}$ означают один и тот же упорядоченный трехвершиник, а записи $\overline{BAC}$, $\overline{ACB}$, $\overline{CBA}$ — другой упорядоченный трехвершиник. Будем говорить, что трехвершиник $\overline{ABC}$ и $\overline{BAC}$ против положению ориентированы.

Именно для ориентированных (упорядоченных) многовершинников мы и хотим определить понятие площади.

Сделаем это так. Укажем некоторые основные ее свойства. Эти свойства доказываются не будут, но все остальные утверждения про площадь ориентированных многовершинников будут выводиться из этих свойств. (Такой способ определения понятый в математике называют аксиоматическое.) Итак, мы считаем, что каждому многовершиннику $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$ поставлено в соответствии неокоторое число — пл. $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$; оно может быть не только положительным, но и отрицательным, и даже равным нулю; при этом выполняется следующая свойства:

(I) $\overline{ABC} = -\text{пл. } \overline{BAC}$;

(II) $\overline{A_1A_2A_3 \dots A_n} = \text{пл. } \overline{A_1A_2A_3} + \text{пл. } \overline{A_1A_3A_4 \dots A_n}$. Если учеть, что многовершинник $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$ совпадает с многовершинником $\overline{A_2A_3 \dots A_nA_1}$, то это свойство можно записать и так:

(II’) $\overline{A_2A_3 \dots A_nA_1} = \text{пл. } \overline{A_2A_3A_4} + \text{пл. } \overline{A_2A_4 \dots A_nA_1}$.

А теперь вернемся к теореме 1. Исподняя соответствий (I) и (II), ее уже можно строить доказать! В самом деле, как бы ни были расположены в плоскости четырех точки $PABC$, имеют место — согласно (II) и (II’) — равенства: пл. $\overline{PABC} = \text{пл. } \overline{PAB} + \text{пл. } \overline{PBC}$; пл. $\overline{PABC} = \text{пл. } \overline{ABCP} = \text{пл. } \overline{ABC} + \text{пл. } \overline{ACP}$ и, следовательно, пл. $\overline{PAB} + \text{пл. } \overline{PBC} = \text{пл. } \overline{ABC} + \text{пл. } \overline{ACP}$, т. е. пл. $\overline{ABC} = \text{пл. } \overline{PAB} + \text{пл. } \overline{PBC} - \text{пл. } \overline{ACP}$. Учитывая же, что в силу (I), пл. $\overline{ACP} = -\text{пл. } \overline{PCA}$, получим пл. $\overline{ABC} = \text{пл. } \overline{PAB} + \text{пл. } \overline{PBC} + \text{пл. } \overline{PCA}$.

Постарайтесь теперь самостоять необходимое обозначение теоремы 1:

Теорема 2. Как бы ни была расположена точка $P$ в плоскости упорядоченного многовершинника $\overline{A_1A_2 \dots A_n}$, имеет место равенство пл. $\overline{A_1A_2 \dots A_n} = \text{пл. } \overline{PA_1A_2} + \text{пл. } \overline{PA_2A_3} + \dots + \text{пл. } \overline{PA_nA_1}$.

Выведите такое следствие из этой

7

Рис. 12, а.

Задча 4. Докажите $(A_3)$, если
a) $\lambda$ — целое положительное число,
b) $\lambda$ — рациональное положительное число,
c) $\lambda$ — отрицательное рациональное число.

Справедливо также и соответствие $(A'_3)$ $S(\lambda AB, MN) = S(AB, MN) \cdot \lambda$. (Следует только использовать $(A_3)$ и $(A_2)^*$.))

В заключение этого списка формул, показем, что из них следует очень важная для всей теории плоскей теорема:

Если отрезки $AB$ и $CD$ колlinearны (m. е. либо лежат на параллельных прямых, либо на одной и той же прямой), то

$$S(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0^*.$$

В самом деле, в силу $(A_2)$ имеем

$$S(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}) = -S(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}),$$

и поэтому

$$S(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}) = 0.$$

Если отрезок $\overrightarrow{CD}$ колlinearен отрезку $\overrightarrow{AB}$, то $\overrightarrow{CD} = \lambda \overrightarrow{AB}$; поэтому

*) Справедливо формул $(A_3)$ и $(A'_3)$ при irrationalных $\lambda$ нельзя установить, исходя из формулы $(A_1)$. Для того чтобы распространить эти формулы и на irrationalные $\lambda$, нужно наложить неокотные ограничения на выражение $S(\overrightarrow{AB}, \lambda MN)$ как функцию $\lambda$. Достаточно, например, считать, что эта функция монотна.

**) Да это оченьно! — скажет читатель.

Ведь параллелограмм $PQRS$, построенный на колlinearных отрезках, выражается — все его вершины лежат на одной прямой и поэтому его площадь равна нулю. Однако использовать в этом «расчудении» слово «постому» логически совсем не обосновано — только в тех случаях мы можем говорить «постому», когда опираемся либо на основные положения I, II, III, либо на уже доказанные с их помощью теоремы.

8

III. Вычисление ориентированной плоскости произвольного упорядоченного плоского многовершинника

7. Пусть $O$ — произвольно выбранная точка плоскости, а векторы $\overrightarrow{OE}_1$ и $\overrightarrow{OE}_2$, в ней расположенные, неоколичные.

Если $x_1$ и $x_2$ — два произвольных числа, то вектор $x_1\overrightarrow{OE}_1+x_2\overrightarrow{OE}_2$ называют линейной комби-нацей векторов $\overrightarrow{OE}_1$ и $\overrightarrow{OE}_2$.

Пусть

(1) $x_1\overrightarrow{OE}_1+x_2\overrightarrow{OE}_2=\overrightarrow{OP}$.

Таким образом, задание упорядоченной пары чисел ($x_1; x_2$) одновременно определяет и (соответствуетушую этой паре) точку $P$. Приято говорить, что $x_1$ есть первая координата точки $P$, $x_2$ есть вторая координата точки $P$ относительно координатной системы $\langle O; E_1, E_2 \rangle$, заданной началом $O$ и «масштабными векторами» $\overrightarrow{OE}_1$ и $\overrightarrow{OE}_2$.

В дальнейшем изложении будем считать, что точка $O$ и векторы $\overrightarrow{OE}_1$ и $\overrightarrow{OE}_2$ фиксированы и будем пользоваться вместе записи (1) краткой записью: $P=(x_1, x_2)$.

Задача 6. Где расположены точки плоскости ($O, E_1, E_2$):

a) первая координата которых (в системе $\langle O; E_1, E_2 \rangle$) — неокоторое положительное (отрицательное) число, а вторая координата равна нулю,

b) обе координаты которых положительные (отрицательные) числа,

b) у которых первая координата положительная (отрицательная), а вторая координата положительная)?

Придавая в формуле (1) числам $x_1$ и $x_2$ все возможные значения, мы получим и все возможные векторы $\overrightarrow{OP}$ плоскости, содержащей точки $O$, $E_1$, $E_2$; иными словами, каждая точка $P$ этой плоскости имеет свою пару координат: $x_1; x_2$ (рис. 13). Легко убедиться, что они могут быть вычислены по следующим формулам:

(2) $x_1 = \frac{\pi l. \overrightarrow{OPE}_2}{\pi l. \overrightarrow{OE}_1 E_2}; \quad x_2 = \frac{\pi l. \overrightarrow{OPE}_1}{\pi l. \overrightarrow{OE}_2 E_1}$.

В самом деле, умножив (косо!) раз

9

IV. Задча Мёбиуса и ее продукение

10. В статье, имеющей это название (в третьем номере нашего журнала за прошленный год), мы предложили доказать, что как бы ни были расположены в плоскости пямы мочек A, B, C, D и E, площадь x пятвершинника $\overline{ABCDE}$ есть корень квадратного уравнения

(3) $x^2 - x(a + b + c + d + e) + (ab + bc + cd + de + ea) = 0$,

в котором a, b, c, d, e — площади ориентированных трехвершинников $\overline{ABC}, \overline{BCD}, \overline{CDE}, \overline{DEA}, \overline{EAB}$.

Особый интерес, который вызывает эта задача, связаан с тем, что пятвершинник $\overline{ABCDE}$ может быть и невыпуклым и даже таким, у которого стороны пересекаются (рис. 14); неудивительно поэтому, что числа a, b, c, d и e могут быть и отрицательными.

Изящное доказательство, которое дал Мёбиус, использует изображенный им специальный математический аппарат — барицентрическое исчисление (барицентр — центр тяжестни), которое Мёбиус открыл в результате изучения вопросов механики твердого тела. Современная векторная алгебра возникла и под влиянием этих идей Мёбиуса. Мы познакомим читателя с векторным доказательством задачи Мёбиуса — оно использует изображенную выше теорию ориентированных площадей, точнее говоря, доказанное в п. 8 «тождество Мёбиуса» — которое мы запишем так:

пл. $\overline{ABC} \cdot$ пл. $\overline{ADE}$ +
(4) + пл. $\overline{ADB} \cdot$ пл. $\overline{ACE}$ +

• пл. $\overline{ABE} \cdot$ пл. $\overline{ACD} = 0$.

В силу свойств ориентированных площадей пл. $\overline{ABCDE} = x =$ пл. $\overline{ABC}$ +

• пл. $\overline{ACD} +$ пл. $\overline{ADE} = a +$ пл. $\overline{ACD} +$ d;

x = пл. $\overline{CDE} +$ пл. $\overline{CEA}$ +

• пл. $\overline{CAB} = c +$ пл. $\overline{CEA} + a$,

x = пл. $\overline{DEA} +$ пл. $\overline{DAB}$ +

• пл. $\overline{DBC} = d +$ пл. $\overline{DAB} + b$, и, следовательно,